专题09综合与实践（创新压轴题41题）江西专用：2021~2025中考1年模拟数学真题专项试题

...在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O．（2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α,并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值绕点A逆时针旋转，旋转角为α,并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由；如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，上DCE=90°,连接BE，（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC=6，设AD=x，四边形CDFE的面积为y．①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；@当BF=2时，请直接写出AD的长度．,动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的@S关于t的函数解析式为_______．2@当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积．究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过时，重叠部分的面积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为________相交于点M，N．@如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含a的式子表已知：如图①,直线MN^AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点．【定理证明】【定理应用】（2）如图②,△ABC中，AD^BC于点D，AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点（3）如图③,矩形ABCD中，AB=12，点E是AD上的一点，AE=6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，求DE的长．是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．当△CEF为直角三角形时，请直接写出BD的长．【课本再现】（1）如图1，△ABC的ÐABC和ÐACB的平分线BE,CF相交于点G．@求证：上【数学思考】【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD的顶点A,D在ΘO上，AB与ΘO相交于点E,F为的中点，若如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E为边AD上的一个动点并交于点F；如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P为对角线AC（不与点A，C重合）上一动点，过点P作MN丄AC，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME丄AD交AC于点E；（2）判断点P在移动过程中，线段MN的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段MN长度的变化范围，若不变化，求出线段MN长度的如图3，矩形ABCD中，AB=6，ADBQ=AB，点F在线段BQ上且BF=4，连接CF．AB=AE，F是BC上的一点，且EF=EC，过点C作CP丄EF，交BE于点P，过点P作@若AE=3DE，求的值．101）如图，在Rt△ABC中，上ACB=90°,CO为斜边AB上的中线，那么OC与AB之【深入探究】【应用提升】（3）如图4，在正方形ABCD中，E为BC上一点，F为AE的中点，以CF，DF为边在AE的右侧作平行四边形FCGD．@如图5，连接AC，过点E作AC的垂线，垂足为M，若上DFM=45°,EC=8，求四边形【模型建立】（1）如图1，若上ABC=60°,将△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，连接DE．@用等式写出线段AD,BD,CD之间的数量关系，并证明．【模型应用】【模型迁移】（1）如图1，在正方形ABCD中，E是边AB上的动点，连接CE．过点D作DF丄CE于点【数学模型】于点F，连接DF，当△CFD是以CF为底的等腰三角形时，求CE的长；【模型迁移】直线l交于点E，连接EC，BE，探究AC¢与BE的数量关系．绕点D顺时针旋转60°,得到DF，连接CF．【夯实基础】【特例探究】【拓展延伸】（3）请利用备用图探究：在点D运动的过程中，当△DFC是直角三角形时，求BC与CD15．在矩形ABCD中，BC=kAB，点E是CD边上不与端点C、D重合的动点，CH丄BE于H，【课本再现】（1）如图（1当k=1时，延长CH交AD于点F，求证：BE=C上的点N处，并使折痕经过点B，得到新折痕BM，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把ÐABC分成了()对折两次，对角线AC与折痕GH相交于点O，沿直线OB再次折叠，折痕交AD于点P，此证明：如图2，在矩形ABCD中，ADⅡBC，由折叠可知，GH∥BC，AB=4AG，QAPⅡBC，:△APO∽______，即AD=BC=3AP．（3）如图3，先把矩形ABCD沿EF对折，再沿DE折叠，折痕DE交对角线AC于点G，过点G折叠矩形，使得点A落在AD上，得到折痕PQ．请判断点P是否为AD边的“三等分把△ADP沿DP翻折得△EDP，直线PE交BC于点F，请求出BF的长．运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度沿AB运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以AQ,PQ为边在AB的上方作平行四边形ADPQ，设运动时间为ts，平行四边形ADPQ的面积为Scm2（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设（3）当点P在AC上运动时记为P1，运动时间记为t1，平行四边形ADPQ的面积记为S1；当点P在BC上运动时记为P2，运动时间记为t2，平行四边形ADPQ的面积记为S2，PP@当t1+t2=9时，S1-S2的值为__________．在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF与AC相交于点G．（1）①如图1，若点E，F分别是AB，AD的中点，则tan上EFC=______；②如图2，若点F是AD的中点，上EFC=90°,则【类比探究】在菱形ABCD中，上BAD=60°,点E，F分别在AB，AD上，对角线AC，BD相交于点O，CF与BD相交于点M，连接EF交AC于点G．（2）①如图3，若E，F分别是AB，AD的中点，求tan上EFC的值；【拓展延伸】（3）如图5，在四边形ABCD中，BC∥AD，且点E为AB的中点．若求BC边上中线AD的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路．思路1：将△ADC绕着点D旋转180°,使得CD和BD重合，得到△EDB…思路2：延长AD到E，使得DE=AD（1）根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到AD的取值范【类比探究】试探索DF与BC的数量关系，并说明理由．【迁移应用】如图1，四边形ABCD是一个正方形，E是BA延长线上一点，将△BCE沿CE折叠，得到△FCE，CE与AD交于点P，延长AD交EF于点G连接CG，AE=mAB，（3）如图2，连接BD并延长，与CG的延长线交于点H，连接EH，若AB=2，△ECH(1)如图，已知点E在矩形ABCD的对角线BD上，AB=2AD，将△AED绕点A顺时针旋转90°后，以点A为位似中心放大两倍得到△AFB，连接FE．①证明：△AFE∽△ABD；②求AE，BE，DE的数量关系．(1)如图1，△ABC中若点D是BC的中点，且AD平分ÐBAC则AB与AC的数量关系是(2)如图2，△ABC中，AB>AC，点D是BC的中点，AG平分ÐBAC，过点D作DF∥GA，交BA于点E，交C（的延长线于点F求证：AB-AE=AC+AF；(3)如图3四边形ABCD中线段AD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点P连接AP，DP，若上APD=90°则AB与CP的(4)如图4．四边形ABCD中，线段AD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点P，连接AP，DP，且上APD<90°作DF丄AP于点F（异于点P连接CF，若CF=3，②若点P与点B重合，且上APQ=上C，则且始终满足DE=DB，以点D为圆心，DE的长为半径画弧并交线段AB于点F，连接EF,DF；若四边形AEDF是菱形，则CD的长是多少？(3)当图②中的点D运动到如图③所示位置时，取BD的中点G，连接EG，若满足动（运动到点C停止以DP为边在DP上方作正方形方形DPEF的面积为y．（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线x=2是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写（4）连接正方形DPEF的对角线DE，PF，两对角线的交点为M，求点A在△DFM内部时x和y的取值范围．如图1，YABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB是等边三角形，且AB=4．连接MN．．点F与AD的中点重合，AB=2．@设AC与EF交于点G，求CG的长．（2）如图2，将△AEF绕点A顺时针旋转，O是AC的中点，P是EF的中点，连接OP，（3）如图3．将△AEF绕点A顺时针旋转a°(0<a<90)，延长EF，交AC于点M，若求AM的长．【学习心得】（1）小贤同学在学习完“等腰三角形”这一节内容后，感边三角形，运用等边三角形的知识来解决，从例如：如图1，已知△ABC为等边三角形，延长BC到点D，延长BA到点E，并且使AE=BD，连接CE，DE．求证：EC=ED．小贤同学的证明思路：延长BD至点F，使DF=BC，连接EF，先证明构造的△BEF为等【类比迁移】【拓展延伸】上BAD=15°,将线段AD沿着直线AC翻折，点D恰好落在点E处，连接DE．【特例感知】【猜想论证】【拓展应用】【问题情境】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8，点E在边BC上，将△ABE沿AE所在的直线【特例感知】（1）如图1，当点F在直线AC上时，（2）如图2，当E,F,D三点共线时，求BE的长．【深入探究】（3）如图3，设BE=x，点F到BC的距离为y．①求y与x的函数解析式．分别作AC与BC的垂线，垂足分别为E，F，连接DE，DF，则DE，DF的关系是.______过点P分别AC与BC的垂线，垂足分别为E，F，连接DE，DF，EF．求证：△DEF是中点，P是射线AB上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为F，D，连接DC，FC，DF，点E与点C关于DF对称，连接DE，EF．①当点P在线段AB上运动时，请判断点E是否在一条直线上运动．若在，请直接写出这@设点F的横坐标为x，四边形CDEF的面积为y，求y与x的函数解析式，并在如图4所如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，ÐACB=ÐDAE=90o，且点D与AB的中点M重合，AC=4，（2）如图2，将VADE绕点A逆时针旋转，连接BD．②当DE∥AB时，请直接写出以BD为边的正方形的面积．（3）如图3，取DE的中点P，连接PM，在VADE绕点A逆时针旋转的过程中，当PM最大时，求以BD为边的正方形的面积．三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．（1）已知：如图①,DE是VABC的中位线．延长DE至点F，使FE=DE，连接CF．求证：DEⅡBC且．（2）如图②,在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若为AB，CD边上的点，若，DF=2，上GEF=90°,求GF的长．个三角形构成相似图形，我们称这两个三角形互若连接BD,CE，则和△ABE互为“旋转相似图形”；如图4，△ABC为等腰直角三角形，点G为AC的中点，点F是AB上一点，D是GF延长线上一点，点E在线段GF上，且△ABD与△AGE互为“旋转相似图形”，若求DE和BD的长．位长度/秒，过点E作EFⅡBC，过点P作PFⅡAB，点P在点E出发2秒后出发，当一动点到达终点时另一动点也停止运动．设点E@连接EP，若四边形AEPF是平行四边形，求S的值．（1）如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，分别连接BC【特殊感知】【类比应用】,求BD的长；小颖同学发现运用旋转可得到图1中类似的图，运用（2）的方法【提出问题】老师提出了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，P为AD边上的一动点，以PC为边向右作菱形PCFE，上EPC为a，连接BE，求BE的最小值．【特例感知】如图2所示，当a=60°时，小明连接CE，以BC为边向下构造一个△BCG，连接PG．便可得到△PCG≌△ECB，进而将BE的最小值转化为PG的最小值．【拓展应用】若对于任意a，请你用含m，n的式子直接写出BE的最小值.______37．定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，AB丄BC，则四边形ABCD为等直四边形．【特例感知】（2）如图2，在等边△ABC中，点D为内部一点，且AD平分ÐBAC，连接DC，将线段DC绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接BE，CE．求证：四边形ABEC是等直【深入探究】分别交CD与ÐBAD的角平分线于E，F，连接FC，FD．【拓展应用】【基本图形】@如图2，AC=AD，AB平分上CAD，求证：【方法运用】如图3，点O是△ACB的内心，以点A为圆心，AB为半径画弧，交AC的延长线于点D，连接OD,OB，若上ACB=90°,猜想线段OB,OD的关系，并进行证明．【拓展延伸】（3）如图4，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=BD=AB，E,F两点分如图1，在YABCD中，点E,F分别在直线AB和AD上，直线CE,BF相交于点G,ÐFGC=ÐDAB，某数学兴趣小组在探究CE,BF,AB,AD四条线段的比例关系时，经历【特例感知】【猜想证明】①或@选择一个证明即可）【拓展应用】（3）如图4，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点DC绕着点D按顺(3)如图3，取AB的中点E，A¢C的中点F，当△DEF是轴对称图形且有三条对称轴时．已知正方形ABCD，点P在AD边上或上方，连接PB，PC，且PB=PC，PC交对角线BD于点E，连接AE并延长，分别交PB，DC于点M，F．①△ABP，△DAF，△DCP全等的结论______（填“成立”或“不成立”（2）如图2，当点P在AD边的上方时，PB交AD于点I，PC交AD于点G．请写出BI与（3）如图3，在（2）的条件下，过点P作PH丄AD，垂足为H，交AF于点N，连接AP，BN．若上NBC=60°,则四边形ABNP是何种特殊四边形？试证明．的值与α无关，理由见解析4）△AFB∽△AEO，推出根据正方形的性质求解即可；（3）同理可证△AFB∽△AEO，得到，根据线段垂直平分线的性质求得【详解】解1）∵正方形ABCD，:旋转角为根据题意得△AEF∽△AOB，:△AFB∽△AEO，:菱形ABCD中，上ABC=60°,:O是AB的垂直平分线与BD的交点，:AO=BO，bBFABbbBFABb 线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵21）AD丄BE，AD=BE（2）BE与AD之间的位置关系是AD丄BE，数量关系是最小值为18；@当BF=2时，AD为2或4.（3）①先证明四边形CDFE为正方形，如图，过C作CH丄AB于H，可得结合函数性质可得最小值；@如图，连接OC，OB，OF，证明再解方程可得答案. :AD丄BE，:BE与AD之间的位置关系是AD丄BE，数量关系是AD=BE；（2）BE与AD之间的位置关系是AD丄BE，数量关系是理由如下：:△ACD∽△BCE；BEBCADAC:AD丄BE，:BE与AD之间的位置关系是AD丄BE，数量关系是=m；:点F与点C关于DE对称，:△DFE为等腰直角三角形；CE=CD=EF=DF，:四边形CDFE为正方形，如图，过C作CH丄AB于H，:DH=3-x，2x-3)2:y与x的函数表达式为连接OC，OB，OF，:D,C,E,B,F在ΘO上，且CF为直径，:正方形面积为综上：当BF=2时，AD为2或4.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键.(3)①4；@2:当t=1时，点P在BC上，且CP=1，@∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发:当t=2时，S=6，:可设S关于t的函数解析式为S=a(t-4)2+2，2 22222.与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE丄BC，重叠部分的面积正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=S．利用全等三角形的性质证明 （3）当点M,N都在BC上时，过点O作OQ丄BC于点Q，作OMN的外接圆，记为ΘP，连接PO,PM,PN，过点P作PK丄MN于点K，则上MPN=2上MON=2a，MN=2MK设R.cosa+R≥OQ，故当点O,P,K三点共线时，R取得最小值，此时在Rt△OQM中，在CD上时，过点O作OT丄CD于点T，过点OR丄ON交BC于点R，同上可得△OTN≌△OQR，则S△OTN=S△OQR，由于SOMCN=S正方形OQCT-(S△OTN+S△OQM)，故当S△OTN+S△OQM最小，则SOMCN最大，因为S△OTN+S△OQM=S△OQR+S△OQM=S△ORM，故S△ORM最小，则SOMCN最大，同上，OQ垂直平分RM，此时RQ=QM=TN，S2=2S△CMO，一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=S．理由：设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM丄AB于点M，ON丄BC于点:OM=ON，:四边形OMBN是矩形，:四边形OMBN是正方形，:S△PMJ=S△ONK，:S四边形OKBJ=S正方形正方形ABCD，.:O是正方形ABCD的中心，:BT=CT，:BM=CN，:MT=TN，:OT丄MN，:OM=ON，:上MON=60°,:△MON是等边三角形；@如图3中，连接OC，过点O作OJ丄BC于点J．（3）解：当点M,N都在BC上时，过点O作OQ丄BC于点Q，作OMN的外接圆，记为ΘP，连接PO,PM,PN，过点P作PK丄MN于点K，:上MPK=a，MN=2MK设ΘP为R，:MN最小，则S△OMN最小，:MN=2R.sina，:当R最小，MN最小，当点O,P,K三点共线时，R取得最小值，如图此时OQ垂直平分MN，:OM=ON，:在Rt△OQM中当点M在BC上，点N在CD上时，过点O作OT丄CD于点T，过点OR丄ON交BC于点R，同上可得△OTN≌△OQR，:SOMCN=S正方形OQCT-(S△OTN+S△OQM)，:当S△OTN+S△OQM最小，则SOMCN最大，:S△ORM最小，则SOMCN最大，同上，OQ垂直平分RM，如图:CM=CN，:△MCO≌△NCO，综上所述，S2的最小值为tan，S2的最大值为51）证明见解析2）5.53）4.5角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BFEG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值即可．ïìAC=BCï（2）解：:EF垂直平分AC，:AE=EC，:AB=AE，:AB=EC，:AC=9，:BD=DE，:DC=DE+EC=BE+EC+AB=AB+BC)=5.5；（3）解：:矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=12，ïï设DE=x，:EF=2，:FH垂直平分BE，:BF=EF，:DE=4.5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线性质、中点定义、矩形的性质、勾股定理、解方程等周四，熟记相关几何性质并利用勾股定理列出61）CE+CD=CA．理由见解析2）BD=3）BD的长为6-或【分析】本题主要考查三角形综合题，熟练掌握全等三角形的性质和判（3）由△CEF为直角三角形可知，需要分类讨论确定哪个角是直角三角形，再根据点D的位置关系去讨论即可，因为点D是动点，所以按照前面两问带给我们的思路，去在△ABD和△ACE中，:CE=BD，:AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，:ÐABC=ÐACB=ÐADG=ÐAGD，:△ABC∽△ADG，（3）过E作EH∥AB，则△EHC为等边三角形．:△EDH≌△EFC(SAS)，此时△CEF不可能为直角三角形．②当点D在H右侧，且在线段CH上时，如图2，同理可得:△EDH≌△EFC(SAS)，又:AB=6，:BD=6-．综上：BD的长为6-或6+2．连接BD，设EF与AD交于点M，由四边形ABCD是菱形，得上3=上CAE，由理由：:ÐABC，ÐACB的平分线相交于点G，②证明：:ÐABC，ÐACB的平分线相交于点G，:上GBC=上ABC，上上ACB，证明：QBO平分ÐABC，CO平分ÐACE，:上BOC=上OCE-上OBC:上BOC=上A．（3）解：连接BD，设EF与AD交于点M，:上3=上CAE，:上1=4上ACE，:上ACE=18°,:AE=ME，一一:AF=DF，:DM=ME，:△AEM∽△ADE，AEAM:=，ADAE:AE2=AD.AM=AD.(AD-AE)，:AE2+AD.AE-AD2=0，8．(1)2(2);(3);(4)【分析】本题主要考查了矩形与相似三角形．熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，（1）根据矩形性质得ADⅡBC，得△AEF∽△CBF，得，得AE=2；当BE丄AD（2）作BG丄AC交AD于G，得MNQR=CF，即得DQ+CF的最小值为．【详解】解1）∵矩形ABCD中，AD=BC=8，ADⅡBC，:△AEF∽△CBF，:AE=2；:△ABC∽△EAB，；；:GM∥BN，:四边形GBNM是平行四边形，:MN=BG，不变；:MEⅡCD，:△AEM≌△ACD，:EM=2，:△MEP∽△ACD，（4）在BC上取BR=3，连接DR，QR，:CR=BC-BR=5，:△BQR∽△BCF，QRBR3QRBR3CFBF4:QR=CF，:DQ+CF的最小值为．91）证明见解析2）①证明见解析；@=【分析】（1）先根据平行线的判定可得ADⅡBC，再根据平行线的性质可得ÐD=90°,然过点E作EN丄BC于点N，设CP与EF交于点O，则四边形CDEN都是矩形，再根据等腰:ADⅡBC，:四边形ABCD是矩形．∵BE平分ÐABC，:四边形ABCD是矩形．:AB=3a，如图，过点E作EN丄BC于点N，:四边形CDEN都是矩形，在Rt△EFN中，tan上∴BM=PM，在Rt△CPM中，tan上形、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握矩形2）ÐCED=2ÐCAD3）①证明见解答；@48+32．@如图5，连接BF并延长交AD于H，作直线FG，交AB于P，交CD于Q，由（2）可得：比例式可得FE和AE的长，设BE=x，则AB=BC=8+x，由勾股定理列方程可得x的长，计算FG的长，根据菱形的面积公式即可解答．:AO=OB，:四边形ADBC是平行四边形，:YADBC是矩形，:AB=CD，:上ACB=90°,∵E为AB的中点，:上ADB=90°,:DE=AB=AE，:ÐCED=2ÐCAD；:上DAB-上BAF=上ABC-上ABF，:上DAF=上CBF，:DF=CF，:□FCGD为菱形；②解：如图5，连接BF并延长交AD于H，作直线FG，交AB于P，交CD于Q，:上DFH=45°,:上AFD=上BFC，:VFEC∽VCEA，:CE2=FE.AE，QAE=2FE，:CE2=2FE2，:BE=4-4，:CD丄PG，:AP=PB，:PF=BE=2-2，2:FG=2FQ=4+12，111）①见解析；@AD2+CD2=BD2，证明见解析2）25-243）见解析@证明上DCE=90°,然后利用勾股定理求解即可；（3）设上ABC=a°,将△ABD绕点B顺时针旋转a°得到△CBE，连接DE．证明△ABC∽△DBE，利用相似三角形的性质得DE=3AC，:△BDE是等边三角形．@解：AD2+CD2=BD2．:上BCD+上BAD=270°.:上BCD+上BCE=270°.:上DCE=360°-270°=90°.在Rt△CDE中，由勾股定理，得CE2+CD2=DE2．:AD2+CD2=BD2．:S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=S△BCE+S△BCD=S△BDE-S△CDE=25-24；（3）证明：如图，设上ABC=a°,将△ABD绕点B顺时针旋转a°得到△CBE，连接DE．BDBE ABBC:△ABC∽△DBE，DEBD3ACAB1即DE=3AC．:CE2+CD2=DE2．:AD2+CD2=(3AC)2=9AC2．FG=DF-BG；设BM=3y，则DN=4y，设AB=BC=3x，则AD∵正方形ABCD，:△DCF≌△CBG，:CF=BG，DF=CG，:FG=CG-CF=DF-BG，故答案为：FG=DF-BG；:BF=CG，:四边形AMCN是矩形，:AM=CN，AN=CM，ïï:ÐMBC=ÐADC，:△BCM∞△DCN，BMBCBCAB3DNCDCDAD4在Rt△CND中，由勾股定理得：DN2+CN2=CD2， :点C¢与点C关于直线l对称，:△ACC¢∽△BCE，:△ACC¢∽△BCE，:AE=2x．141）见解析2）见解析3）BC=CD或BC=2CD或BC=3CD．理由见解析:△DEF是等边三角形．:点E是AD的中点，:VABC是等边三角形，:CG=AD．:DE=EF，:AD=2DE=2EF，:点F在AC上．@如图3，当上DCF=90°时，作等边△ADM，过点M作MH丄DC于点H，:DM=2DF，:点F是DM的中点，:△FDC∽△MDH，:点C是DH的中点，连接CM，:△ABD≌△ACM(SAS)，:CM=2CH=2CD，作等边△ADN，连接CN，【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的151）见解析（2）延长CH，交AD于点F，由（【详解】解1）证明：当k=1时，BC=AB，:矩形ABCD是正方形，\7BHC=90°,在△BCE和VCDF中:△BCE≌△CDF(ASA):BE=CF:CD=2CE，:BC=2CE=2DF，:CF=BE=5a，:△GFD∽△GCB，:CG=CF=a:△BCE∽△CDF，:CE=k:DE=k2，:CD=k2+k:BC=kCD=k3+k2:△BCE∽△BHC∽△EHC:CH=(k2+k)a，BH=(k2+k)2a，Q在矩形ABCD中，ADⅡBC，:△BCG∽△DFG，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活161）B2△CBO，AO，OC3）点P是AD边的“三等分点”，证明见解析；进而可得ÐABM=ÐNBM=ÐCBN=30°,即可求解；由△AEG∽△CDG可得进而由△APG∽△分和两种情况，利用勾股定理解答即可求解．在Rt△BEN中，cos上:上EBN=60°,:四边形ABCD是矩形，:这个折纸的过程实际上就是把ÐABC分成了三等分，故选：B；（2）证明：如图2，在矩形ABCD中，ADⅡBC，由折叠可知，GH∥BC，AB=4AG，QAPⅡBC，即AD=BC=3AP，故答案为△CBO，AO，OC；（3）解：点P是否为AD边的“三等分点”．证明：在矩形ABCD中，ADⅡBC，ABⅡCD，:△AEG∽△CDG，AP=BQ，AGAE1∵APⅡBC，:△APG∽△CQG，:AD=3AP，即点P是否为AD边的“三等分点”；设BF=x，EF=y，则PF=2+y，CF=8-x，在Rt△BPF，BP2+EF2=PF2，:42+x2=(2+y)2在Rt△DEF和Rt△CDF中，DE2+EF2=CD2+CF2，解得y=4x-6，:42+x2=(2+4x-6)2，:x=；如图2，当BP=AB时，解得y=6-2x，综上，BF的长为或．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，171）①1；@S=t22）①16；@10（1）①作PE丄AB于点E，求出PE的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可；@同（2）①把t=4代入（1）①中的解析式△CAB，列出比例式进行求解即可；@联立①的等式和t12,t2，进而求出S1,S2，即可．∴平行四边形ADPQ的面积为AQ.PE=1；2；（2）①由图象可知，当t=4时，此时点P恰好运动到点C，由（2得í得í2-8，∴CP1当PPCPCP2，ACBC8-2t12t8-2t12t2-822:S2-S1=10．【分析】（1）①设AC与BD交于点HAD=CD，上DAC=45°,又点E，F分别是AB，AD的中点，则故又点F是AD的中点，所以最后代入求值即可；F分别是AB，AD的中点，故有EFⅡBD，由勾股定理得证明△AEF是等边三角形，△ADB是等边三角形，设②在AD的延长线上找一点H，连接CH，使得上（3）过D作DF∥AB，交BC延长线于点F，过E作EN丄AB，交CB延长线于点N，证 【详解】解1）①如图1，设AC与BD交于点H，∵点E，F分别是AB，AD的中点，:EF丄AH，:AG=FG，故答案为：3；∵点F是AD的中点，:AF=AD=CD，22（2）①:四边形ABCD是菱形，:E，F分别是AB，AD的中点，:EFⅡBD，AF=DF=AD，:FG丄AC，:△AEF是等边三角形，:AF=EF，:AD=BD，:△CDH为等边三角形，（3）如图，过D作DF∥AB，交BC延长线于点F，过E作EN丄AB，交CB延长线于点N，:BC=CF，:△CDF∽△ECN，∵点E为AB的中点，191）1<AD<92）BC=2DF，理由见解析（3）44）存在最小值，最小值为【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，（2）延长DF至点G，使FG=DF，连接AG，利用全等三角形和边角关系推出BC=2DF（4）取AE的中点F，连接FG，延长DF至点H，使FH=DF，连接EH,AH，利用直角:BE=AC=8，:AB-BE<AE<AB+BE，（2）BC=2DF，理由如下：由作图可知DG=2DF，:DF是VADE边AE上的中线，:EF=AF，ïìEF=AFï:DEⅡAG，:DB=DE，:DB=AG，:BC=DG，:BC=2DF；在△BOE和△OAF中，:OE=AF=4，如图4，取AE的中点F，连接FG，延长DF至点H，使FH=DF，连接EH,AH，ïï∵F为AE的中点，:四边形ADEH是平行四边形，:AD=EH,ADⅡEH，C:EH=DC,,ïï:DH=BC=b，:DF=DH=b，201）45°2）45°3）①S=m2+2m+2；②2+4直角三角形，可得EH=CH=CE，据此根据三角形面积计算公式求解即可；【详解】解1）:四边形ABCD是正方形，:四边形ABCD是正方形，:CDⅡAB，:上ECG=45°;（2）:四边形ABCD是正方形，:CDⅡAB，:上ECG=45°;（3）①如图，连接AC，:△CDH∽△CAE，:△HCE∽△DCA，:△HEC是等腰直角三角形，2:221．(1)①证明见解析；②5AE2=4DE2+△AFE∽△ABD；EF2=BF2+BE2，结合可得AF=2AE，BF=2DE，（2）如图，过A作AE的垂线交EC的延长线于Q，连接BQ，可得上AQE=30°,AEAC,证明△BAQ∽△CAE，再进一步求解即可.:△AED∽△AFB，AEADDE1AFABBF2AEADAEAFAFABADAB:上DAB=上EAF，:△AFE∽△ABD；:EF2=BF2+BE2，:AF=2AE，BF=2DE，:EF2=AF2+AE2=5AE2，:5AE2=4DE2+BE2；（2）解：如图，过A作AE的垂线交EC的延长线于Q，连接BQ，AEABABAC【点睛】本题考查的是旋转的性质，位似的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键.(4)5【分析】（1）过点D分别作AB,AC的垂线，垂足分别为E,F，根据角平分线的性质可得（2）延长ED至点M，使得ED=MD，连接CM，证明△BDE≌△（4）取AP,DP的中点M,N，连接BM,FN,CN，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边如图，过点D分别作AB,AC的垂线，垂足分别为E,F，:AD平分ÐBAC:DE=DF:点D是BC的中点，:Rt△BED≌Rt△CDF(HL)（2）如图，延长ED至点M，使得ED=MD，连接CM，:点D是BC的中点，:AG平分ÐBAC，:CF=CM:BE=CM:AB-AE=AC+AF又∵EP垂直平分AD:PA=PD:△PAB≌△DPC(AAS):AB=CP（4）解：如图，取AP,DP的中点M,N，连接BM,FN,CN∵EP垂直平分AD:ÐAMB=2ÐAPB，上FNC=2上CDF:AB=FC=3，在Rt△ABP中．23．(1)①；@(2)2-2(3)-5（3）根据题意得AC=BC=2，BG=DG，设DG=y，则CG=2-y，进而得到DE2-CD2=CD·CG，解方程即可求解．:△APQ∽△ACB，:AQ=；@同理①得△APQ∽△ACB，AQAP:=AQAPABAC:AB=2,AC=3，点P与点B重合，:AP=AB=2，:四边形AEDF是菱形，:AC=2，:x=2-x，:CD=2-2；:点G是BD的中点，:BG=DG，设DG=y，则CG=2-y，DB=DE=DF=2y，CD=BC-BD=2-2y，CECD:=，CGCE∴CE2∴DE2-CD2=CD·CG，即(2y)2-(2-2y)2=(2-2y)(2-y)，22腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与241）①3；@y=x22）y=x2-4x+8(2≤x≤6)3）0或1；(2,4)或(3,5)（2）当x=2时，点P与点A重合，求得AD=2，由题图（2）可知点P与点C重合时，（4）取AC的中点N，连接DN，分析点P的运动规律可求得，点A在△DFM内部时x的@y关于x的函数关系式为y=x2；故答案为：3；y=x2；2连接CD，在Rt△ACD中，AD2+AC2=CD2，即22+AC2=20，:AP=x-2，:在Rt△ADP中，DP2=AD2+AP2=22+(x-2)2=x2-4x+8，:y=x2-4x+8，则y-x=2时，x2-x=2，:当y-x=2时，AP的长为0或1，此时y关于x的函数图象上点的又:D为AB的中点，:AB=4=AC，取AC的中点N，连接DN，:AN=AC=2=AD，DN是VABC的中位线，:DNⅡBC，:△ADN是等腰直角三角形，∵四边形DPEF是正方形，:△MDP是等腰直角三角形，分析点P的运动规律可知，当点P运动到DPⅡBC，即点P运动到点N处时，点A与点M点P在线段CN(不含点N)上运动时，点A在△DFM内部，251）162）@23）若BN=3,MN的长为或（2）①过点O分别作AD与AB的垂线，垂足分别为P,Q，由题意得四边形APOQ是矩形，当点N在AB的延长线上时，进而分类进行求解即可．【详解】解1）Q四边形ABCD是平行四边形，VAOB是等边三角形，:AC=BD，:YABCD是矩形．:AC=8,,在Rt△ABC中（2）①如图1，过点O分别作AD与AB的垂线，垂足分别为P,Q．:四边形APOQ是矩形，:上MOP=上NOQ，:△MPO∽△NQO，:ON=3；:ON=OM，:△OMN面积的最小值为:上MNO=30°.如图3，当点N在线段AB上时，QN=BN-BQ=1，综上所述，若BN=3,MN的长为或．@设BC与EF交于点H．根据全等三角形的性质得到AF=AB=CD=2，△EBH∽△EAF，得到证明△CHG∽△AFG，根据相似（3）设EF与ABAQ2由得到EQ=2NQ=6x．根据AE=tan上设NT=2y，则MT=3y．由tan上ANT=tanE=得到AM=AT+MT即可求解．【详解】解1）①:△ABC≌△FAE，:AF=AB=2，:点F是AD的中点，:△AEF≌△DAC，:AE=DA=4，:BE=AE-AB=4-2=2．@如图1，设BC与EF交于点H．∵VABC、△ACD、△AEF是全等的直角三角形，:AG=AC-CG=2-CG，:四边形ABCD是矩形，:ADⅡBC，:△EBH∽△EAF，:CH=BC-BH=4-1=3，:△CHG∽△AFG，（2）如图2，连接PA．QO是AC的中点，P是EF的中点，:OP的最大值为OA+PA=2．（3）如图3，设EF与AB交于点N，过点N分别作NQ丄AE于点Q，NT丄AM于点T．:EQ=2NQ=6x．:AQ=1，则NQ=，:上ANT=上E，②4-2．上B=60°,AB=BC，则DF=AB，证（2）以AD为边在VABC内部构造等边三角形ADE，连接EC，证明DE=DC，AB=DE，证明ABⅡDE，最后由②设DE与AC交于点M，可得AM是△ABD边AB上的高，所以最:DF=AB，又AE=BD，:△EBF为等边三角形，:△BEC≌△FED(SAS)，:EC=ED；（2）解：如图，以AD为边在VABC内部构造等边三角形ADE，连接EC，在△ABD和△ACE中，:△ABD≌△ACE(SAS)，:BD=CE，:EC=AE=DE，\A,D,C三点在以E为圆心，EC的长为半径的圆上，（3）解：①四边形ABDE为平行四边形，理由：:上DAC=75°,:AC=DC，QAB=AC，:AC=DC=AB，如图，连接EC，Q点D沿着直线AC翻折，恰好落在点E处，:△DEC为等边三角形，:DE=DC，:AB=DE，:ABⅡDE，:四边形ABDE为平行四边形；②设DE与AC交于点M，:AM是△ABD边AB上的高，:AM=AC-CM=4-2，:△ABD边AB上的高为4-23．全等三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握知识点（2）同（1）@求解过程一致．（3）分两种情况，①当点C¢在线段AE上时和@当点C¢在线段的延长线上时，利用正方:点C¢与点C关于直线l对称，:△ACC¢∽△BCE，:△ACC¢∽△BCE， :AE=2x．:AC=x．又AC=2，即291）42）8-23②2股定理求出DF=2，再根据FE=BE=则EG=BG-BE=-x，最后在Rt△FEG中，由勾股定理即可将x与y聚集起来建立函数②分两种情况讨论，当点F在矩形ABCD内部时，过点F作FN丄BC，延长NF，交AD点E在BC边上，故舍．【详解】解1）∵四边形ABCD是矩形，:ÐB=90°,:当点F在直线AC上时，:ADⅡBC，AD=BC=8:DA=DE=8，:在Rt△ADF中∵在Rt△FEG中，由勾股定理得：EG2+FG2=FE2，②如图，当点F在矩形ABCD内部时，过点F作FN丄BC，延长NF，交AD于点M，则:四边形ABNM为矩形，:FM=3，在Rt△AMF中，:△AMF∞△FNE，②如图，当点F在矩形ABCD外部时，过点F作FN丄BC，FN交AD于点M，:同理：FM=3，综上所述，BE的长为2．301）DE=DF，DE丄DF，证明见解析2）证明见解析3）①E在直线y=x上，理由见详解；@y=(x+1)2+1，（2）如图，连接CD，证明四边形PECF是矩形，BF=PF，可得PF=CE，PE=CF，可设F(x,0)，P(x,x+2)，可得E(1+x,1+x)，可得E在直线y=x上；@由①得：当P在线段AB上，P(x,x+2)，则F(x,0)，E(1+x,1+x)，如图，当P在直线AB上，同理可得：E(1+x,1+x)，而F(x,0)，四边形CDEF的面积为22如图，连接CD，∵过点P分别作AC与BC的垂线，垂足分别为E，F，:四边形PECF是矩形，BF=PF，:CE=BF，:△DEC≌△DFB，（2）如图，连接CD，∵过点P分别作AC与BC的垂线，:四边形PECF是矩形，BF=PF，:CE=BF，:△DEC≌△DFB，（3）①如图，连接OC，过C,E分别作x轴的垂线，垂足分别为G,H，:点A，B的坐标分别为(-2,0)，(0,2)，C是AB的中:点E与点C关于DF对称，:△CGF≌△FHE，:点A，B的坐标分别为(-2,0)，(0,2)，设直线AB为：y=kx+2，:直线AB为：y=x+2，设F(x,0)，则P(x,x+2)，②由①得：当P在线段AB上，P(x,x+2)，F(x,如图，当P在线段AB延长线或线段BA的延长线上，同理可得：E(1+x,1+x)，而F(x,0)，.次函数的图象，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.311）①4，@22）①2，@40-16或40+1623）40+16三角形得EA=DA和ED=AD即可；@由等腰直角三角形的性质判定△AEF等腰直角三角形，则即可；（2）①连接DM，过点M作NM丄DB于点N，则△ADM为等边三角形，DM=MB，且上MBN=30°,由（1）知BM=AM=2，求得NM=DB=2BN；@分两种情况：过点D作DF丄AB交BA的于点F，连接DB，根据DA求得AF=DF和BF=AB-AF，结合勾股定理求得DB2=DF2+BF2即可；过点D作DF丄AB交BA的于点【详解】解1）①:VABC等腰直角三角形，上ACB=90o，AC=4，:CB=AC=4，:BA=4，:D与AB的中点M重合，:DA=AM=2，:VADE是等腰直角三角形，ÐDAE=90o，@:VABC等腰直角三角形，VADE是等腰直角三角形，:△AEF等腰直角三角形，:AF=EF=AE=2；2（2）①连接DM，过点M作NM丄DB于点N，如图，:△ADM为等边三角形，:AM=MB，:DM=MB，@如图，过点D作DF丄AB交BA的于点F，连接DB，:DA=2，:BF=AB-AF=4-2，:DB2=DF2+BF2=40-16，如图，过点D作DH丄AB交BA的延长线于点H，连接DB，:DB2=DH2+BH2=40+故以BD为边的正方形的面积40-16或40+162；（3）:点P为DE的中点，321）证明见解析（2）5角相等两直线平行可得ADⅡCF，进而可得BD=CF为平行四边形，于是可得DFⅡBC，DF=BC，再结合即可得出结论；（2）取GF的中点M，连接EM，延长FE、GA交于点H，由正方形的性质可得上HAE=上FDE，由E为AD的中点可得AE=DE，利用ASA可证得△HAE≌△FDE，于是可得AH=DF=3，EH=EF，由三角形的中位线定理可得由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，（3）取GF的中点N，连接EN，延长GE到点M，使得GE=EM，连接DM，由E为AD的中点可得AE=DE，利用SAS可证得△AEG≌△DEM，于是可得DM=AG=3，上EDM=上A=105°,过点M作MQ丄DF，交FD的延长线于点Q，连接MF，由邻补角互等边可得QM=QD，由勾股定理可得Q形的中位线定理可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得,则GF=2EN，由此即可求出GF的长．:△ADE≌△CFE(SAS)，:ADⅡCF，:BD=CF，QBDⅡCF，:四边形BCFD为平行四边形，:DFⅡBC，DF=BC，:DEⅡBC且（2）解：如图，取GF的中点M，连接EM，延长FE、GA交于点H，:上GAE=上FDE=90°,:上HAE=上FDE，:AE=DE，在△HAE和VFDE中，:△HAE≌△FDE(ASA)，:AH=DF=3，EH=EF，QE为HF的中点，M为GF的中点，:EM为△FGH的中位线，Q上GEF=90°,且M为GF的中点，（3）解：如图，取GF的中点N，连接EN，延长GE到点M，使得GE=EM，连接DM，:AE=DE，在△AEG和△DEM中，:△AEG≌△DEM(SAS)，过点M作MQ丄DF，交FD的延长线于点Q，连接MF，:上MQD=90°,:上ADQ=180°-上ADC=180°-120°=60°,:上QMD=90°-上QDM=90°-45°=45°,:上QMD=上QDM，:QM=QD，:QM=QD=3，在Rt△MQF中，根据勾股定理可得：QE为GM的中点，N为GF的中点，:EN为△GMF的中位线，Q上GEF=90°,且N为GF的中点，33．(1)①是；@50，③10，直角三角形的性质等知识点，掌握“旋转相似图形进而证明VDAB∽VEAC，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可．（3）如图：如图，过E作EH丄AD于点H，根据等腰直角三角形的性质易得【详解】（1）解：①:VABC，VADE都是等边三角形，:△ABC一△ADE，:有公共顶点A，:VABC是VADE的“旋转相似图形”．@:VABC与VADE互为“旋转相似图形”，:△ABC一△ADE，③如图：连接BD，CE，:VABC与VADE互为“旋转相似图形”，解得：AD=10，:VDAB∽VEAC，:△DOA∽△COB，:△AOB∽△DOC，:△ABE∽△ACD，:△ABE绕点A逆时针旋转ÐDAE的度数后与△ACD构成相似图形，:△ACD和△ABE互为“旋转相似图形”．（3）解：如图：如图，过E作EH丄AD于点H，∵VABC为等腰直角三角形，点G为AC中点，:△ABD∽△AGE，（2）①当t>2时，如图，过点E作EM丄BD于点M，记AD,EF交于点N，此时四边形的性质得到四边形PF=AE，而四边形BEFP为平行四边形，则BE=PF，故【详解】解1）①当0<t≤2时，记AD,EF交于点N，过点E作EM丄BD于点M，如:EMPAD，:由勾股定理得：BD=6，∵EF∥BC,DF∥BA，:四边形BDFE为平行四边形，解：@，解析见①,（2）①当t>2时，如图，过点E作EM丄BD于点M，记AD,EF交于点N，@如图：:四边形AEPF是平行四边形时，PF=AE，:BE=PF，:△AEN∽△ABD当FA=FE时，如图，过点F作FK丄AB于点K，:EFⅡBC，351）BE=CD，见解析（2）2（34）（2）过点E作EM丄AB，交BA延长线于点（4）不妨将BD绕点D逆时针旋转60°到DE，使得DE:DB=2:1，连接BE，CE作EN丄BC，交BC延长线于点N，利用三角形相似的判定和性质，三角函数解答即可．:CD=BE．（2）解：过点E作EM丄AB，交BA延长线于点M，:AE=2，:AB=2，故答案为：2．:VBDE是等边三角形，:BD=BE，（4）解：不妨将BD绕点D逆时针旋转60°到DE，使得DE:DB=2:1，连接BE，CE，过点E作EN丄BC，交BC延长线于点N，:△BAD∽△ECD，:EC=2，:BN=BC+CN=3，【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，掌握3+33）6m+6n（2）当a=90°时，以BC为边向下作正方形BCKL，连接BK、CL交最小值时有最小值，解直角三角形求得OT，进而可求得BE的最小值；当a=120°时，连接CE、PF交于O，在BC下方作射线BM、射线CN，使上CBM=上BCN=30°,射线BM、射线CN交于点Q，过点Q作QP¢丄AD于P¢,交BC于K，连接PQ，如图所示，可证得△BCE∽△QCP，得出即BE=QP，故当QP取得最小值时最小，点Q为定点，点P为AD边上的一动点，当在Rt△GHC中，由sin上得到类比【详解】解1）如图所示：:PC=CE，上PCE=60°,:△PCG≌△ECB(SAS)，:BE=PG，在矩形ABCD中，ADⅡBC，:GH丄BC，:四边形ABHP¢是矩形，则BE的最小值为3+3；（2）当a=90°时，以BC为边向下作正方形BCKL，连接BK、C2:△BCE∽△OCP，:BE=OP，∵点O为定点，点P为AD边上的一动点，:BE的最小值为6；当a=120°时，连接CE、PF交于O，在BC下方作射线BM、射线CN，使上CBM=上BCN=30°,射线BM、射线CN交于点Q，过点Q作QP¢丄AD于P¢,交BC于K，连接PQ，如图所示：2:QB=QC，:QK丄BC，3:上BCE=上QCP，:△BCE∽△QCP，:BE=QP，:当QP取得最小值时，BE=QP有最小值，:点Q为定点，点P为AD边上的一动点，:四边形ABKP¢是矩形，在Rt△GHC中，上GHC=90°,则上:BE=2mGP，:当GP取得最小值时，BE=2mGP最小，a2mCH,nHG∵点G为定点，点P为AD边上的一动点，:四边形ABHP¢是矩形，371）④2）证明见解析3）证明见解析4）4或2或3或．而上ABN=45°,再进一步求解即可．【详解】解1）根据新定义可得：（2）:VABC是等边三角形，:AD平分ÐBAC，:将线段DC绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，:DC=DE，:△BCE≌△ACD，:四边形ABEC是等直四边形．:线段CD的垂直平分线EF分别交CD与ÐBAD的角平分线于E，F，::AB=AD，AF=AF，:△BAF≌△DAF，:设Ð1=Ð2=a，FB=FD，:上3=180°-2(90°-a)=2a，:△ABD≌△CBD，过D作DT丄BM于T，:BT=DT=4-x，2，此时DT=4-x=3，由@同理可得：DC=3，:BC=CD=3，过A作AR丄BN于R，而上ABN2:AD=2，综上：BC的值为：4或2或3或．定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的画图，清晰的分类讨论是解本题的关键.381）①135°；@见解析2）OB=OD，OB丄OD，理由见解析3）见解析【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，三角（2）