12.4 定理 基础题型过关

12.4定理题型一三角形内角和定理及其推论的应用1．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形2．如图，在△ABC中，∠ACD=80°，∠B=35°，则∠A的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．55°3．将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°4．一天，小明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架中的∠3=120°，你能求出∠1比∠2大多少吗？请你帮小明计算一下，正确的答案为（）A．50° B．60° C．70° D．不能确定5．如图，已知AB∥DE，∠ABC=75°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为（A．75° B．55° C．45° D．35°6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点F，∠A=70°，则∠BEC+∠BDC的值是（

）A．180° B．185° C．190° D．195°7．形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知∠ADC=105°，∠ABC=63°，∠BAD=22°，则∠BCD的度数为（

）A．63° B．20° C．85° D．105°8．在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C，则∠C=．9．如图，在△ABC中，∠B=70°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2=

10．如图，AD与CE交于点B，∠C=90°，∠A=36°，∠D=∠E，则∠D=度．11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=度．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=30°，则∠ADE=°．13．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是．14．如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB=50°，∠CBA=60°，∠CDF=20°，∠CEF=30°，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=135°，且∠CAB、∠CBA、∠E保持不变，则∠D应调整为度．15．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB与道路CD平行，道路AB与道路AE的夹角为60°，城市规划部门想新修一条道路CE，要求∠C=∠E，求∠C的度数．16．如图所示，在四边形ABCD中，已知∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F．(1)求证：∠ABC+∠ADC=180°；(2)求证：BE∥DF．17．证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．已知：如图，，求证：．证明：18．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B、C．若∠A=40°，∠ABX+∠ACX=度；（2）如图2，改变（1）中直角三角板XYZ的位置，使三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B．C．∠A=40°，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小；（3）如果（1）中的其它条件不变，把“∠A=40°”改成“∠A=n°”，则∠ABX+∠ACX＝.19．在△ABC中，AB>AC，说明∠B<∠C．(1)如图①，小明以“折叠”为思路说明∠B<∠C：将△ABC沿AE折叠，使点C落在AB边的点D处，然后可以说明∠B<∠C，请尝试写出小明的思路；(2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法并说明理由．20．我们称如图①所示的图形为“8字形”(1)如图①，求证：∠A+∠B=∠C+∠D．(2)如图②，在（1）的条件下，作∠A，∠C的平分线AP，CP，且它们的交点设为P．①∠BAP+∠B______∠BCP+∠P．（选填：“>”“=”或“<”）②当∠B=25°，∠D=30°时，直接写出∠P的度数．题型二多边形内角和定理与外角和定理的应用1．若一个n边形的内角和为900°，则n的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．72．如图，小伍从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转一定角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转相同角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了96米，则每次旋转的角度为（

）A．30° B．40° C．45° D．60°3．若一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的4倍，则它的边数是（

）A．8 B．9 C．10 D．114．青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形ABCDEFGH，连接HD，则∠HDE的度数为（）A．60∘ B．62.5∘ C．65° D5．如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面AD与AB上，若∠ABC=68°，BC⊥CD，CE∥AD，则∠DCE的度数（）A．92° B．110° C．112° D．120°6．如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形ABCDEF，则这个多边形的内角和为．7．如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为．8．若一个多边形的内角和比外角和多720°，则这个多边形的边数为．9．一个多边形从一个顶点出发有七条对角线，那么这个多边形的内角和是度．10．如图，∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1=72°，∠2=108°11．一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为．12．如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若∠1+∠2+∠3=227°，则∠4+∠5的度数为．13．已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形的边数．14．一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为7：(1)求这个n边形一个内角的度数．(2)求这个n边形的内角和．15．（1）如图1，以四边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两不相交．把四边形与各圆重叠部分（阴影部分）的面积之和记为S，求S的值（结果保留π）．（2）如图2，试探究其中∠1，∠2与16．看图回答问题：(1)内角和为2018°，小明为什么说不可能？(2)小华求的是几边形的内角和？(3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？题型三反证法的应用1．证明：一个三角形中不能有两个角是直角．已知：△ABC．求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°．于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°．这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立．所以，一个三角形中不能有两个角是直角．上述证明方法是（

）A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法2．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”．应先假设（

）A．AC>BC B．AC<BC C．∠A=∠B D3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（）A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角是钝角或直角4．反证法是从反方向证明命题的论证方法．如图、想要证明“如果直线AB,CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO'D．”先假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，由“同位角相等，两直线平行”，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A'B'都平行于直线CD，这与数学中的一条基本事实相矛盾，说明∠EOB≠A．两点确定一条直线B．两直线平行，内错角相等C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直5．用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（

）步骤如下：①假设在△ABC中，∠B≥90°．②因此假设不成立，∴∠B<90°．③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾．A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①7．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于60°”时，应假设．8．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）．已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截；∠1+∠2求证：直线l1与l2证明：假设l1l则∠1+∠2180°．这与矛盾，故不成立．所以．9．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册P94页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：已知：如图1，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点O，O'求证：∠1=∠2．(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：证明：假设____________．如图2，过点O作直线A'B∴A'B'又∵AB∥CD，且直线AB经过点O∴过点O存在两条直线AB、A'B'这与基本事实矛盾，假设不成立∴∠1=∠2．(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行．10．小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整．已知：直线a，b，c在同一平面内，a∥c，b∥c，求证：．证明：11．已知：两条不重合的直线AB，CD相交．求证：12．求证：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°．13．用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．14．在△ABC中，AB=AC．求证：∠B<90°．（用反证法证明）15．求证：在同一平面内，如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交．16．用反证法证明：(1)已知：a<a，求证：a(2)求证：形如4n+3的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．

解析版题型一三角形内角和定理及其推论的应用1．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形【答案】D【解析】解：三角形的另一个角的度数为180°-50°-80°=50°，∴这个三角形是等腰三角形，故选：D．2．如图，在△ABC中，∠ACD=80°，∠B=35°，则∠A的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．55°【答案】C【解析】解：∵在△ABC中，∠ACD=80°，∠B=35°，∴∠A=∠ACD-∠B=80°-35°=45°．故选：C．3．将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解析】解：如图所示，由题意得∠3=∠1=50°，∠5=90°，∠2=∠4，∴∠2=∠4=180°-90°-∠3=90°-50°=40°，故选：B．4．一天，小明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架中的∠3=120°，你能求出∠1比∠2大多少吗？请你帮小明计算一下，正确的答案为（）A．50° B．60° C．70° D．不能确定【答案】B【解析】解：如图：∵∠3=120°，∴∠4=180°-∠3=60°，∴∠1-∠2=∠4=60°，故选：B．5．如图，已知AB∥DE，∠ABC=75°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为（A．75° B．55° C．45° D．35°【答案】D【解析】解：如图，反向延长DE交BC于M，∵AB∥∴∠BMD=∠ABC=75°，∴∠CMD=180°-∠BMD=105°；又∵∠CDE=∠CMD+∠BCD，∴∠BCD=∠CDE-∠CMD=140°-105°=35°．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点F，∠A=70°，则∠BEC+∠BDC的值是（

）A．180° B．185° C．190° D．195°【答案】D【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点F，∴∠ABD=∠BCD=12∠ABC∴∠ABD+∠ACE=1∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∴∠ABD+∠ACE=55°，∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BDC=∠ABD+∠A，∴∠BEC+∠BDC=2∠A+∠ABD+∠ACE=2×70°+55°=195°，故选：D．7．形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知∠ADC=105°，∠ABC=63°，∠BAD=22°，则∠BCD的度数为（

）A．63° B．20° C．85° D．105°【答案】B【解析】解：连接BD，延长BD到E．∵∠1=∠A+∠ABD，∴∠ADC=∠1+∠2=∠A+∠C+∠ABC，∵∠ADC=105°，∠ABC=63°，∠BAD=22°，∴∠BCD=∠ADC-∠ABC-∠BAD=105°-63°-22°=20°故选：B．8．在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C，则∠C=．【解析】解：∵∠A=20°，∠B=4∠C，∴在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴20°+4∠C+∠C=180°，5∠C=160°，∠C=32°．故答案为：32°．9．如图，在△ABC中，∠B=70°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2=

【解析】解：∵∠B=70°，∴∠A+∠C=180°-70°=110°∵沿图中虚线剪去∠B后的图形为四边形，且四边形的内角和度数为360°∴∠1故答案为：250°．10．如图，AD与CE交于点B，∠C=90°，∠A=36°，∠D=∠E，则∠D=度．【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，∴∠ABC=90°-36°=54°，在△BDE中，∠D=∠E，∠DBE=∠ABC=54°，∴∠D=∠E=12(180°-54°)=63°故答案为：63．11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=度．【解析】解：如图：由三角形内角和定理可得：∠B+∠A+∠AGB=180°，∠C+∠D+∠CHD=180°，∠E+∠F+∠EMF=180°,∠HGM+∠GHM+∠HMG=180°，又∵∠AGB=∠HGM，∠CHD=∠GHM，∠EMF=∠GMH，∴∠AGB+∠CHD+∠EMF=180°，∵∠B+∠A+∠AGB=180°，∠C+∠D+∠CHD=180°，∠E+∠F+∠EMF=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=540°-(∠AGB+∠CHD+∠EMF)=360°故答案为：360．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=30°，则∠ADE=°．【解析】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°，由折叠知∠CED=∠B=60°，∵∠CED=∠A+∠ADE，∴∠ADE=∠CED-∠A=60°-30°=30°，故答案为：30．13．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是．【解析】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，∴∠BAC+∠ABC＝100°，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠1=12∠BAC，∠3=1∴∠1+∠3=12（∠BAC+∠ABC）＝∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．故答案为：130°．14．如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB=50°，∠CBA=60°，∠CDF=20°，∠CEF=30°，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=135°，且∠CAB、∠CBA、∠E保持不变，则∠D应调整为度．【解析】解：如图，连接CF，并延长至点M，在△ABC中，∠CAB=50°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=70°，∴∠DCE=∠ACB=70°，∵∠DFM=∠DCF+∠D，∠EFM=∠ECF+∠E，∴∠EFD=∠DCF+∠ECF+∠D+∠E，∵∠EFD=135°，∠CEF=30°，∴135°=70°+∠D+30°，∴∠D=35°，∴∠D应调整为35°．故答案为：35°．15．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB与道路CD平行，道路AB与道路AE的夹角为60°，城市规划部门想新修一条道路CE，要求∠C=∠E，求∠C的度数．【解析】解：将图中AE与CD交点命名为F，如下图所示：，∵AB∥CD，∠BAF=60°∴∠DFE=60°，∵∠C=∠E，∴∠C+∠E=60°，∴∠C=30°．16．如图所示，在四边形ABCD中，已知∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F．(1)求证：∠ABC+∠ADC=180°；(2)求证：BE∥DF．【解析】（1）证明：四边形ABCD中，∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°．（2）证明：∵BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F，∴∠1=∠2,∠3=∠4，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠1+∠3=90°，∵△ADF中∠5+∠3=90°，∴∠1=∠5，∴BE∥DF．17．证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．已知：如图，，求证：．证明：【解析】已知：在△ABC中，∠A＋∠B=90°求证：△ABC是直角三角形，

证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°）．

∴∠C=180°-∠A+∠B（等式性质）．∵∠A＋∠B=90°∴∠C=180°-90°=90°（等量代换），

∴△ABC是直角三角形．18．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B、C．若∠A=40°，∠ABX+∠ACX=度；（2）如图2，改变（1）中直角三角板XYZ的位置，使三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B．C．∠A=40°，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小；（3）如果（1）中的其它条件不变，把“∠A=40°”改成“∠A=n°”，则∠ABX+∠ACX＝.【解析】解：（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∵在直角三角板中，∠YXZ=90°，∴∠XBC+∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠ACB即∠ABX+（2）不发生变化，理由如下：∵∠A=40°，∴∠ABC+∵在直角三角板中，∠YXZ=90°，∴∠XBC+∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠ACB即∠ABX+（3）∵∠A=n°，∴∠ABC+∵在直角三角板中，∠YXZ=90°，∴∠XBC+∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠ACB即∠ABX+19．在△ABC中，AB>AC，说明∠B<∠C．(1)如图①，小明以“折叠”为思路说明∠B<∠C：将△ABC沿AE折叠，使点C落在AB边的点D处，然后可以说明∠B<∠C，请尝试写出小明的思路；(2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法并说明理由．【解析】（1）证明：由折叠的性质得：∠ADE=∠C，∵∠ADE为△DBE的外角，∴∠ADE=∠B+∠DEB，∴∠ADE>∠B，即∠B<∠C．（2）证明：作∠BAC的角平分线AE，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC的延长线上的点D处，如图所示：由折叠的性质得：∠D=∠B，∵∠ACB为△DCE的外角，∴∠ACB=∠D+∠CED，∴∠ACB>∠D，即∠B<∠C．20．我们称如图①所示的图形为“8字形”(1)如图①，求证：∠A+∠B=∠C+∠D．(2)如图②，在（1）的条件下，作∠A，∠C的平分线AP，CP，且它们的交点设为P．①∠BAP+∠B______∠BCP+∠P．（选填：“>”“=”或“<”）②当∠B=25°，∠D=30°时，直接写出∠P的度数．【解析】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．（2）解：①如图，AP与BC交于点M，∵∠BAP+∠B+∠AMB=∠BCP+∠P+∠CMP=180°，∠AMB=∠CMP，∴∠BAP+∠B=∠BCP+∠P．故答案为：=；②由①知∠BAP+∠B=∠BCP+∠P，同理可得∠DCP+∠D=∠DAP+∠P，两式左右分别相加，得：∠BAP+∠B+∠DCP+∠D=∠BCP+∠P+∠DAP+∠P，又∵∠A，∠C的平分线AP，CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，∴∠D+∠B=2∠P，∵∠B=25°，∠D=30°，∴∠P=1题型二多边形内角和定理与外角和定理的应用1．若一个n边形的内角和为900°，则n的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】解：这个多边形的边数是n，则(n-2)⋅180°=900°，解得：n=7．故选：D．2．如图，小伍从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转一定角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转相同角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了96米，则每次旋转的角度为（

）A．30° B．40° C．45° D．60°【答案】A【解析】解：由题意得：小伍从出发到第一次回到出发地点形成的轨迹为正多边形，∵96÷8=12，∴轨迹为正十二边形，∴每次旋转的角度为360°÷12=30°．故选：A．3．若一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的4倍，则它的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】解：设多边形的每个外角为n°，则其内角为：4n°，n°+4n°=180，解得：n=36，即这个多边形是：360故选：C．4．青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形ABCDEFGH，连接HD，则∠HDE的度数为（）A．60∘ B．62.5∘ C．65° D【答案】D【解析】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠CDE=(8-2)×180°∴由对称性可知∠HDE=∠HDC=1故选：D．5．如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面AD与AB上，若∠ABC=68°，BC⊥CD，CE∥AD，则∠DCE的度数（）A．92° B．110° C．112° D．120°【答案】C【解析】解：∵∠ABC=68°，BC⊥CD，AD⊥AB，∴∠A=∠BCD=90°，∴∠ADC=360°-2×90°-68°=112°，∵AD∥∴∠DCE=∠ADC=112°；故选：C．6．如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形ABCDEF，则这个多边形的内角和为．【解析】解：由题意得，多边形ABCDEF为六边形，∴这个多边形的内角和为6-2×180°=720°故答案为：720°．7．如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为．【解析】∵∴这个多边形的边数为9．故答案为：9．8．若一个多边形的内角和比外角和多720°，则这个多边形的边数为．【解析】解：∵多边形的内角和比外角和多720°，∴多边形的内角和为360°+720°=1080°，设多边形的边数为n，则180°×n-2解得：n=8．故答案为：8．9．一个多边形从一个顶点出发有七条对角线，那么这个多边形的内角和是度．【解析】解：设这个多边形是n边形，由题意得：n-3=7，∴n=10，∴这个多边形的内角和=10-2故答案为：1440．10．如图，∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1=72°，∠2=108°【解析】解：∵∠1=72°，∴∠ABC=180°-∠1=108°，∴∠A+∠C=360°-∠ABC-∠ADC=180°，故答案为：180°．11．一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为．【解析】解：设原多边形为n边形，则当n多边形截去一个角后，可形成(n-1)或n或(n+1)边形，∴(n-1-2)×180°=900°或(n-2)×180°=900°或(n+1-2)×180°=900°，解得n=8或7或6，故答案为：8或7或6．12．如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若∠1+∠2+∠3=227°，则∠4+∠5的度数为．【解析】解：由图2可知，∠4+∠5+180°-∠1+180°-∠2+180°-∠3=5-2整理得：∠4+∠5-∠1+∠2+∠3∴∠4+∠5=∠1+∠2+∠3=227°，故答案为：227°．13．已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形的边数．【解析】解：设这个多边形的每个外角为x°，则每个内角为4x+30°，依题意得，4x°+30°+x°=180°解得x=30，∴360°÷30°=12，∴这个多边形的边数为12．14．一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为7：(1)求这个n边形一个内角的度数．(2)求这个n边形的内角和．【解析】（1）解：∵一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为7：∴180°×7∴该n边形的一个内角的度数为140°；（2）解：∵一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为7：∴180°×27+2=40°∴9-2×180°=1260°则这个n边形的内角和为1260°．15．（1）如图1，以四边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两不相交．把四边形与各圆重叠部分（阴影部分）的面积之和记为S，求S的值（结果保留π）．（2）如图2，试探究其中∠1，∠2与【解析】解：（1）由图可知，四个阴影部分的圆心角的度数之和为四边形的四个内角之和，即为360°，∴四个阴影部分的面积构成一个整圆的面积，即：π×1（2）∠1+∠2=∠3+∠4，理由如下：由四边形的内角和是360°可知：∠3+∠4+∠5+∠6=360°，∵∠1+∠5=180°，∴∠1+∠2+∠5+∠6=360°，∴∠1+∠2=∠3+∠4．16．看图回答问题：(1)内角和为2018°，小明为什么说不可能？(2)小华求的是几边形的内角和？(3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？【解析】（1）∵2018°不是180°的整数倍，∴小明说不可能．（2）设这个多边形的边数为n，由题意，得2018°-180°<n-2解得1219∵n为整数，∴n=13．∴小华求的是13边形的内角和．（3）∵当n=13时，13-2×180°=1980°2018°-1980°=38°，∴这个外角为38°．题型三反证法的应用1．证明：一个三角形中不能有两个角是直角．已知：△ABC．求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°．于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°．这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立．所以，一个三角形中不能有两个角是直角．上述证明方法是（

）A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法【答案】C【解析】解：由证明过程可知，证明方法是反证法，故选：C．2．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”．应先假设（

）A．AC>BC B．AC<BC C．∠A=∠B D【答案】D【解析】∵命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”，∴假设为：AC=BC，故选：D．3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（）A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角是钝角或直角【答案】C【解析】用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．故选：C．4．反证法是从反方向证明命题的论证方法．如图、想要证明“如果直线AB,CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO'D．”先假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，由“同位角相等，两直线平行”，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A'B'都平行于直线CD，这与数学中的一条基本事实相矛盾，说明∠EOB≠A．两点确定一条直线B．两直线平行，内错角相等C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直【答案】C【解析】解∶根据题意知∶材料中的基本事实是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故选：C．5．用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（

）步骤如下：①假设在△ABC中，∠B≥90°．②因此假设不成立，∴∠B<90°．③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾．A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①【答案】A【解析】解：反证法的基本步骤：先假设结论的反面成立，再证明结论的反面与已知或公理，定理等互相矛盾，再否定假设，从而得到结论；∴以上步骤排序为：①③②，故选：A．6．用反证法证明命题“若a2<4，则|a|<2”时，应假设【解析】解：用反证法证明“若a2<4，则|a|<2”时，应假设故答案为：|a|≥2．7．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于60°”时，应假设．【解析】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于60°．故答案为：每一个内角都大于60°．8．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）．已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截；∠1+∠2求证：直线l1与l2证明：假设l1l则∠1+∠2180°．这与矛盾，故不成立．所以．【解析】解；已知：如图，直线l1，l2被直线l3求证：直线l1与l证明：假设l1则∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设不成立．所以直线l1与l故答案为：≠；不平行；∥；=；两直线平行，同旁内角互补；∠1+∠2≠180°；假设；直线l1与l9．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册P94页学习反证法时对这一性质