上海市徐汇区2024届高三学习能力诊断数学试卷（原卷版）

第1页/共1页2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学试卷2024.4考生注意：1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分.2.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息.3.所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，集合，那么______.2.已知复数（为虚数单位），则______.3.在中，，，，则的外接圆半径为______.4.若正数满足，则的最小值为______.5.已知数列的前项和为，若（是正整数），则______.6.若圆与圆内切，则等于__________.7.已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为______.8.已知函数处有极值0，则__________.9.同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量表示结果中有正面朝上，表示结果中没有正面朝上，则______.10.如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种.11.如图，两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是______.12.如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.在下列函数中，值域为的偶函数是（）A. B. C. D.14.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：x12345y0.50.911.11.5若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（）AB.当时，y的预测值为2.2C.样本数据y的第40百分位数为1D.去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变15.已知函数，其中，实数，下列选项中正确的是（）A若，函数关于直线对称B.若，函数在上是增函数C.若函数在上最大值为1，则D.若，则函数的最小正周期是16.三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（）①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为.A.①②都是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知函数，其中.（1）求证：是奇函数；（2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.18.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，为圆的直径，且，是底面圆的内接正三角形，为线段上一点，且.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个）未患病者患病者合计未服用中草药甲服用中草药甲合计（1）若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；（2）已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为.若用频率估计概率，现从患此疾病的人员中随机选取2人（分两次选取，每次1人，两次选取的结果独立）使用中草药乙进行治疗，记治疗有效的人数为，求的分布和数学期望.附：，0.10000500.0100.0012.7063.8416.63510.82820.已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）.（1）若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积；（2）若，求直线的方程；（3）若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点.21.已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记函数，其中.（i）证明：对任意，；（i