高中数学必修总复习课件

高中数学必修总复习课件(1)子集、真子集及其性质

①对任意的x∈A，都有x∈B，则A___B(或B__A).

②若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则A____B(或B____A).

③

∅___A；A___A；A⊆B，B⊆C⇒A_____C.

④若A含有n个元素，则A的子集有___个，A的非空子集有______个，A的非空真子集有_______个.2.集合间的基本关系(2)集合相等若A⊆B且B⊆A，则A___B.2n2n-12n-22021/7/172全集为U，集合A的补集为_______(1)集合的交集、并集、补集的定义集合的并集集合的交集集合的补集符号表示图形表示意义{x|x∈A且x∈B}∁UAA∩BA∪B{x|x∈A或x∈B}∁UA＝{x|x∈U且x∉A}3.

集合的运算及其性质2021/7/1731)并集性质2)交集性质(2)

集合的运算性质3)补集性质(1)

∁UU=(2)

∁U=U(3)∁U(∁UA)=A(4)

A(∁UA)=(5)

A(∁UA)=U(6)

∁U(AB)=(∁UA)(∁UB)(7)

∁U(AB)=(∁UA)(∁UB)2021/7/174集合的基本概念

若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.2021/7/175集合间的基本关系2021/7/176集合的基本运算2021/7/177集合中的新定义问题已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个，其中的一个是____________．2021/7/17801忽略空集致误2021/7/1791.空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.2.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.3.解答集合题目,认清集合元素的属性(点集、数集或其它情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.5.要注意A⊆B,A∩B＝A,A∪B＝B,∁UA⊇∁UB,A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性.2021/7/17104．重要结论(4)六个关系式的等价性(A,B⊆U)∅⊆AA≠∅(1)∅A(∁UB)⊆(∁UA)(∁UA)∪B=UA∩(∁UB)=∅(5)易混的解集{x|y=f(x)}定义域值域点集方程的解集不等式的解集{y|y=f(x)}{(x,y)|y=f(x)}{x|f(x)=0}{x|f(x)<0}2021/7/1711例1.已知:Ａ={x|y=x2-2x+1},B={y|y=x2-2x+1},C={x|x2-2x+1=0},D={x|(x-1)2<0},

E={(x,y)|y=x2-2x+1},

则下面结论正确的有…

()C.A=ED.A=BA.A

B

C

D题型一集合的概念B.DCBA2021/7/1712(1)若A={(x,y)||x+2|+=0}，B={-2,-1}，则必有()A.A

BB.A

BC.A=BD.A∩B=(2)集合A＝{y∈R|y＝lgx,x>1},B＝{－2,－1,1,2}，则下列结论中正确的是(

)A．A∩B＝{－2，－1}B．(∁RA)∪B＝(－∞，0)C．A∪B＝(0,＋∞)D．(∁RA)∩B＝{－2，－1}练一练2021/7/1713例2.设A={x|x＞4或x<-2},B={x|a≤x<a+3},(1)若A∩B=∅,求实数a的取值范围;(2)若A∩B≠∅,求实数a的取值范围;(3)若A∩B=B,求实数a的取值范围;(4)若,求实数a的取值范围.题型二集合的运算(∁RA)∪B=∁RA2021/7/1714例3.题型三集合间的基本关系若∁U(A∪B)

C,求实数a的取值范围。2021/7/1715(1)A＝{x|－2≤x≤5},B＝{x|m＋1≤x≤2m－1},B⊆A,则m的取值范围是_________.(2)已知P={x|x2–mx–6m2=0},Q={x|mx–1=0}，且,则由实数a组成的集合是__________.QP2021/7/1716

【例4】对任意两个正整数m、n,定义某种运算⊕:

则集合P=

{(a,b)|a⊕b=8，a

,b∈N*}中元素的个数为()

A.5B.7C.9D.11题型四集合中的信息迁移题2021/7/1717

补集思想:对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的数学问题，在解题时要调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，能起到化难为易，化隐为显的作用，从而解决问题．这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U求子集A，若直接求A困难,可先求,再由,求A.∁UA补集思想∁U(∁UA)=A2021/7/1718例5.已知下列三个方程个方程有实数根.求a的取值范围.至少有一题型五用补集思想解决问题2021/7/1719【2】已知A＝{x|x2＋x＋a≤0}，B＝{x|x2－x＋2a－1＜0}，C＝{x|a≤x≤4a－9}，且A、B、C中至少有一个不是空集，求a的取值范围．2021/7/17202021/7/1721函数的概念

——定义——表示——列表法，解析法，图象法

——三要素——定义域，对应关系，值域

——值域与最值——观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等

——函数的图象函数的基本性质

——单调性——1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性.2.复合函数单调性：同增异减.——对称性——轴对称：f(a-x)=f(a+x);中心对称:f(a-x)+f(a+x)=2b

——奇偶性——1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x).2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0.3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立.——周期性——f(x+T)=f(x)；周期为T的奇函数有f(T)=f(T/2)=f(0)=0.函数常见的几种变换——平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换基本初等函数——正(反)比例函数;一次(二次)函数;幂、指数、对数函数

(定义，图象，性质，应用)复合函数——单调性：同增异减;奇偶性：内偶则偶，内奇同外抽象函数——赋值法函数的应用

——函数与方程——函数零点、一元二次方程根的分布

——常见函数模型——幂、指、对函数模型；分段函数；对勾函数模型2021/7/17221．函数的基本概念(1)函数的定义设A，B是非空的______，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的______一个数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应，则就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作______________.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_______；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的______．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：________、______和___________．(4)相等函数：如果两个函数的_________和__________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．数集任意唯一确定y＝f(x)，x∈A定义域值域定义域值域对应关系定义域对应关系2021/7/17232．函数的表示法表示函数的常用方法有:______、______、_______.3．映射的概念设A,B是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中_________确定的元素y与之对应,则就称对应f:A→B为从集合A到集合B的_________．4．函数与映射的关系由映射的定义可以看出，映射是_____概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是__________．解析法图象法列表法都有唯一一个映射函数非空数集2021/7/1724函数的概念及应用

2021/7/1725函数与映射【例2】(课本改编题)下列对应关系是集合P上的函数的是_____.(1)P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；

(2)P＝{－1,1,－2,2}，Q＝{1,4}，对应关系：f：x→y＝x2,

x∈P，y∈Q；

(3)P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应．2021/7/1726(2)已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是(

)A．k>1B．k≥1C．k<1D．k≤12021/7/1727函数的表示方法【例3】如图，有一直角墙角，两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12)、4m,不考虑树的粗细．现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为Sm2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是(

)2021/7/1728“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……，用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是(

)2021/7/1729分段函数及其应用2021/7/1730忽略分段函数中自变量的限制条件致误(14分)设函数,若f(-2)=f(0),f(-1)=-3,求关于x的方程f(x)=x的解.022021/7/17311．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域相同；二是对应关系相同．

2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持定义域优先的原则，之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来很大的方便．2021/7/1732

1．判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象惟一”．但要注意：

(1)A中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；

(2)B中元素可无原象，即B中元素可有剩余．

2．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．2021/7/1733三、解答题7.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．2021/7/1734三、解答题2021/7/17351．函数与映射的概念的异同函数映射两集合A、B设A、B是两个非空______设A、B是两个非空_______对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的____一个____在集合B中都有________的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的____一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称_________为从集合A到集合B的一个函数称对应：_________为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射数集集合数x唯一确定任意任意f：A→Bf：A→B2021/7/1736☞用解析法表示函数关系的优点是：函数关系清楚，容易根据自变量的值求出对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质．课堂互动讲练考点一函数的三种表示方法☞用图象法表示函数关系的优点是：能直观形象地表示出函数值的变化情况．☞用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值．2021/7/1737课堂互动讲练例1已知某人在2009年1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1000元，从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y(元)与月份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则．考点一函数的三种表示方法x123456y10002000400080001600032000[解]列表法：【解】图象法：2021/7/1738【解】解析法：解析式：y＝1000×2x－1

(x∈{1,2,3,4,5,6})．其中定义域为{1,2,3,4,5,6}，值域为{1000,2000,4000,8000,16000,32000}．对应法则f：x→y＝1000×2x－1.【规律小结】列表法、图象法和解析式法是表示函数的三种方法，其实质是一样的，只是形式上的区别，列表和图象更加直观，解析式更适合计算和应用．在对待不同题目时，选择不同的表示方法，因为有的函数根本写不出其解析式．考点一函数的三种表示方法2021/7/17391．判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“象唯一”，即可以是“一对一”或者“多对一”．2．f：A→B形成函数时，A即函数的定义域，但B不一定是值域．如果B中的元素都有原象，则B才是值域，即函数就是从定义域到值域的映射．考点二函数与映射已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．例2x123f(x)131x123g(x)3212021/7/1740

【1】设集合A＝{a,b}，B＝{c，d，e}，则从A到B的映射共有________个．【总结】(1)函数的定义中应注意A，B是两个非空的数集，函数的值域C与B的关系是C⊆B.(2)在映射中，集合A与B的地位是不对等的，在集合B中不要求每个元素在集合A中都有元素与之对应，即集合B中可以有空闲的元素．2021/7/17412021/7/17421.（2008·山东）设函数的值为（）2.（2008·陕西）定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)等于()A.2 B.3 C.6 D.92021/7/17431．函数的定义域

(1)函数的定义域是指__________________________________．

(2)求定义域的步骤

①写出使函数式有意义的不等式(组)；

②解不等式组；

③写出函数定义域．(3)常见基本初等函数的定义域

①分式函数中分母不等于零．

②偶次根式函数、被开方式大于或等于0.③一次函数、二次函数的定义域为___.④y＝ax(a>0且a≠1),y＝sinx,y＝cosx,定义域均为__.⑤y＝tanx的定义域为________________________.

⑥函数f(x)＝x0的定义域为_________________．使函数有意义的自变量的取值范围RR{x|x∈R且x≠0}2021/7/17442．函数的值域

(1)在函数y＝f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫________，_____________叫函数的值域．

(2)基本初等函数的值域函数值函数值的集合基本初等函数值域①y＝kx＋b(k≠0)②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)③④y＝ax(a>0且a≠1)⑤y＝logax(a>0且a≠1)⑥y＝sinx,y＝cosx⑦

y＝tanx2021/7/1745(1)换元法：若已知f(g(x))的表达式，求f(x)的解析式,通常是令g(x)＝t，从中解出x＝φ(t)，再将g(x)、x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围．

(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．

(3)消去法：若所给解析式中含有f(x),或f(x),f(－x)等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x)．

(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．3．函数解析式的求法2021/7/1746求函数的定义域(2)若函数f(x)＝x－4mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是_______．

2021/7/1747(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：

①分式中，分母不为零；

②偶次根式，被开方数非负；

③对于y＝x0，要求x≠0；

④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；

⑤由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束.(2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系．2021/7/1748抽象函数的定义域【例2】若函数f(2x)的定义域是[－1,1],求f(log2x)的定义域．2021/7/1749求函数的值域2021/7/1750(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；

(2)若与二次函数有关，可用配方法；

(3)若函数解析式中含有根式,可考虑用换元法或单调性法;(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；

(5)分段函数宜分段求解；

(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．2021/7/1751求函数的解析式2021/7/1752

函数解析式的求法

(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(4)方程思想：已知关于f(x)与

或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．2021/7/175301(14分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，试求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域．函数问题首先要考虑定义域答题规范2021/7/1754(1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法，是函数的重点知识．

(2)本题易错原因是忽略对定义域的研究，致使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的讨论范围扩大．

(3)解答有关函数的问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范.2021/7/1755方法与技巧1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组)；对于含有字母参数的函数定义域,应注意对参数取值的讨论;对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义.2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围.利用函数几何意义,数形结合可求某些函数的值域.3.函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．2021/7/1756失误与防范1．求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．特别要重视实际问题的最值的求法．

2．对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质．2021/7/1757三、解答题2021/7/17581．给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是以函数的解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：①分式中,分母不等于零，②偶次根式中,被开方数为非负数，③对于y=x0，要求x≠0,④对数式中,真数大于0,且底数为不等于1的正数，⑤正切函数等．2.由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束.3.抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系.考点一求函数的定义域2021/7/1759例1(3)已知y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域；(4)已知f(x)的定义域为[0,2],求f(2x)的定义域.考点一求函数的定义域2021/7/1760

【1】(08·湖北)函数的定义域为()

A.(-∞,-4]∪[2,+∞) B.(-4,0)∪(0,1) C.[-4,0)∩(0,1]D.[-4,0)∪(0,1)2021/7/1761例1课堂互动讲练2021/7/1762

【1】f(x)为二次函数，且满足f(0)＝0，f(x＋1)－f(x)＝x＋1，求f(x)．例2解:由题意【2】已知函数f(x)满足求f(x)的解析式.考点二求函数的解析式2021/7/1763(3)已知f(x)是R上的函数,且f(0)=1,对任意x,y∈R恒有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x).例2（4）方法一:∵f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，令y=x，得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)，

∵f(0)=1，∴f(x)=x2+x+1.方法二令x=0，得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,

再令y=-x,得f(x)=x2+x+1.

考点二求函数的解析式2021/7/1764

【1】设定义在R上的函数f(x)

对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y),

且满足f(1)=1,求f(0)及f(x)的表达式.考点二求函数的解析式2021/7/1765(4)如图是函数f(x)的图象,OC段是射线,而OBA是抛物线的一部分,试写出f(x)的表达式.解:(1)当x≤0时,∵直线OC经过(-2,-2),∴直线方程为y=x;(2)当x≥0时,抛物线过B(1,-1),A(2,0)易求得抛物线的解析式为:y=x2-2x.∴解析式为例2考点二求函数的解析式2021/7/17661．函数的单调性增函数减函数定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2

当x1<x2时,都有____________,那么函数f(x)在区间D上是增函数

当x1<x2时，都有__________,那么函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是______自左向右看图象是_____f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的(1)单调函数的定义2021/7/17672．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有

_________；(2)存在x0∈I,使得

_________.(3)对于任意x∈I,都有

__________；(4)存在x0∈I,使得

__________.结论M为最大值M为最小值(2)单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是_______或________,则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间．增函数减函数区间Df(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M2021/7/1768

函数单调性的判断及应用2021/7/1769(1)证明函数的单调性用定义法的步骤是:取值—作差—变形—确定符号—下结论.

(2)利用导数证明的一般步骤为：求导，判断导函数在区间上的符号，下结论．导数法是比较常用的一种方法．2021/7/1770求函数的单调区间

求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

(2)定义法:先求定义域，再利用单调性定义．

(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间．

(5)本题的易错点是忽视函数的定义域．2021/7/1771抽象函数的单调性及最值

2021/7/17722021/7/177302函数的单调性与不等式(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．

(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”,是本小题的切入点.要构造出f(M)<f(N)的形式.2021/7/17742021/7/1775

解函数不等式的问题的一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．2021/7/17761.根据函数的单调性的定义，证明(判定)函数f(x)在其区间上的单调性，其步骤是:(1)设x1,x2是该区间上的任意两个值，且x1＜x2(或x1>x2)；

(2)作差f(x1)－f(x2)，然后变形；

(3)判定f(x1)－f(x2)的符号；

(4)根据定义得出结论．2.求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质．3.复合函数的单调性对于复合函数y＝f(g(x))，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f(g(x))为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f(g(x))为减函数．简称为：同增异减．2021/7/17771．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．

2．两函数f(x),g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数,但f(x)·g(x),等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．2021/7/1778三、解答题2021/7/17792021/7/1780设函数y＝f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则就说f(x)在区间D上是增函数.1.函数单调性的定义设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则就说f(x)在区间D上是增函数.2021/7/1781①任取x1,x2∈D,且x1<x2；②作差f(x1)-f(x2);③变形;④判号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负)；⑤定论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．(1)利用单调性定义(证明函数f(x)在给定的区间(先判断定义域）D上的单调性的一般步骤)2.

函数的单调性的判定方法：2021/7/1782①k＞0时,函数y=f(x)与y=kf(x)+b具有相同的单调性；

若函数f(x),g(x)在给定的区间D上具有单调性,

②若f(x)恒为正或恒为负时,函数f(x)与1/f(x)具有相反的单调性.③若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.⑤复合函数f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定(同则增异则减).④奇函数在对称的区间上有相同的单调性,偶函数在对称的区间上有相反的单调性.(2)常见函数的单调性规律总结2021/7/1783☞以上规律还可总结为：“同增异减”.

增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗增↗减↘

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下：

⑤复合函数单调性的判断注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间2021/7/17842.

函数的单调性的判定方法：(3)导数法①若f(x)在某个区间内可导，当f'(x)＞0时,f(x)为增函数；当f'(x)

＜0时，f(x)为减函数.②若f(x)在某个区间内可导，当f(x)在该区间上递增时，则f'(x)≥

0；当f(x)在该区间上递减时，则f'(x)≤0.2021/7/1785例1.已知定义在R上的函数y=f(x)满足,f(0)≠0,且当x>0时，f(x)>1,且对任意的a,b∈R,f(a+b)=f(a)·f(b).(1)求f(0)的值；

(2)判断f(x)的单调性.一、抽象函数的单调性与最值2021/7/1786

【1】若对一切实数x,y都有

(1)求f(0)的值;(2)判定f(x)的奇数偶性.

【2】若函数

f(x)

对任意a,b∈

R

都有

f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0

时,有

f(x)>1.求证:

f(x)

是

R

上

的增函数.

【3】已知函数

f(x)对于任何实数x,y

都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且

f(0)≠0．求证:f(x)是偶函数.2021/7/1787例2.判断函数在区间(-1,1)上的单调性.二、函数单调性的判定及证明例3.设为奇函数,且定义域为R.(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)若对于任意t∈R,不等式恒成立，求实数k的取值范围．2021/7/1788【1】2021/7/17892021/7/1790二、高考热点聚焦热点一：函数概念与抽象函数2021/7/17912021/7/1792（09山东）2021/7/1793一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，则函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，则函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．1．奇、偶函数的概念f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_____，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_____．

(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是______，两个奇函数的积是偶函数；

②两个偶函数的和、积都是_________；

③一个奇函数，一个偶函数的积是________．相反相同奇函数偶函数奇函数2021/7/1794(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝______，则就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_____________的正数，则这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.3．周期性存在一个最小f(x)2021/7/1795函数奇偶性的判断

2021/7/1796

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性.2021/7/1797函数的单调性与奇偶性2021/7/1798函数的奇偶性与周期性2021/7/179902等价转换要规范

(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性,就是研究f(x),f(－x)的关系.从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．

(3)就是要出现f(M)<f(N)的形式，再结合单调性转化为M<N或M>N的形式求解．答题规范2021/7/1710002等价转换要规范

答题规范2021/7/171012021/7/17102数学解题的过程就是一个转换的过程．解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度．如果每一步等价转换都是正确的、规范的，则这个解题过程就一定是规范的．等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示．如“M”等价于“N”，“M”变形为“N”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f(x)为偶函数，∴不等式(*)等价于f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64)⇒|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.若漏掉(3x＋1)(2x－6)≠0，则这个转化就不等价了.2021/7/171031．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：

(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；

(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式.2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)．

3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．2021/7/171041．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

2．判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)．对于偶函数的判断以此类推．

3．分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．2021/7/171052021/7/171062021/7/171071.奇函数、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有_______________，则函数f(x)就叫做偶函数.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有_______________，则函数f(x)就叫做奇函数.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)2021/7/17108定义法利用性质2.函数奇偶性的判定图象法:画出函数图象①考查函数定义域是否关于原点对称；②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；③作出结论.2021/7/17109一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数⇔它的图象关于y

轴对称.3.性质:

奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(2)在定义域的关于原点对称的公共区间内奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶.偶×偶=偶；奇×奇=偶；偶×奇=奇.(1)奇函数、偶函数的图象特点(3)奇偶性与单调性的关系2021/7/17110（1）设函数f(x)的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇偶性：4.任意一个定义域关于原点对称的函数,总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和.5.对于奇函数f(x),若x能取到零,则f(0)=__.

06.若f(x)为偶函数，则2021/7/171112021/7/171122021/7/1711309年2021/7/17114()2021/7/17115∴f(x)既是偶函数,又是奇函数.解:函数的定义域为{-1,1},例1.判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=|x+1|-|x-1|所以函数f(x)为奇函数.2021/7/17116∴定义域为[-1,0)∪(0,1].即f(-x)=-

f(x).所以函数f(x)为奇函数.点评:判断函数是否具有奇偶性,先看定义域是否关于原点对称,其次要对解析式进行化简.2021/7/17117例2.定义在[-1,1]上的函数f(x)是奇函数,并且在[-1,1]上f(x)是增函数,求满足条件f(1-a)+f(1-a2)≤0的a

的取值范围.

【1】定义在［－2,2］上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)单调递减,若f(1-m)＜f(m)成立,求m的取值范围．

【2】若函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间（-∞，0]上是减函数，又f(2a-1)＞f(3-a),则a的取值范围是______________.[变式练习]2021/7/17118例4.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2－2x,求当x＜0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x)的图象.

【1】已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x＞0时,f(x)=x2+x-1,求函数f(x)的表达式．

【2】已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数，x∈[0,3]上的图象如图所示，则不等式的解集是_______________.[练习]2021/7/17119

【3】f(x)是R上偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,f(0.5)=0,则不等式的解集为__________.[练习]【1】2021/7/171201.二次函数的定义与解析式①一般式：__________________.②顶点式：__________________,顶点为______.③零点式：____________________,其中_______是方程ax2+bx+c=0的两根.y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-m)2+n(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(m,n)(1)二次函数的定义

形如:f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式x1,x22021/7/17121①对称轴:______②顶点:_________2．二次函数的图象和性质图象函数性质定义域x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定)值域a>0a<0奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性a>0a<0图象特点上递减上递增上递增上递减2021/7/171223.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与轴两交点的距离

当Δ＝b2－4ac>0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)，4.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值(2)若

[m,n],则①当

x0<m

时,f(x)min=f(m),f(x)max=f(n);②当

x0>n

时,f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).(1)若

∈[m,n],则

f(x)min=f(x0)=2021/7/17123求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数．

二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；

(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．已知函数的类型(模型),求其解析式,用待定系数法,根据题设恰当选用二次函数解析式的形式,可使解法简捷．2021/7/171242021/7/17125二次函数的图象与性质【例2

】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围,使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时,求f(|x|)的单调区间．

已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．2021/7/17126二次函数的综合应用【例3】若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)

满足

f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立,

求实数m的取值范围．2021/7/1712702分类讨论在二次函数中的应用(1)求a的取值范围，是寻求关于a的不等式，解不等式即可；

(2)求f(x)的最小值，由于f(x)可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起．

(3)对a讨论时，要找到恰当的分类标准．2021/7/17128

分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一.本题充分体现了分类讨论的思想方法.在解答本题时有两点容易造成失分:一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论.除此外,解决函数问题时，以下几点容易造成失分：

1.含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；

2.分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；

3.解一元二次不等式时,不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起,思路受阻.02分类讨论在二次函数中的应用2021/7/171292021/7/171302021/7/171312021/7/17132三、解答题2021/7/17133

涉及方程

f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题,一般情况下要从四个方面考虑:①

f(x)

图象的开口方向;②方程

f(x)=0的判别式;④区间端点处函数值的符号.

③

f(x)

图象的对称轴与区间的关系;1.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)实根分布问题2021/7/17134①方程

f(x)=0

有两正根

②方程

f(x)=0

有两负根

③方程

f(x)=0

有一正根一负根

记

f(x)=ax2+bx+c(a>0)1.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)实根分布问题2021/7/17135根的分布图象充要条件2021/7/17136根的分布图象充要条件2021/7/17137根的分布图象充要条件两个实根有且仅有一根在区间内2021/7/171382.二次函数图象和性质二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)(1)开口方向:a>0时,开口____,a<0时,开口_____．向上向下(2)顶点、对称轴：顶点坐标为_____________;对称轴方程为________.(3)与坐标轴的交点

①与y轴的交点是________;②当Δ>0时，与x轴两交点的横坐标x1、x2分别是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．且|x1-x2|=______;

③当Δ＝0时,与x轴切于一点________;

④当Δ<0时，与x轴_______．不相交(0,c)(4)在对称轴的两侧单调性相反.(5)当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数.2021/7/17139Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集有两不等实根x1,x2{x|x<x1,x>x2}有两相等实根x1=x2无实根{x|x≠x1}R3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系{x|x1<x<x2}ØØ2021/7/171404.不等式

ax2+bx+c>0

恒成立问题①

ax2+bx+c>0在R上恒成立

③

f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立

f(x)min>0(x∈[m,n])②

ax2+bx+c<0在R上恒成立

④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立

2021/7/17141对勾函数奇偶性:奇函数xyo单调性2021/7/17142【例1】已知函数在区间[0,1]

上的最大值是2，求实数a的值.[练一练]已知函数f(x