数学行程问题综合训练题集

数学行程问题综合训练题集引言行程问题是数学中经典且高频的题型，其核心逻辑围绕“速度（\(v\)）、时间（\(t\)）、路程（\(s\)）”三者的关系（\(s=vt\)）展开，衍生出相遇、追及、流水行船、火车过桥、环形跑道等多种场景。这类问题不仅是中考、小升初等考试的重点，更能培养学生分析变量关系、建立数学模型的能力。本训练题集遵循“知识点回顾—典型例题—变式训练—综合测试”的逻辑，覆盖行程问题的核心类型，注重基础巩固与能力提升的结合，旨在帮助读者系统掌握解题方法，提升解题效率。一、相遇问题（一）知识点回顾核心公式：相遇时间\(t=\frac{\text{总路程}(s)}{\text{速度和}(v_1+v_2)}\)注意事项：若两人不同时出发，需先计算其中一人提前走的路程，再用剩余路程计算相遇时间；若途中有停留，停留时间需从总时间中扣除。（二）典型例题例1：甲、乙两地相距\(S\)，甲从甲地出发，速度为\(v_1\)；乙从乙地出发，速度为\(v_2\)，两人同时相向而行。求相遇时间\(t\)及相遇时甲走的路程\(s_甲\)。解：相遇时间：\(t=\frac{S}{v_1+v_2}\)甲走的路程：\(s_甲=v_1\cdott=\frac{v_1S}{v_1+v_2}\)（三）变式训练题1：甲、乙两地相距\(120\)千米，甲从甲地出发，速度为\(20\)千米/小时；乙从乙地出发，速度为\(30\)千米/小时。甲先出发\(1\)小时后，乙才出发，两人相向而行。求相遇时乙走了多少千米？提示：甲提前走的路程：\(20\times1=20\)千米剩余路程：\(120-20=100\)千米相遇时间（乙出发后）：\(\frac{100}{20+30}=2\)小时乙走的路程：\(30\times2=60\)千米二、追及问题（一）知识点回顾核心公式：追及时间\(t=\frac{\text{路程差}(s_{\text{差}})}{\text{速度差}(v_快-v_慢)}\)注意事项：路程差指初始时快者与慢者之间的距离（同向而行时）；环形跑道中，追及的路程差为一圈的长度（第一次追上时）。（二）典型例题例2：甲在乙前方\(50\)米处，甲速度为\(3\)米/秒，乙速度为\(5\)米/秒，两人同时同向而行。求乙追上甲所需的时间及追上时乙走的路程。解：追及时间：\(t=\frac{50}{5-3}=25\)秒乙走的路程：\(s_乙=5\times25=125\)米（三）变式训练题2：环形跑道长\(400\)米，甲、乙同地出发，同向而行。甲速度为\(6\)米/秒，乙速度为\(8\)米/秒。求乙第一次追上甲时，甲跑了多少圈？提示：乙追上甲时，比甲多跑\(1\)圈（\(400\)米）追及时间：\(\frac{400}{8-6}=200\)秒甲跑的路程：\(6\times200=1200\)米甲跑的圈数：\(1200\div400=3\)圈三、流水行船问题（一）知识点回顾核心公式：顺水速度：\(v_顺=v_静+v_水\)（\(v_静\)为船在静水中的速度，\(v_水\)为水流速度）逆水速度：\(v_逆=v_静-v_水\)往返平均速度：\(v_{\text{平均}}=\frac{2v_顺v_逆}{v_顺+v_逆}\)（往返路程相同）（二）典型例题例3：一艘船顺水航行\(120\)千米用了\(3\)小时，逆水航行同样路程用了\(4\)小时。求船在静水中的速度\(v_静\)和水流速度\(v_水\)。解：顺水速度：\(v_顺=120\div3=40\)千米/小时逆水速度：\(v_逆=120\div4=30\)千米/小时静水中速度：\(v_静=\frac{v_顺+v_逆}{2}=\frac{40+30}{2}=35\)千米/小时水流速度：\(v_水=\frac{v_顺-v_逆}{2}=\frac{40-30}{2}=5\)千米/小时（三）变式训练题3：一艘船在静水中的速度为\(20\)千米/小时，水流速度为\(4\)千米/小时。该船往返于甲、乙两地，顺水航行时间比逆水航行时间少\(2\)小时。求甲、乙两地的距离。提示：设逆水时间为\(t\)小时，则顺水时间为\(t-2\)小时逆水速度：\(20-4=16\)千米/小时顺水速度：\(20+4=24\)千米/小时路程相等：\(16t=24(t-2)\)解得：\(t=6\)小时距离：\(16\times6=96\)千米四、火车过桥问题（一）知识点回顾核心逻辑：火车“过桥”或“过隧道”时，总路程等于“火车长度+桥（隧道）长度”；两列火车“错车”（相向而行）时，总路程等于“两列火车长度之和”；两列火车“追及”（同向而行）时，路程差等于“两列火车长度之和”。（二）典型例题例4：一列火车长\(200\)米，以\(30\)米/秒的速度通过一座长\(800\)米的隧道。求从车头进入隧道到车尾离开隧道所需的时间。解：总路程：\(200+800=1000\)米时间：\(t=1000\div30\approx33.33\)秒（或写成分数\(\frac{100}{3}\)秒）（三）变式训练题4：两列火车相向而行，甲火车长\(150\)米，速度为\(20\)米/秒；乙火车长\(200\)米，速度为\(15\)米/秒。求两列火车从车头相遇到车尾相离的时间。提示：总路程：\(150+200=350\)米速度和：\(20+15=35\)米/秒时间：\(350\div35=10\)秒五、环形跑道问题（一）知识点回顾核心结论：相向而行（相遇）：每相遇一次，两人路程和为\(1\)圈；同向而行（追及）：每追上一次，快者比慢者多跑\(1\)圈。（二）典型例题例5：环形跑道长\(400\)米，甲、乙同地出发，相向而行。甲速度为\(5\)米/秒，乙速度为\(3\)米/秒。求两人第一次相遇的时间及相遇时甲跑的路程。解：相遇时间：\(t=\frac{400}{5+3}=50\)秒甲跑的路程：\(5\times50=250\)米（三）变式训练题5：环形跑道长\(600\)米，甲、乙同地出发，同向而行。甲速度为\(8\)米/秒，乙速度为\(5\)米/秒。求乙第三次被甲追上时，甲跑了多少圈？提示：第三次追上时，甲比乙多跑\(3\)圈（\(600\times3=1800\)米）追及时间：\(\frac{1800}{8-5}=600\)秒甲跑的路程：\(8\times600=4800\)米甲跑的圈数：\(4800\div600=8\)圈六、比例行程问题（一）知识点回顾核心比例关系：路程一定时，速度与时间成反比（\(v_1:v_2=t_2:t_1\)）；速度一定时，路程与时间成正比（\(s_1:s_2=t_1:t_2\)）；时间一定时，路程与速度成正比（\(s_1:s_2=v_1:v_2\)）。（二）典型例题例6：甲、乙走同一段路，甲速度与乙速度的比为\(3:2\)。若甲用了\(40\)分钟走完，求乙需要多少分钟？解：路程一定，速度与时间成反比，故甲、乙时间比为\(2:3\)设乙需要\(t\)分钟，则\(\frac{40}{t}=\frac{2}{3}\)，解得\(t=60\)分钟（三）变式训练题6：甲、乙同时从A地出发到B地，甲速度为\(6\)千米/小时，乙速度为\(4\)千米/小时。甲到达B地后立即返回，在离B地\(2\)千米处与乙相遇。求A、B两地的距离。提示：相遇时，甲比乙多走\(2\times2=4\)千米（甲到达B地后返回，比乙多走两个“离B地2千米”）速度差：\(6-4=2\)千米/小时相遇时间：\(4\div2=2\)小时A、B距离：\(6\times2-2=10\)千米（或\(4\times2+2=10\)千米）七、变速问题（一）知识点回顾核心方法：分段计算：将行程分为“变速前”和“变速后”两段，分别计算路程或时间；方程法：设未知量（如原速度、原时间），根据总路程相等建立方程。（二）典型例题例7：某人从A到B，原计划以\(5\)千米/小时的速度行走，准时到达。实际行走时，前一半路程速度为\(4\)千米/小时，后一半路程速度为\(6\)千米/小时，结果迟到了\(10\)分钟。求A、B两地的距离。解：设A、B距离为\(s\)千米，原计划时间为\(\frac{s}{5}\)小时实际时间：前一半路程时间\(\frac{s/2}{4}=\frac{s}{8}\)小时，后一半路程时间\(\frac{s/2}{6}=\frac{s}{12}\)小时，总时间\(\frac{s}{8}+\frac{s}{12}=\frac{5s}{24}\)小时迟到\(10\)分钟（\(\frac{1}{6}\)小时），故：\(\frac{5s}{24}-\frac{s}{5}=\frac{1}{6}\)解得：\(s=20\)千米（三）变式训练题7：某人骑自行车从家到学校，原计划速度为\(12\)千米/小时，准时到达。实际出发时，速度提高了\(25\%\)，结果提前了\(10\)分钟到达。求家到学校的距离。提示：设原计划时间为\(t\)小时，距离为\(12t\)千米实际速度：\(12\times(1+25\%)=15\)千米/小时实际时间：\(t-\frac{10}{60}=t-\frac{1}{6}\)小时距离相等：\(12t=15(t-\frac{1}{6})\)解得：\(t=\frac{5}{6}\)小时距离：\(12\times\frac{5}{6}=10\)千米八、综合测试题（一）基础题1.甲、乙两地相距\(90\)千米，甲速度\(15\)千米/小时，乙速度\(10\)千米/小时，两人同时相向而行，相遇时间为______小时。2.火车长\(180\)米，过\(320\)米的桥，速度\(25\)米/秒，时间为______秒。3.环形跑道长\(500\)米，甲速度\(6\)米/秒，乙速度\(4\)米/秒，同向而行，第一次追上时间为______秒。（二）中等题4.甲先出发\(2\)小时，速度\(8\)千米/小时，乙速度\(12\)千米/小时，同向而行，乙追上甲需______小时。5.船顺水速度\(20\)千米/小时，逆水速度\(16\)千米/小时，静水速度为______千米/小时，水流速度为______千米/小时。6.甲、乙速度比\(2:3\)，走同一段路，甲比乙多用\(10\)分钟，甲用______分钟。（三）稍难题7.某人从A到B，前\(1/3\)路程速度\(6\)千米/小时，后\(2/3\)路程速度\(9\)千米/小时，平均速度为______千米/小时。8.两列火车同向而行，甲长\(200\)米，速度\(25\)米/秒；乙长\(150\)米，速度\(20\)