第五章　素养提升课(一)　小船渡河与关联速度问题

6/6素养提升课(一)小船渡河与关联速度问题1．进一步理解合运动与分运动，掌握运动合成与分解的方法。2．能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题。小船渡河问题1．运动分析：小船渡河时，同时参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动。2．两类常见问题(1)渡河时间问题①渡河时间t取决于河宽d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝dv②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图所示，此时t＝dv(2)最短位移问题①若v水<v船，如图甲所示，最短的位移为河宽d，船头与上游河岸夹角满足cosθ＝v水②若v水>v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与河岸夹角θ满足cosθ＝v船v水，最短位移x短【典例1】一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s，船在静水中的速度为v2＝5m/s，则：(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(3)如果其他条件不变，水流速度变为6m/s。船过河的最短时间和最小位移是多少？[思路点拨]求解小船渡河问题应理清以下问题：(1)船头指向是小船在静水中的速度的方向。(2)小船实际运动的方向是合速度的方向。(3)v水＞v船时，小船不能垂直河岸渡河。[听课记录]_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________研究小船渡河问题的思路(1)研究小船渡河时间时→应用v船垂直于河岸的分速度求解，与v水的大小无关。(2)分析小船速度时→可画出小船的速度分解图进行分析。(3)研究小船渡河位移时→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图。[针对训练]1．通过一次次抗洪抢险，抗洪精神早已刻入中华儿女血脉之中。我们把某次救人的情境简化为理想情境：河岸平直，河宽为100m，河水流速为1m/s，船在静水中的速度为2m/s，则()A．船无法到达正对岸B．船渡河的最短时间为100sC．船在河水中的实际速度大小可能是2m/sD．若仅增大河水流动的速度，则船渡河的最短时间将变长2．(多选)一快艇从离岸边100m远的河流中央向岸边行驶。已知快艇在静水中的速度—时间图像如图甲所示；河中各处水流速度相同，且速度—时间图像如图乙所示，则()A．快艇的运动轨迹一定为直线B．快艇的运动轨迹一定为曲线C．快艇最快到达岸边，所用的时间为20sD．快艇最快到达岸边，经过的位移为100m“关联”速度问题1．绳、杆关联速度问题的解题步骤(1)确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度。(2)分解合速度：按平行四边形定则进行分解，作好矢量图。合运动所产生的实际效果：一方面产生使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果。两个分速度的方向：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向。(3)联系点：两物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。常见的模型如图所示：2．相互接触物体的速度关联的解题步骤(1)确定合速度：明确两接触物体的速度。(2)分解合速度：分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解。(3)联系点：两物体沿弹力方向的分速度大小相等。【典例2】如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，v1＝v。(1)求两绳夹角为θ时，物体上升的速度大小。(2)在汽车做匀速直线运动的过程中，物体是加速上升还是减速上升？(3)在汽车做匀速直线运动的过程中，绳子对物体的拉力F与物体所受重力mg的大小定性关系如何？[思路点拨]解此题要注意两点：(1)汽车运动的速度v1是合速度，可沿绳和垂直于绳分解。(2)物体的速度v2等于绳子的速度。[听课记录]_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【典例3】甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是()A．甲、乙两球的速度大小之比为7∶3B．甲、乙两球的速度大小之比为37∶7C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大[听课记录]_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【典例4】如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为()A．vsinαL BC．vcosαL [听课记录]_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[针对训练]3．如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是()A．v1＝v2B．v1＝v2cosθC．v1＝v2tanθD．v1＝v2sinθ4．如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船水平速度vx为()A．小船做变速运动，vx＝vB．小船做变速运动，vx＝v0cosαC．小船做匀速直线运动，vx＝vD．小船做匀速直线运动，vx＝v0cosα素养提升课(一)小船渡河与关联速度问题[探究重构·关键能力达成]典例1解析：(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示。时间t＝dv2＝v合＝v1位移为x＝v合t＝905m。(2)欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸，船头应朝上游与河岸成某一夹角β，如图乙所示，有v2cosβ＝v1，得β＝60°最小位移为xmin＝d＝180m所用时间t′＝dv合'＝dv(3)最短渡河时间只与v2有关，与v1无关，当船头垂直于河岸渡河时时间最短，t＝dv2＝36s；当水流速度变为6m/s时，v1＞v2，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图丙所示，以v1矢量的末端为圆心、以矢量v2的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，设船头与上游河岸夹角为α，则cosα＝v2v1，最小位移为x′min＝dcosα＝答案：(1)船头朝垂直于河岸方向36s905m(2)船头偏向上游，与河岸夹角为60°243s180m(3)36s216m[针对训练]1．C[根据题意可知船速大于水速，当船的速度在沿着河岸方向与水流速度大小相等且方向相反时，可以到达正对岸，故A错误；当船头始终垂直河岸时，渡河时间最短为tmin＝dv船＝1002s＝50s，船渡河的时间与河水的流动速度无关，故B、D错误；根据运动的合成可知，当船速方向与水流速度的方向为某钝角时，船在河水中的实际速度等于2．BC[两分运动一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，知合初速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，故A错误，B正确；当快艇相对于静水的速度方向垂直于河岸时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5m/s2，由d＝12at2，得t＝20s，位移应大于100m，故C正确，D错误。典例2解析：(1)根据实际效果可将汽车的运动分解为沿绳方向上的运动和垂直于绳方向上的运动，如图所示，则有v2＝v1sinθ＝vsinθ。(2)当汽车水平向左做匀速直线运动时，角度θ变大，由v2＝vsinθ知，绳的运动速度变大，即物体将加速上升。(3)物体加速上升，即物体所受合外力的方向竖直向上，而物体只受重力和拉力的作用，故拉力F大于物体的重力mg，即F＞mg。答案：(1)vsinθ(2)加速上升(3)F＞mg典例3B[设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥＝v1cosθ，v2在沿杆方向的分量为v2∥＝v2sinθ，而v1∥＝v2∥，题图所示位置时，有cosθ＝74，sinθ＝34，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为v1v2＝377，选项A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ＝典例4B[棒与平台接触点的实际运动(即合运动)方向是垂直于棒指向左上方，如图所示，合速度v实＝ωL，沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即ωLsinα＝v，所以ω＝vLsinα。所以A、C、D][针对训练]3．C