考点04基本不等式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）原卷版

考点04基本不等式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．【知识点】1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时，等号成立．(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥(a，b同号)．(3)ab≤(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值.(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．【核心题型】题型一利用基本不等式求最值(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．命题点1配凑法【例题1】（2024·辽宁·一模）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1】故选：D（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是.【变式2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函的最小值为m．(1)求m的值；(2)若a，b为正数，且，求的最大值.【变式3】（2024·黑龙江·二模）已知实数，且，则取得最大值时，的值为（

）A． B． C． D．或命题点2常数代换法【例题2】（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（）A． B． C． D．3【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知，则下列选项中，能使取得最小值25的为（

）A． B． C． D．【变式3】（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．命题点3消元法【例题3】（2024·全国·模拟预测）已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1】（2023·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（

）．A．4 B．6 C．8 D．12【变式2】(2023·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．【变式3】（2024·浙江·模拟预测）已知，求的最小值．题型二基本不等式的常见变形应用基本不等式的常见变形(1)ab≤≤eq\f(a2＋b2,2).(2)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．【例题4】（2023·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（

）A． B．C． D．【变式1】（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（

）．A． B．C． D．【变式2】（2023·陕西宝鸡·二模）设a，，则“”是“”的（

）充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，则下列说法正确的是（

）A． B．是递减数列C． D．题型三基本不等式的实际应用利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．【例题5】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当米时，直角梯形花坛的面积最大．

【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（

）A．B．C．D．的大小无法确定【变式2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（

）A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45【变式3】（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．10818【课后强化】基础保分练单选题1.（2024·河南南阳·一模）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．112．（2023·河南开封·三模）已知，，且，，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．3．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（

）A．甲更合算 B．乙更合算C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算4．（2024·陕西西安·一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（

）A．60 B．61 C．75 D．765．（2023·河南信阳·模拟预测）若，则函数有（

）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值6．（2024·四川凉山·二模）已知正数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题7．（2024·江苏·一模）已知，且，，则(

)A． B．C． D．8．（2024·贵州贵阳·一模）已知，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题9.（2024·云南红河·二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，则的最小值为.10．（2024·江西九江·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，B，C成等差数列，，则面积的最大值是，.四、解答题11．（2024·四川广安·二模）已知，，均为正数，且.(1)是否存在，，，使得，说明理由；(2)证明：.12．（2024·四川成都·二模）已知函数(1)求不等式的解集；(2)设的最小数为，正数满足，求的最小值.综合提升练一、单选题1．（2024·广东湛江·一模）已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2024·辽宁鞍山·二模）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（

）A． B． C．1 D．23．（23-24高三上·浙江金华·期末）若，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．（2024·陕西西安·一模）已知二次函数的图象与轴交于、两点，图象在、两点处的切线相交于点．若，则的面积的最小值为（

）．A． B． C． D．6．（2023·山东泰安·模拟预测）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品.实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（

）A．大于克 B．小于克C．大于等于克 D．小于等于克7．（2024·云南楚雄·模拟预测）足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现有一个11人制的标准足球场，其底线宽，球门宽，且球门位于底线的中间，在某次比赛过程中，攻方球员带球在边界线上的点处起脚射门，当最大时，点离底线的距离约为（

）A． B． C． D．8．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（

）A．12 B．24 C． D．二、多选题9．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的有（

）A． B． C． D．10．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．11．（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c满足，则（

）A． B．C． D．三、填空题12．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且总体的平均值为10．则的最小值为．13．（2024·辽宁大连·一模）对于任意的正数m，n，不等式成立，则λ的最大值为14．（2024·四川泸州·二模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为．四、解答题15．（2024·四川成都·二模）已知函数，不等式的解集为.(1)求实数的值；(2)函数的最小值为，若正实数满足，求的最小值.16．（2023·陕西宝鸡·二模）已知函数．(1)求的解集；(2)设的最小值为，若正数，，满足，求的最大值．17．（2024·青海·一模）已知正数满足．求证：(1)；(2)．18．（2024·广东·一模）海参中含有丰富的蛋白质、氨基酸、维生素、矿物质等营养元素，随着生活水平的提高，海参逐渐被人们喜爱．某品牌的海参按大小等级划分为5、4、3、2、1五个层级，分别对应如下五组质量指标值：，，，，．从该品牌海参中随机抽取10000颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．(1)质量指标值越高，海参越大、质量越好，若质量指标值低于400的为二级，质量指标值不低于400的为一级．现利用分层随机抽样的方法按比例从不低于400和低于400的样本中随机抽取10颗，再从抽取的10颗海参中随机抽取4颗，记其中一级的颗数为X，求X的分布列及数学期望；(2)甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌海参的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订单，每个订单均由箱海参构成．假设甲、乙两人抢购成功的概率均为，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为Y，抢到海参总箱数为Z．①求Y的分布列及数学期望；②当Z的数学期望取最大值时，求正整数n的值．19．（2023·四川达州·二模）在中，角、、所对的边分别为、、，.(1)求；(2)若，求面积的最小值.拓展冲刺练一、单选题1．（2024·辽宁·一模）已知．则“且”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·山东济宁·一模）已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（

）A．27 B．24 C．32 D．28二、多选题5．（2024·江苏·一模）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称C．不等式无解 D．的最大值为6．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·模拟预测）实数，满足，则（

）A．B．的最大值为C．D．的最大值为三、填空题8．（2024·四川成都·模拟预测）已知实数，若，则的最小值为．