考点33复数（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）原卷版

考点33复数（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．【知识点】1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中是复数z的实部，是复数z的虚部，i为虚数单位．(2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b0，,虚数b0当a0时为纯虚数.))(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作或，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一对应),\s\do5())复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一对应),\s\do5())平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝(c＋di≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝.常用结论1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．5．复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆【核心题型】题型一复数的概念解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．【例题1】（2024·四川·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C． D．【变式1】（2024·辽宁·三模）已知复数在复平面上对应的点为，若，则实数的值为（

）A．0 B． C．1 D．1或【变式2】（2023·江苏·三模）设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式3】（2024·山东日照·二模）设为虚数单位．若集合，，且，则．题型二复数的四则运算(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．【例题2】（2024·湖北·模拟预测）已知复数，为虚数单位)，若且，则（

）A．2 B． C． D．【变式1】（2024·山东·模拟预测）已知复数满足，且，则（

）A．1 B． C． D．【变式2】（2024·福建福州·三模）已知复数满足：，，则（

）A．的最小值是1 B．的最大值是2C．的最大值是3 D．的最大值是4【变式3】（2024·湖南·模拟预测）已知是复数的虚数单位，且，则的值为．题型三复数的几何意义由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观【例题3】（2024·全国·模拟预测）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（

）

A． B． C． D．【变式1】（2024·海南海口·二模）在复平面内，对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2】（2024·湖南长沙·二模）在复平面内，复数和对应的点分别为，则.【变式3】（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，且．(1)求函数的解析式；(2)为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为，，求面积的取值范围．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（

）A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴2．（2024·河南·三模）已知为虚数单位，（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（

）A． B．i C． D．4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的虚部为（

）A．2i B． C． D．2二、多选题5．（2024·湖南·二模）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（

）A．若复数，则B．若，则C．若，则D．复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆6．（2024·广东广州·模拟预测）已知复数，，下列结论正确的有（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，，则为纯虚数三、填空题7．（2024·山西·三模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是．8．（2024·四川成都·模拟预测）设，则的虚部为．9．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知复数，则的虚部为.四、解答题10．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求及的值．11．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数，且.(1)求的最大值；(2)从①②中任选一个作答.若选择多个分别作答.按第一个解答计分.①为函数图象与轴的交点，点，为函数图象的最高点或者最低点，求面积的最小值.②为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为，，求面积的取值范围.【综合提升练】一、单选题1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设复数,则的虚部是（

）A． B． C． D．2．（2024·河北·模拟预测）若，则（

）A． B．C．或 D．3．（2024·全国·模拟预测）已知，则（

）A．i B． C． D．4．（2024·江西·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（

）A． B． C． D．5．（2024·四川成都·模拟预测）复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（）A． B． C． D．6．（2024·山西运城·三模）设，则（

）A． B． C． D．7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（

）A． B．2 C． D．8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）复平面内三点所对应的复数分别为，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（

）A．2 B． C．1 D．二、多选题9．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，都是复数，下列正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．（2024·广东江门·一模）下列说法正确的是（

）A．，B．C．若，，则的最小值为1D．若是关于x的方程的根，则11．（2024·河南·三模）在复平面内，设为坐标原点，复数对应的点分别为，，若，则可能是（

）A． B． C． D．三、填空题12．（2023·天津南开·一模）是虚数单位，复数.13．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知复数z满足，则的值为.14．（2024·福建厦门·三模）复数满足，，则.四、解答题15．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知关于得二次方程：.(1)当方程有实数根时，求点的轨迹方程；(2)求方程实数根的取值范围.16．（2022·浙江·模拟预测）在正三棱台中，是边长为的等边三角形，且.已知，，，分别是线段，的中点，当直线上一动点在射线上时，，.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)连接，，已知点在平面投影是，平面是一个分别以，作为，轴的复平面，.当时，请直接写出的虚部（不要求写出过程）.17．（2021·上海·模拟预测）已知关于的方程的虚数根为、.（1）求的取值范围；（2）若，求实数的值.18．（2021·黑龙江大庆·模拟预测）已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）.（1）设复数，求；（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围.19．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列，我们称（规定）为无穷数列的指数型母函数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为，它具有性质．(1)证明：；(2)记．证明：（其中i为虚数单位）；(3)以函数为指数型母函数生成数列，．其中称为伯努利数．证明：．且．【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（

）A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件2．（2024·全国·模拟预测）已知为虚数单位，且复数，则下列说法中正确的是（

）.A．复数为实数 B．C．复数为纯虚数 D．3．（2024·全国·模拟预测）已知复数满足：（为虚数单位），则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）设，为复数，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则且C．若，则D．若，且，则在复平面对应的点在一条直线上二、多选题5．（2024·辽宁丹东·二模）已知复数的虚部与的实部均为2，则下列说法正确的是（

）A．是虚数B．若，则C．若，则与对应的点关于x轴对称D．若是纯虚数，则6．（2024·山东青岛·一模）已知复数z，下列说法正确的是（

）A．若，则z为实数 B．若，则C．若，则的最大值为2 D．若，则z为纯虚数三、填空题7．（2024·上海普陀·二模）已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点的坐标为.8．（2023·北京海淀·二模）在复平面内，复数z所对应的点为，则．9．（2024·上海杨浦·二模）设复数与所对应的点为与，若，，则.四、解答题10．（2022·甘肃兰州·一模）实数取什么值时，复数是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？11．（2024·贵州黔南·二模）