第01讲等差数列（原卷版）

第01讲等差数列目录TOC\o"11"\h\u题型一：重点考查验证某数是否为等差数列中的项 1题型二：重点考查判断、证明数列为等差数列 3题型三：重点考查等差中项 4题型四：重点考查等差数列的函数特征 5题型五：重点考查等差数列基本量（含通项，前项和）计算 6题型六：重点考查等差数列角标和性质 7题型七：重点考查等差数列奇数项（偶数项）的和 8题型八：重点考查等差数列片段和性质 9题型九：重点考查两个等差数列前项和比的问题 9题型十：重点考查等差数列前项和最值问题 10题型十一：重点考查根据等差数列前项和最值求参数 12题型十二：重点考查含绝对值的数列求和 13题型一：重点考查验证某数是否为等差数列中的项典型例题例题1．（2023下·河南洛阳·高二洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13､25､41，下列各数一定是该数列的项的是（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022例题2．（2023上·高二课时练习）已知等差数列8，5，2，…．(1)求该数列的第20项．(2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由．(3)该数列共有多少项位于区间内？精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列：3，7，11，15，….（1）求的通项公式.（2）135，是数列中的项吗？如果是，是第几项？（3）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？2．（2023·全国·高二随堂练习）（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；（2）是否为等差数列，，，…的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由．3．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列10，7，4，…．(1)求这个数列的第10项；(2)是不是这个数列中的项？呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．题型二：重点考查判断、证明数列为等差数列典型例题例题1．（2023上·湖北黄冈·高二校考阶段练习）已知数列满足递推关系：，，则（

）A． B． C． D．例题2．（2023上·全国·高二期末）已知数列满足（），.(1)证明:数列为等差数列，并求数列的通项公式；精练核心考点1．（多选）（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知数列满足，数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（

）A．数列是等差数列 B．C． D．2．（2023上·四川绵阳·高三三台中学校考阶段练习）已知数列满足(1)证明：数列为等差数列；题型三：重点考查等差中项典型例题例题1．（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则（

）A．或15 B．或 C．15 D．例题2．（2023上·河南三门峡·高三陕州中学校考阶段练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．12例题3．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）在正项等比数列中，，是，的等差中项，则.精练核心考点1．（2023上·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）记为等比数列的前项和，且成等差数列，则（

）A．126 B．128 C．254 D．2562．（2023下·全国·高二专题练习）在数列中，，，是和的等差中项，设为数列的前项和，则＝.3．（2023下·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）已知公比为2的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则．题型四：重点考查等差数列的函数特征典型例题例题1．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）设为等差数列的前n项和，则对，，是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例题2．（多选）（2023上·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．C．当时取最大值 D．满足的最大的正整数为10例题3．（多选）（2023上·重庆·高二重庆一中校考期中）设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（

）A．是等差数列B．成等差数列，公差为C．当或时，取得最大值D．时，n的最大值为33精练核心考点1．（2023·北京顺义·统考一模）已知是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在使得”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）数列满足是的前项和，则下列说法正确的是（

）A．是等差数列B．C．是数列的最大项D．对于两个正整数的最大值为103．（多选）（2023上·湖南岳阳·高二统考期末）已知无穷等差数列的前项和为，，，则（

）A．数列单调递减 B．数列没有最小项C．数列单调递减 D．数列有最大项题型五：重点考查等差数列基本量（含通项，前项和）计算典型例题例题1．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）数列通项公式为，则其前项和的最小值为（

）A． B． C． D．例题2．（多选）（2023下·云南大理·高二统考期末）记为等差数列的前项和，已知，则（

）A． B．C． D．例题3．（2023上·江苏·高二专题练习）在等差数列中，(1)，求；(2)，求．精练核心考点1．（2023上·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则使成立的的最大值为（

）A．16 B．17 C．18 D．192．（2023下·广东河源·高二龙川县第一中学校考期中）已知不为常数数列的等差数列的前项和为，满足，且是和的等比中项，则下列正确的是（

）A．或0 B．C． D．是公差为2的等差数列3．（多选）（2023上·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（

）A． B． C． D．题型六：重点考查等差数列角标和性质典型例题例题1．（2023上·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）已知为等差数列的前项和，，则（

）A．240 B．60 C．180 D．120例题2．（2023上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在等差数列中，若，则（

）A．16 B．17 C．18 D．19例题3．（2023下·高二课时练习）已知为等差数列，，则的值为．精练核心考点1．（2023上·北京朝阳·高二统考期末）已知等差数列，其前项和为，若，则（

）A．3 B．6 C．9 D．272．（2023上·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，且，则（

）A．4 B．6 C．8 D．103．（2023上·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）在等差数列中，，则此数列的前13项之和等于（

）A．24 B．26 C．28 D．25题型七：重点考查等差数列奇数项（偶数项）的和典型例题例题1．（2023上·陕西榆林·高二校联考阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为偶数项之和为则(

)A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则.例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，求通项公式．精练核心考点1．（2023下·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（

）．A．30 B．29 C．28 D．272．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，前m项（m为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且，则的通项公式为.3．（2023·高二课时练习）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差d为.题型八：重点考查等差数列片段和性质典型例题例题1．（2023下·内蒙古·高二校联考期末）等差数列的前项和为，若，，则（

）A．6 B．12 C．15 D．21例题2．（2023上·安徽安庆·高二校考阶段练习）等差数列中，其前项和为100，其前项和为500，则其前项和为．例题3．（2023·全国·高三专题练习）设是等差数列的前项和，，，则.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．2．（2023下·高二单元测试）已知是等差数列的前项和，若，，则（

）A．40 B．45 C．50 D．553．（2023·全国·高二专题练习）等差数列的前n项和，若，则（

）A．10 B．20 C．30 D．15题型九：重点考查两个等差数列前项和比的问题典型例题例题1．（2023上·陕西榆林·高二校联考阶段练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别为与,且,则（

）A． B． C． D．例题2．（2023上·湖北荆州·高三湖北省松滋市第一中学校考阶段练习）等差数列、的前项和分别为与，且，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023上·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则精练核心考点1．（2023上·广东·高三执信中学校联考期中）已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（

）．A． B． C． D．2．（2023上·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是.3．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则．题型十：重点考查等差数列前项和最值问题典型例题例题1．（2023上·北京昌平·高三昌平一中校考期中）等差数列的公差，且，则数列的前n项和取得最大值时的项数n的值为（

）A．5 B．6 C．5或6 D．6或7例题2．（2023上·北京顺义·高二北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知是公差为正数的等差数列，，且.(1)求的通项公式；(2)求的前n项和；(3)求的前n项和的最小值.例题3．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．精练核心考点1．（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列，则的最小值为.2．（2023上·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）已知等差数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)求的最小值及取得最小值时的值．3．（2023上·湖南株洲·高二校考期末）已知：等差数列中，，，公差．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和的最大值及相应的n的值．题型十一：重点考查根据等差数列前项和最值求参数典型例题例题1．（2023上·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，对任意，均有成立，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例题2．（2023上·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题3．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，且数列的前项和为．若的最大值为，则实数的最大值是．精练核心考点1．（2023下·广西河池·高二统考期末）已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（多选）（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时，取得最大值，则满足的最大的正整数k一定不等于（

）A．12 B．13 C．14 D．153．（2023上·河北石家庄·高三校联考期末）已知数列满足．(1)若为等差数列，求的通项公式；(2)记的前项和为，不等式对恒成立，求的取值范围．题型十二：重点考查含绝对值的数列求和典型例题1．（2023上·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知数列的前n项和为，且(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和2．（2023上·天津和平·高二天津市第二南开中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式;(2)记，求数列的前项和.3．（2023上·福建福州·高二闽侯县第一中学校考阶段练习）已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)令，求