江西省2026届高三上学期8月入学摸底考试数学试题（答案完整）

江西省2026届高三年级入学摸底考试数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：①答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．②回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，必须使用黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．③考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.记为等差数列的前项和，若，则（）A.59 B.61 C.63 D.653.“”是“函数为偶函数”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若随机变量，且，则的最小值为（）A. B. C.8 D.5.已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（）A. B. C. D.6.已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为（）A.24 B.28 C.32 D.367.已知数列满足，且函数．当时，函数恰有一个零点，则（）A. B. C. D.8.已知为曲线上的两点，为曲线上的两点．其中点在点左侧，点在点左侧．则矩形的面积最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若双曲线焦距是虚轴长的倍，则（）A.的离心率为 B.的渐近线方程为C.的渐近线夹角的正切值为 D.的实轴长是虚轴长的倍10.在直角中，且．若的内切圆半径为2，且与线段相切于点，则（）A. B.C. D.11.赣南脐橙是江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品，被誉为＂中华名果＂．近年赣南脐橙受黄龙病影响，脐橙产品合格率有所降低．现有6个脐橙，其中有3个不合格产品，每次从中抽取1个且不放回，设为抽到第2件合格品时抽取次数，则（）A.的取值为2，3，4，5 B.时，共有108种抽取顺序C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的实部为______．13.已知，且，则______．（用含的代数式表示）14.在平面直角坐标系中，已知．若抛物线上有且仅有一点满足，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.2025年江西省城市足球联赛（即“赣超”）在江西各区市举行为了研究观看“赣超”与经常参与足球运动的关系，在城市社区随机调查了1200人，得到如下的列联表：观看“赣超”不观看“赣超”经常参与足球运动67921不经常参与足球运动121379（1）求观看“赣超”者不经常参与足球运动的概率的估计值；（2）根据小概率值独立性检验，分析观看“赣超”是否与经常参与足球运动有关．附：．00500.0100.0013.8416.63510.82816.如图，三棱锥中，，，，，，．（1）若，证明：平面平面；（2）若二面角的正切值为，求三棱锥的外接球表面积．17.已知函数．（1）若曲线的切线过点，求与坐标轴围成的三角形面积的最小值；（2）（ⅰ）求曲线在处切线方程；（ⅱ）设函数，判断有几个极值点并说明理由．（参考数据：）18.已知数列，其前项的和为．设数列，其中．（1）求；（2）设，求的值；（3）设，求使得成立的最大正整数的值．（其中符号表示不超过的最大整数）19.已知和为椭圆上的两点，点和也在椭圆上，点A在射线上且满足，线段与椭圆交于异于的点B，记和的面积分别为，且．（1）用表示点B的坐标；（2）（i）求；（ii）若，求点的坐标．参考答案1-8【答案】C【答案】D【答案】D【答案】A【答案】B【答案】B【答案】B【答案】A9.【答案】AC10.【答案】BD11.【答案】ABD12.【答案】13.【答案】或14.【答案】3215.【小问1】根据表格可知，观看“赣超”的800人中有121人不经常参与足球运动，所以所求概率的估计值为.【小问2】零假设为：观看“赣超”与经常参与足球运动无关，根据题中表格得：观看“赣超”不观看“赣超”合计经常参与足球运动67921700不经常参与足球运动121379500合计8004001200代入公式得：，根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即观看“赣超”与经常参与足球运动有关.16.【小问1】，解得，在中，由余弦定理，，代入数据得，所以，所以，由勾股定理逆定理得，，因为且，所以，又因为，所以，所以即，结合前述，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．【小问2】在中，由余弦定理，，因为，所以，所以，解得，在平面内，过点A作，取，则在平面内，，且，所以，四边形为矩形，由知，因为平面平面，又，所以二面角的平面角为，连接PE，则，也即，在中，，解得，又因为，，所以，即为直角三角形，，又因为，，所以平面，所以，得到，所以平面，由此以矩形为底，为高构建长方体，如图所示，所以可将三棱锥放入长方体内，该长方体的长宽高分别为，长方体的体对角线等于外接球的直径，，所以．17.【小问1】设切线与曲线相切于点，则的方程为，将代入得，得：，，令，解得：，所求三角形面积，，时，，则单调递减，时，，则单调递增，，即所求三角形面积最小值为．小问2】（i），则曲线在处的切线方程为，即．（ⅱ），欲求有几个极值点，即求有几个变号零点，令，①时，，则在上单调递增，，由零点存在定理：，使得，时，有一个极值点，②时，，此时无零点，③时，下证：，令，则，时，，故单调递减；时，，故单调递增，，令，则，时，单调递增；时，单调递减，，，恒成立，此时无零点，④时，，但两者不同时取得等号，恒成立，此时无零点，综上可得，有1个极值点．18.【小问1】，，，即，，，即，，同理，，则，而，所以.【小问2】由，则，当时，，可知数列是以为首项，以为公差，项数为的等差数列，，，.【小问3】，下证当时，：①显然恒成立②，，，故，，，即，又，，因此满足不等式的最大正整数.