第二章 第1练 不等式及其性质 同步练习(含详解)2026届高中数学一轮复习

第1练不等式及其性质一、单项选择题1．已知a，b∈R，若a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同时成立，则()A．ab>0 B．ab<0C．a＋b>0 D．a＋b<02．已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a3．(2024·湖北襄阳一模)在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度是每秒4米，距离爆破点150米以外(含150米)为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x(单位：厘米)应满足的不等式为()A．4×eq\f(x,0.5)＜150 B．4×eq\f(x,0.5)≥150C．4×eq\f(x,0.5)≤150 D．4×eq\f(x,0.5)＞1504．(2025·安徽合肥八中模拟)若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是()A．(－3，0) B．(－3，3)C．(0，3) D．(－3，5)5．(2024·陕西商洛模拟)已知a，b∈R，则“eq\f(1,\r(a))<eq\f(1,\r(b))”是“a3>b3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．(2025·山东济宁模拟)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是()A．xy＞yz B．xy＞xzC．xz＞yz D．x|y|＞|y|z7．设a＞b＞0，x＝eq\r(a＋b)－eq\r(a)，y＝eq\r(a)－eq\r(a－b)，则x，y的大小关系为()A．x＞yB．x＜yC．x＝yD．x，y的大小关系不定8．某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次均加200元的燃油．下列说法正确的是()A．采用第一种方案划算B．采用第二种方案划算C．两种方案一样D．采用哪种方案无法确定二、多项选择题9．下列说法中正确的是()A．若a>b>0，c∈R，则eq\f(2c,a)<eq\f(2c,b)B．若a>b>0，c∈R，则ac2>bc2C．若a<b<0，则a2>ab>b2D．若a<b<0，则a2＋a<b2＋b10．(2024·呼和浩特第二中学模拟)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是()A．c<b B．b≥1C．b≤a D．a<c11．已知a>0，b>0，a＋b2＝1，则()A．a＋b<eq\f(5,4) B．a－b>－1C.eq\r(a)·b≤eq\f(1,2) D.eq\f(\r(a),b－2)≥－eq\f(\r(3),3)三、填空题12．能够说明“设a，b是任意非零实数．若eq\f(b,a)>1，则b>a”是假命题的一组整数a，b的值依次为________．13．已知下列四个代数式：①4mn；②m2＋4n2；③4m2＋n2；④m2＋n2.若m>n>0，则代数式的值最大的是________(填序号)．14．(2024·河北石家庄二模)若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z的取值范围是________．四、解答题15．(1)证明：∀x，y∈R，x4＋y2≥x2y；(2)已知a>b>c>d>0，证明：eq\r(\f(d,a－d))<eq\r(\f(c,b－c)).16．(2025·安徽亳州模拟)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；(2)在锐角三角形ABC中，根据(1)中的结论，证明：eq\f(A,B＋C)＋eq\f(B,C＋A)＋eq\f(C,A＋B)<2.第1练不等式及其性质（解析版）一、单项选择题1．已知a，b∈R，若a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同时成立，则()A．ab>0 B．ab<0C．a＋b>0 D．a＋b<0答案：A解析：因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.2．已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a答案：D解析：由于每个式子中都有a，故先比较1，b，b2的大小．因为－1<b<0，所以b<b2<1.又因为a<0，所以ab>ab2>a.故选D.3．(2024·湖北襄阳一模)在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度是每秒4米，距离爆破点150米以外(含150米)为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x(单位：厘米)应满足的不等式为()A．4×eq\f(x,0.5)＜150 B．4×eq\f(x,0.5)≥150C．4×eq\f(x,0.5)≤150 D．4×eq\f(x,0.5)＞150答案：B解析：由题意，知导火索燃烧的时间为eq\f(x,0.5)秒，人在此时间内跑的路程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(x,0.5)))米，由题意可得4×eq\f(x,0.5)≥150.故选B.4．(2025·安徽合肥八中模拟)若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是()A．(－3，0) B．(－3，3)C．(0，3) D．(－3，5)答案：B解析：因为－4<b<2，所以0≤|b|<4，所以－4<－|b|≤0.又因为1<a<3，所以－3<a－|b|<3.故选B.5．(2024·陕西商洛模拟)已知a，b∈R，则“eq\f(1,\r(a))<eq\f(1,\r(b))”是“a3>b3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：若eq\f(1,\r(a))<eq\f(1,\r(b))，则a>b>0，所以a3>b3，充分性成立；若a3>b3，则a>b，但eq\f(1,\r(a))<eq\f(1,\r(b))不一定成立，不满足必要性，所以“eq\f(1,\r(a))<eq\f(1,\r(b))”是“a3>b3”的充分不必要条件．故选A.6．(2025·山东济宁模拟)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是()A．xy＞yz B．xy＞xzC．xz＞yz D．x|y|＞|y|z答案：B解析：因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定．对于A，因为x＞0＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；对于D，因为x＞z，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D错误．7．设a＞b＞0，x＝eq\r(a＋b)－eq\r(a)，y＝eq\r(a)－eq\r(a－b)，则x，y的大小关系为()A．x＞yB．x＜yC．x＝yD．x，y的大小关系不定答案：B解析：因为x＞0，y＞0，eq\f(x,y)＝eq\f(\r(a＋b)－\r(a),\r(a)－\r(a－b))＝eq\f(\r(a)＋\r(a－b),\r(a＋b)＋\r(a))＜1，所以x＜y.8．某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次均加200元的燃油．下列说法正确的是()A．采用第一种方案划算B．采用第二种方案划算C．两种方案一样D．采用哪种方案无法确定答案：B解析：分别用m，n(m≠n)表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，由题意可得，第一种方案，两次加油共花费(30m＋30n)元，两次共加了60升燃油，所以平均价格为eq\f(30m＋30n,60)＝eq\f(m＋n,2)元/升；第二种方案，两次加油共花费200＋200＝400元，两次共加了eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(200,m)＋\f(200,n)))升燃油，所以平均价格为eq\f(400,\f(200,m)＋\f(200,n))＝eq\f(2mn,m＋n)元/升.eq\f(m＋n,2)－eq\f(2mn,m＋n)＝eq\f(（m＋n）2－4mn,2（m＋n）)＝eq\f(（m－n）2,2（m＋n）)>0，所以采用第二种方案划算．二、多项选择题9．下列说法中正确的是()A．若a>b>0，c∈R，则eq\f(2c,a)<eq\f(2c,b)B．若a>b>0，c∈R，则ac2>bc2C．若a<b<0，则a2>ab>b2D．若a<b<0，则a2＋a<b2＋b答案：AC解析：对于A，由a>b>0，2c>0，知0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，得eq\f(2c,a)<eq\f(2c,b)，故A正确；对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误；对于C，当a<b<0时，由a2－ab＝a(a－b)>0，得a2>ab，又ab－b2＝b(a－b)>0，则ab>b2，故a2>ab>b2，故C正确；对于D，当a＝－2，b＝－1时，a2＋a>b2＋b，故D错误．故选AC.10．(2024·呼和浩特第二中学模拟)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是()A．c<b B．b≥1C．b≤a D．a<c答案：BD解析：∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋c＝6－4a＋3a2，,c－b＝4－4a＋a2，))两式相减得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，∴b≥1.又b－a＝a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，∴b>a.而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，从而c≥b>a.11．已知a>0，b>0，a＋b2＝1，则()A．a＋b<eq\f(5,4) B．a－b>－1C.eq\r(a)·b≤eq\f(1,2) D.eq\f(\r(a),b－2)≥－eq\f(\r(3),3)答案：BCD解析：因为a＝1－b2>0，b>0，所以0<b<1，所以0<a<1.因为a＋b＝1－b2＋b＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(5,4)≤eq\f(5,4)，取等号时a＝eq\f(3,4)，b＝eq\f(1,2)，满足a，b∈(0，1)，故A错误；因为a－b＝1－b2－b＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(5,4)>－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(5,4)＝－1，故B正确；因为eq\r(a)·b＝eq\r(1－b2)·eq\r(b2)＝eq\r(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,4))≤eq\f(1,2)，取等号时a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(\r(2),2)，满足a，b∈(0，1)，故C正确；因为b－2<0，所以要证eq\f(\r(a),b－2)≥－eq\f(\r(3),3)，只需证eq\f(a,（b－2）2)≤eq\f(1,3)，只需证3a≤(b－2)2，即证3(1－b2)≤(b－2)2，即证4b2－4b＋1≥0，即证(2b－1)2≥0，显然(2b－1)2≥0成立，当且仅当a＝eq\f(3,4)，b＝eq\f(1,2)时取等号，故D正确．故选BCD.三、填空题12．能够说明“设a，b是任意非零实数．若eq\f(b,a)>1，则b>a”是假命题的一组整数a，b的值依次为________．答案：－1，－2(答案不唯一)解析：要使“设a，b是任意非零实数．若eq\f(b,a)>1，则b>a”是假命题，只需满足b<a<0且a，b∈Z即可，可取a＝－1，b＝－2(答案不唯一)．13．已知下列四个代数式：①4mn；②m2＋4n2；③4m2＋n2；④m2＋n2.若m>n>0，则代数式的值最大的是________(填序号)．答案：③解析：∵m>n>0，由②－①，得m2＋4n2－4mn＝(m－2n)2≥0，∴②≥①；由③－②，得4m2＋n2－m2－4n2＝3m2－3n2>0，∴③>②；由③－④，得4m2＋n2－m2－n2＝3m2>0，∴③>④.∴代数式的值最大的是③.14．(2024·河北石家庄二模)若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z的取值范围是________．答案：[15，19]解析：因为x＋y＝4－z，2x－y＝5－z，所以x＝3－eq\f(2z,3)，y＝1－eq\f(z,3)，由x，y，z≥0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－\f(2z,3)≥0，,1－\f(z,3)≥0，,z≥0，))解得0≤z≤3，故M＝4x＋3y＋5z＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2z,3)))＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(z,3)))＋5z＝eq\f(4z,3)＋15∈[15，19]．四、解答题15．(1)证明：∀x，y∈R，x4＋y2≥x2y；(2)已知a>b>c>d>0，证明：eq\r(\f(d,a－d))<eq\r(\f(c,b－c)).证明：(1)x4＋y2－x2y＝x4－x2y＋eq\f(1,4)y2＋eq\f(3,4)y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2)y))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)y2，因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2)y))eq\s\up12(2)≥0，eq\f(3,4)y2≥0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2)y))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)y2≥0，则x4＋y2－x2y≥0，故∀x∈R，x4＋y2≥x2y(当且仅当x＝0，y＝0时取等号)．(2)因为a>b>c>d>0，所以－d>－c，所以a－d>b－c>0，则eq\f(1,（a－d）（b－c）)>0，所以(a－d)·eq\f(1,（a－d）（b－c）)>(b－c)·eq