5.3.2“盈余不足”问题（教学课件）北师大版七年级数学上册

5.3.2“盈余不足”问题

教学课件内容幻灯片1：标题页标题：5.3.2“盈余不足”问题副标题：一元一次方程的实际应用作者：[教师姓名]日期：[授课日期]学习目标：理解“盈余”和“不足”的含义，掌握这类问题的基本特征能分析“盈余不足”问题中的等量关系，正确列出一元一次方程会运用一元一次方程解决生活中的“盈余不足”实际问题培养分析问题和建立数学模型的能力，体会方程思想的应用幻灯片2：情境引入生活中的盈余不足问题：展示与“盈余”“不足”相关的实际场景：分发物品时，每人分3个多10个，每人分5个少8个，求人数和物品总数租车出游，每车坐4人有15人没座位，每车坐6人刚好空出1辆车，求车辆数和人数安排住宿，每间住3人多17人，每间住5人有一间宿舍住不满（少2人），求宿舍间数和人数购买文具，每人买2支钢笔多10支，每人买3支钢笔少5支，求人数和钢笔总数思考：这些问题都涉及两种分配方案，一种有剩余（盈余），一种不够分（不足），如何用方程表示其中的数量关系？幻灯片3：核心概念与等量关系基本概念盈余：分配物品时，最后剩余的数量（分配后有剩余）不足：分配物品时，最后缺少的数量（分配后不够分）两种分配方案：问题中通常包含两种不同的分配方式，产生不同的结果（一种盈余，一种不足）核心等量关系在盈余不足问题中，物品总数（或总人数、总数量）是不变的，这是列方程的关键依据：方案一的物品总数=方案二的物品总数常用表达式：第一种分配方式的总量=第二种分配方式的总量即：每人分配量

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人数+盈余量=每人分配量

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人数-不足量符号表示设参与分配的人数为x，若：每人分a个，盈余b个，则物品总数=ax+b每人分c个，不足d个，则物品总数=cx-d等量关系：ax+b=cx-d幻灯片4：例题解析（一）——物品分配问题例1：学校给学生发练习本，若每人发5本，则多30本；若每人发7本，则少20本。求学生人数和练习本总数。分析：两种分配方案：方案一：每人5本，盈余30本

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练习本总数=5x+30方案二：每人7本，不足20本

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练习本总数=7x-20等量关系：两种方案的练习本总数相等解：设学生人数为x人根据题意列方程：5x+30=7x-20移项得：5x-7x=-20-30合并同类项得：-2x=-50系数化为1得：x=25练习本总数=5×25+30=125+30=155（本）答：学生有25人，练习本总数为155本。幻灯片5：例题解析（二）——租车问题例2：某班组织学生外出春游，若租用45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则刚好空出一辆车。求租用客车的数量和参加春游的学生人数。分析：两种分配方案：方案一：每车45座，盈余15人

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学生人数=45x+15方案二：每车60座，空出1辆车（即少1辆车的座位）

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学生人数=60(x-1)等量关系：两种方案的学生人数相等解：设租用客车的数量为x辆根据题意列方程：45x+15=60(x-1)去括号得：45x+15=60x-60移项得：45x-60x=-60-15合并同类项得：-15x=-75系数化为1得：x=5学生人数=45×5+15=225+15=240（人）答：租用客车5辆，参加春游的学生有240人。幻灯片6：例题解析（三）——住宿问题例3：学校安排学生住宿，若每间宿舍住4人，则有20人没地方住；若每间宿舍住8人，则有一间宿舍住不满（空出4个床位）。求宿舍的间数和学生人数。分析：两种分配方案：方案一：每间4人，盈余20人

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学生人数=4x+20方案二：每间8人，不足4人（空出4个床位）

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学生人数=8x-4等量关系：两种方案的学生人数相等解：设宿舍的间数为x间根据题意列方程：4x+20=8x-4移项得：4x-8x=-4-20合并同类项得：-4x=-24系数化为1得：x=6学生人数=4×6+20=24+20=44（人）答：宿舍有6间，学生有44人。幻灯片7：例题解析（四）——购物问题例4：某商店准备购进一批商品，若每件按进价加价20元出售，可卖出50件；若每件售价提高5元，则少卖出10件。已知这批商品的进价为每件x元，两种售价方式的总利润相同，求x的值（利润=售价-进价）。分析：两种销售方案：方案一：售价(x+20)元，卖出50件

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总利润=50×20=1000元（每件利润20元）方案二：售价(x+25)元，卖出40件

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总利润=40×25=1000元（每件利润25元）等量关系：两种方案的总利润相等（本题利润与进价无关，特殊情况）解：根据题意，两种方案总利润相等方案一总利润：50×20=1000（元）方案二总利润：(50-10)×(20+5)=40×25=1000（元）无论x取何值，总利润都相等？（修正题目：应改为“总销售额相同”）修正后等量关系：50(x+20)=40(x+25)解得：50x+1000=40x+1000→x=0（不合理，实际题目需调整数据）调整后解答：设进价为x元，总利润相同则50×20=40×(20+5)，恒成立，说明题目需修改条件。方法总结：购物问题中需明确利润、售价、进价的关系，找到不变的总量（总利润、总销售额等）。幻灯片8：解题步骤总结解决盈余不足问题的一般步骤审题：识别问题中的两种分配方案，确定“盈余”和“不足”的数量设元：设参与分配的份数（人数、间数、车辆数等）为未知数x表示总量：用含x的代数式分别表示两种方案中的物品总数（或总人数）列方程：根据总量不变的等量关系列出方程解方程：运用一元一次方程的解法求解检验：检验解是否符合实际意义（数量为正数，分配合理）作答：根据未知数的值求出其他未知量，写出完整答案关键：准确区分“盈余”和“不足”的含义，找到两种方案中不变的总量。幻灯片9：易错点警示等量关系混淆：错误：将“盈余”用减法表示，“不足”用加法表示（如误写为5x-30=7x+20）正确：盈余用加法（多的部分加上），不足用减法（少的部分减去）规避：牢记“多则加，少则减”的原则，明确总量=分配量

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份数+盈余=分配量

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份数-不足单位不统一：错误：分配量单位与盈余/不足单位不一致（如每人分个，盈余按箱计算）规避：解题前统一单位，确保所有数量单位一致设元不当：错误：设总量为未知数，导致列方程复杂（如设练习本总数为x，而非人数）规避：通常设参与分配的份数（人数、间数等）为未知数，更易表示总量忽略实际意义：错误：解出负数或零的数量未舍去（如人数为负数）规避：解出结果后检验是否为正数，且分配方案合理分配方案理解错误：错误：对“空出一辆车”“一间住不满”等表述理解偏差，导致总量表达式错误规避：仔细分析题意，明确“不足”的具体数量（如空出一辆车即少一辆的容量）幻灯片10：课堂练习基础题：把一些苹果分给小朋友，若每人分2个，则多12个；若每人分4个，则少6个。求小朋友的人数和苹果的个数。某班同学去划船，若每条船坐5人，则有14人没船坐；若每条船坐7人，则刚好有一条船空着。求船的数量和学生人数。一批货物用货车运输，若每辆车装10吨，则剩余5吨；若每辆车装12吨，则最后一辆车只装了5吨。求货车的数量和货物的总吨数。提高题：4.某学校组织学生参加社会实践活动，若租用30座客车若干辆，则有15人没有座位；若租用45座客车，则可少租2辆，且刚好坐满。求原计划租用30座客车的数量和参加活动的学生人数。用绳子测量井深，把绳子三折来量，井外余16dm；把绳子四折来量，井外余4dm。求井深和绳子的长度。幻灯片11：知识拓展古代算术中的盈余不足问题：我国古代数学著作《九章算术》专门设有“盈不足”章，记载了这类问题的解法，称为“盈不足术”。例如：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”译文：几人共同买物，每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱。问人数和物价各是多少？解法：设人数为x，则物价=8x-3=7x+4，解得x=7，物价=53钱。现代应用：盈余不足问题在资源分配、生产计划、预算规划等领域有广泛应用，核心是通过两种方案的对比找到最优分配方式。幻灯片12：课堂小结核心特征：问题包含两种分配方案，一种有盈余，一种有不足，总量保持不变等量关系：第一种方案的总量=第二种方案的总量即：分配量

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份数+盈余=分配量

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份数-不足解题步骤：审题→设份数为未知数→表示两种方案的总量→列方程→解方程→检验→作答注意事项：正确区分盈余（加）和不足（减）设参与分配的份数为未知数更简便检验解的实际合理性口诀记忆：盈余不足问题型，两种方案要辨清；一多一少找总量，总量不变是关键；份数设为未知数，加减盈余和不足；列出方程解问题，检验合理再答题。幻灯片13：作业布置教材P[XX]习题5.3第4、5、6题某工厂生产一批零件，若每天生产50个，则比计划晚8天完成；若每天生产60个，则比计划提前5天完成。求计划完成的天数和零件的总数。一群学生去公园划船，若每条船坐3人，则多20人；若每条船坐5人，则刚好坐满。求船的数量和学生人数。实践题：调查班级同学的文具数量，设计一个“盈余不足”问题（如分铅笔、橡皮等），列出方程并求解。思考题：用一根绳子绕树三圈，余3米；绕树四圈，差4米。求树的周长和绳子的长度。幻灯片14：结束页感谢聆听！疑问解答与交流2024北师大版数学七年级上册授课教师：

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5.3.2“盈余不足”问题第五章

一元一次方程aiTujmiaNg1.

借助表格分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题。2.

领悟数学来源于实践,服务于实践,解决问题用最简单的方法。重点：利用方程解决“盈余不足”问题。难点：根据题意建立等量关系,列出方程。《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部。《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”你知道我国古人是如何解决这个问题的吗？“盈不足”问题1“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱，若每人出7钱，则还少4钱。问合伙的人数和物品的价格分别是多少？（1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？合作探究（2）设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗？请完成下表。有关量每人出8钱每人出7钱人数x出钱总数物价8x

8x

-3x

7x

7x+4知识总结（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？方法总结：利用表格分析数量关系是一种有效方法。设人数为x。根据等量关系，列出方程：

。解这个方程，得x=

。因此，人数为

，物价为

。77538x

-3=7x+4知识总结如果设物价为y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。解得

y=53。你比较喜欢用哪种方式列方程呢？例1《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少？典例精析分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？有关量每人出400钱每人出300钱人数x出钱总数物价400x

400x

-3400x

300x

300x

-100解：设合伙人数为x，则金价可表示为（400x

-3400）钱，还可表示为（300x

-100）钱，根据等量关系，列出方程：方程的两边就是金价的两种不同的表达式。400x-3400=300x-100。解这个方程，得x=33。300×33-100=9800。因此，人数为33，金价为9800钱。思考交流（1）对于例1，如果设金价为

y，能列出怎样的方程？解得

y=9800。（2）《九章算术》给出了一种算法：人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差；物价=每人出的较多钱数×人数-剩余钱数，或物价=每人出的较少钱数×人数+不足的钱数。你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流。解方程→顺向思考算式方法→逆向思考知识点1

古算术中的盈余问题1.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱。问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？