专题22.2二次函数y=ax~h²+k(a≠0)的图象与性质2025~2026学年九年级数学上册（人教版）

2(a2(a2(a222222y轴y轴当x<0时，y随x的增大而减小．当x<0时，y随x的增大而增大．(2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少．2．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是()4．如图，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左(1)与y=x2的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是________为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接AO、BO，则△AOB的面2(a号标轴大而减小；x=h时，y有最小值0．而增大；x=h时，y有最大值0．2(a2的图象，下列说法不正确的是()C．当x=3时，y有最大值0D．当x<3时，y随x的增大而减小2(a边的垂线，交AB于G，连接AD．(2)请你用函数表示上述变化过程中某两个变量之间的关系，并利用212．在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a(x-4)2+k与y轴的交点，点B是这条线上的另一点，且AB//x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．号标轴（h,k）大而减小；x=h时，y有最小值k．（h,k）而增大；x=h时，y有最大值k．13．已知函数y=3(x-4)2-27．(3)当x取何值时，函数取得最值？求出这个最值．14．对于抛物线y=(x2)2+1，下列判断不正确的是()B．当x=2时，y有最大值1D．当x<2时，y随x的增大而增大22点C为该抛物线的顶点．若△ABC为等边三角形，则a的值为()22(1)函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标(2)当x______时，y随x的增大而减小．必定经过()21．已知点A(一4,8)和点B(2,n)在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后2(2)如图，把（1）中的抛物线C1向下平移得到抛物线C2，抛物线C2与y轴负半轴交于点B，顶点为点C，对称轴与x轴交于点A．①点E在CB延长线上，点D是x轴上一点，且四边形ABDE是矩形，求点E的坐标．@如果抛物线C3:y=2x2+px+q为“优雅”抛物线，它的顶点G在x轴上，抛物线C2与C3交于点M，且AMⅡBC，求抛物线C2的解析式．,且DP=DP¢,则平移得到的点P¢的纵坐标为()24．如图，将抛物线沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线一2；若曲线段AD平移至曲线段BC，曲线段26．点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的点，且x1>x2，则y1与y2大小关系为A．y12C．y122的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是()2位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是()30．二次函数y=2(x+1)24的图像大致是()222y2，y3的大小关系是．到抛物线C，M(—3,y1)，N(2,y2)在抛物线C上，则y1y2（填“>”“<”或“=”(1)填空：函数图像的开口方向是___________，对称轴是直线____(2)当x___________时，y随x的增大而减小．(3)以y轴为对称轴，将拋物线进行轴对称变换，求变换后所得到的拋物(3)试说明：当x>1时，函数值40．如图，二次函数y=(x+4)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．A．开口向下B．对称轴是y轴2+5，下列说法正确的是()点C为该抛物线的顶点．若△ABC为等边三角形，则a的值为()45．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是四边的中点，若四边形EFGH是矩形，且其周长是40，则四边形ABCD的面积的最大值是()A．80B．160C．200)分别在抛物线C1，C2上．下列结论：①无论m取何值，都有n2<0；②若点P平中正确的结论为()248．设A（-1，y1B（0，y2C（2，y3）是抛物线y＝-x2+2a上的三点，则y1，y249．抛物线L:y=a(x3)21过A抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若△ABC是以AB为斜边的直角三角形，则点C的坐+k（a、m、k是常数）中存在一点W(x0,y0)，使得x0m0k0m为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=-x2-6x-7的“开象L对称轴上的点，图象L与y轴交于点C，则下面结论：①关于x的方程a(x+1)2+4=0的解是x1=-3，x2=1；②当x=2时，y<0；③点C的坐标为(053．已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线x=-2，与y轴交于点(0,2)．2(2)若点A(a,yA)与点B(3,yB)在此抛物线上，且yA<yB，直接55．如图，二次函数y=(x+2)2-1的图象与y轴交于点A，与轴交于点B，C．(1)求点A，B，C的坐标，(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△ABO？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标； 的抛物线上一动点（不与点A，C重合过点B作x轴垂线，交直线AC于点E，过点A，C作直线BE的垂线，垂足分别为F，D．③试猜想BE，AF，CD之间的数量关系并证明：(2)若（1）中a的值改为-2，其余条件不变(3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，BE，AF，CD之间的数量关系57．二次函数y=2(x+1)2+359．已知点(-2,y1),(3,y2),(7,y3)都在二关系是()A．y123B．y133160．已知二次函数y=-3(x-2)2-3，下列说法正确的是()A．对称轴为x=-2B．顶点坐标为(2,3)C．函数的最大值361．已知二次函数y=a(x-1)2-a(a≠0)，当-1≤x≤4时，y的最小值为-4，则a的值为64．将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是．65．已知函数的图象如图所示，若直线y＝kx-3与而减小；④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图像上，其中所有正确的结论序号(2)当x>0时，函数y随x的增大而减少（2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数所以这个函数的关系式为y=-3x2+9；（2）解：Q这个函数的关系式为y=-3x2+9；:对称轴x=0，:抛物线开口向下，:当x>0时，函数y随x的增大而减少．【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，3．-1或0函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算t的值．本题考查一次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在x为t的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解t，同时要根据二y2:此时y3>y4，最大值与最小值的差为：y3-y令-2at-a=a，:-2at=2a，:解得t=-1．6)-:y8>y7:y8<y7综上所述，t=-1或0故答案为：-1或0【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质．:抛物线y=x2+1和y=x2一2与y=x2的“完美三角形”的斜边长相等；（2）解：设AB交y轴于N，:MN=BN，得n=an2，:抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+6的“完美三角形”全等，:抛物线y=ax2的“完美三角形”斜边的长为8，2a2a在x轴正半轴上或y轴负半轴上，分为两种情况求出点Q的坐标解题．:直线PP¢的表达式为y=1.:R在x轴正半轴上或y轴负半轴上，设Q(x,x2)，Q到PP¢的距离为x2-1，可以表示出Q¢的坐标(x,2-x2)，x>0.可列方程2-x2=0，解得x=即Q(,2)，②R在y轴负半轴上，6．4,得出B点坐标，从而求得A、B间的距离，最后计算面积即可．【详解】设AB交x轴于C∵抛物线线y＝a（x-2）2＋1（a＞0:A（2，1∵过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，把x=2代入得y=-3，:B（2，-3:AB=1+3=4，:抛物线解析式为y=x，:抛物线顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，且开口向上，:当x>0时，y随x的增大而增大．【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．从解析式【详解】解：Q二次函数y=-(x-3)2，:该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意；9．6【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交AD于M、N，令直线AD交y轴于E，由题意可得由EM+CM+BN-BC=EN求出EM=6，即可得解．【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交AD于M、N，令直线AD交y轴于E，∵平行于x轴的直线与两条抛物线y1=a(x-h)2和y2=b(x-13)2（a<b）相交于点A，B，:抛物线y2=b(x-13)2的对称轴为直线x=13，即EN=13，:EM=6，故答案为：6．（1）答案不唯一比如线段BD，线段BG，线段DG；在Rt△BDG中，BG的长度为(1-x)，斜边DB的长度为2(1-x)，:当x=3时，函数有最大值为0，（2）:二次函数y=-(x-h)2（h是常数），当自变量x满足2≤x≤5时，其对应函数y的最大值为-1，:若5<h，则当x=5时，y最大，即-解得h1过C点作CD丄AB于点D，如下图所示(2)当x>4时，y随x的增大而增大；(3)当x=4时，y有最小值为-27．:开口方向向上，对称轴x=4，顶点坐标为(4,-27)；（2）解：:抛物线y=3(x-4)2-27开口向上，:当x>4时，y随x的增大而增大；（3）解：:抛物线y=3(x-4)2-27开口向上，:当x=4时，y有最小值为-27．【分析】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性根据解析式y=-(x-2)2+1，可判定抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，当x=2时，y:抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，:当x=2时，y有最大值1，当x<2时，y随x的增大而增大，:抛物线的开口向下，故①正确；:对称轴是过(-1,0)且平行于y轴的直线，故②错误；故答案为：①③④.存在或(-1,8)或或．:m=1，:y=-x+1，:B(0,1)，顶点坐标为C(-1,0)；（2）解：存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．Q顶点坐标为C(-1,0)，:对称轴为直线x=-1，过点A作AE丄CD于点E，在Rt△ACE中2:22+(4-m)2=m2 ②当AC=AQ时，根据等腰三角形三:Q2(-1,8)；:Q3(-1,2)，Q4(-1,-2)．综上所述：点Q的坐标为(-1,)或(-1,8)或(-1,2)或(-1,-2)．于点H，过点E作二次函数y=a2(x-h)2(a2>0)的对称轴交MN于点F，根据题意可得：【详解】解：设直线MN交y轴于点H，过点E作二次函数y=a2(x-h)2(a2>0)的对称轴交MN于点F，:HC=AC-AH=3-2=1，:点E的坐标为，(3)当x=4时，函数能取到最大值，最大值为-1．(4)抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，就可以:该函数的图象的开口方向是向下，对称轴是x=4，顶点坐标为(4,-1)．故答案为：向下，x=4，(4,-1解：∵函数的图象的开口方向是向下，对称轴是x=4，顶点坐标为:当x>4时，y随x的增大而减小．解：∵函数的图象的开口方向是向下，对称轴是x=4，顶点坐标为:当x=4时，函数能取到最大值，最大值为-1．即：y=-x2-3x+2=-x2+3x把x=-1代入得:新抛物线必经过(-1,4)，问题，可求出B(2,2)，设抛物线向左平移m个单位长度，则平移代入直线B¢E解析式中计算求解即可．:B(2,2)，作点A¢(-4-m,8)关于x轴的对称点E，连接CE，B¢E，则E(-4-m,-8)，∴直线B¢E解析式为:y=x2+4x-4形ABDE是矩形，由AF=BF解得n=-5-，进而可得B(0,--1)，由于F是B、E的中点，从而求出E点坐标；②抛物线C3:y=2x2+px+q为“优雅”抛物线，求出C3:y=2x2，kAM=kBC，结合A(-2,0)，求出lAM:y=2x+4，联立lAM:y=2x+4与C3:y=2x2，求得M坐标，进而求出C2的解析式．2:m=8；:B(0,n+4)，C(-2,n)，A(-2,0)，lBC:AF=BF，:n=-5-，:E(+1,+1)，:p=q=0，:C3:y=2x2，:kAM=kBC，QA(-2,0)，lAM:y=2x+4，:M(2,8)解得n=-8:C2:y=(x+2)2-8，:C2:y=x2+4x-4,质、平行四边形的性质等，利用新定义确定函数表达式是解题的关键.【分析】本题考查了抛物线的平移，正确理解题意、明确求解的【详解】解：Q抛物线:平移前的顶点纵坐标为，:平移的距离为:顶点D在线段PP¢的垂直平分线上，:平移得到的点P¢的纵坐标为质可知四边形ABCD是平行四边形，根据y=-x2+2求出线段AD的长度，根据平移变换:AD=4．:抛物线向下平移了4个单位长度，B、抛物线的对称轴为y轴，故不符合题意；【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题关键是正确应用对A(x1,y1)到y轴的距离大于B(x2,y2)到y轴的距离，由抛物线的对称轴为y轴，,得A(x1,y1)到y轴的距离大于B(x2,y2)到y轴的距离，由抛物线的对称轴为y轴，开口向下，:抛物线开口向上，当x>a时，y随x的增大而增大，【详解】解：∵y=-(x-1)2+:抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，:抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，:当x=5时，函数值最小为y=-(5-1)2+2=-14；当x=1时，函数值最大为2；:-14≤y≤2；Q抛物线y=2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，:在新坐标系中抛物线的顶点坐标为(-2,-2)，:在新坐标系下抛物线的解析式为y=2(x+2)2-2，【详解】解：Q二次函数的顶点式为y=2(x+1)2-4，【详解】解：∵y=(x-1)2，:抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，:点(3,b)离直线x=1远，点(0,a)离直线x=1较近，:a<b，32．x2-2x+3先将原函数化为顶点式，再根据“左加右减、上【详解】解：∵y=x-6x+8=(x-3)-1，:图象向左平移2个单位，根据“左加右减”原则，x变为x+2，则函数变为2-1=(x-1)2-1．再向上平移3个单位，根据“上加下减”原则，在函数整体上加3，则函数变为:平移后图象的关系式为x2-2x+3；故答案为：x2-2x+3．【分析】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律．根据抛物线左平移2或6个单位得到点(-3,1)，即可求解．而A(-1,1)，B(3,1)向左平移2或6个单位得到点(-3,1)，答．本题考查了二次函数的性质，正确掌握相关性【详解】解：:当x>0时，函数值y随自变量x的增大而增大，函数图象经过点(0,5)336．>物线C的解析式为y=x2，再利用二次函数图象的性质可得出答案．∵二次函数y=x2-2x+3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线C，:抛物线C的解析式为y=x2，:抛物线开口向上，对称轴为y轴，∵M(-3,y1)关于y轴对称的点为(3,y1):设该二次函数的解析式为：y=a(x-3)(x+1)(a≠0)即y=-x2+2x+3．:这个函数的图象的开口向下，对称轴为直线x=1，:最值为4，为最大值．故答案为：向下，x=-2；（2）解：当x>-2时，y随x的增大而减小；故答案为：>-2；（3）解：将抛物线沿y轴进行轴对称变换，得到的新抛物线的解析式是(2)抛物线与y轴的交点坐标为(0,8)(3)x>-1时，函数值y随着x的增大而减小2:抛物线的解析式为y=-(x+1)2+9；2:抛物线与y轴的交点坐标为(0,8)；:当x>-1时，函数值y随着x的增大而减小．40．(1)A(-4,0),B(0,16)(2)C(-4,8)(3)存在；(-4,16)或(-4,-16)（3）根据平行四边形对边平行且相等可得AP=OB，分点P在点A的上方和下方两种情况2-4，2所以，点B(0,16)；因为点B的坐标为(0,16)所以y=2x，所以C(4,8)；点P的坐标为(4,16)，@当AB=OP时，点P在第一象限，如下图：不符合题意.综上所述，点P的坐标为(-4,16)或(-4,-16)时，以P,A,O,B为顶点的四边形为平行四【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性子可以判断各个选项中的说法是否正确，【详解】解：∵二次函数y=x2-1，:该函数图象开口向上，故选项A错误；:当x=1时，y取得最小值，:y=a(1-1)2-a=-4，:a=4；:当x=4时，y取得最小值，:y=a(4-1)2-a=-4，【分析】本题考查矩形，三角形中位线，二次函数的知识，解题的关键是连接AC，BD，的性质，则AC^BD，得到四边形ABCD的面积为设HE=x，得到四边形ABCD的面积为：S=-2(x-10)2+200，根据二次函数的性质，即可．【详解】解：连接AC，BD，:点E，F，G，H分别是四边的中点，:四边形EFGH是矩形，:AC^BD，:四边形ABCD的面积为，:四边形EFGH的周长是40，:EF=20-x，:四边形ABCD的面积为整理得：四边形ABCD的面积为：S=-2(x-10)2+200，:当HE=10时，四边形的面积有最大值为20右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线C2:y=-(x-2)2-1，即可求得P平移后的2【详解】解：Q抛物线C2:y=-(x-2)2-1开口向下，顶点为(2,-1)，:无论m取何值，都有n2<0，故①对；:y=-(x-2)2-1开口向下，顶点:将抛物线C1:y=-(x+1)2+2向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线:y=-(x-2)2-1，:点P平移后的对应点为P¢的最短路程为故②对；2:当x>h时，y随x的增大而增大，∵当x>1时，y随x的增大而增大，:抛物线的对称轴不能在直线x=1的右侧，【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，:抛物线开口向下，对称轴为y轴，:y3＜y1＜y2．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质49．(0,-1)或(6,-1)【详解】解：Q抛物线L的解析式为y=a(x-3)2-1，:抛物线L的对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3,-1)，Q抛物线L过A(-2,3),B(m,3)两点，:m=8，:设抛物线M的顶点C(n,-1)，:AC2=(n+2)2+(-1-3)2=n2+4n+20，BC2=(n-8)2+(-1-3)2=n2-16n+80，:AC2+BC2=AB2，整理得n2-6n=0，:点C的坐标为(0,-1)或(6,-1)∵x0-m:x0+32），:抛物线y=-x2-6x-7的“开口大小”为2x0-m=2×1=2，【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交AD于M、N，令直线AD交y轴于E，由题意可得由EM+CM+BN-BC=EN求出EM=6，即可得解．【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交AD于M、N，令直线AD交y轴于E，:EM=6，故答案为：6．¢得到△PCO周长的最小值，即可判断④,掌握以上知识点是解题的关键．:抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0)，:当x=2时，y<0，故②正确；:点C的坐标为(0,3)，故③正确；,:△PCO周长的最小值=+3，故④错误；顶点坐标为(2,0)，即可求出关于y轴对称的抛物线的解析式为:h=-2，:抛物线与y轴交于点(0,2)，:a.22=2，（2）解：由（1）可知：该抛物线为：顶点坐标为：(-2,0):抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(2,0)，:该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为．【点睛】本题考查二次函数的顶点式的图形及性质，点关于y轴对称的性质．【分析】（1）根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为(-1,m-3)（2）根据抛物线的对称性可得点B(3,yB)关于抛物线对称轴的对称点为(-5,yB)，进而根:抛物线的顶点坐标为(-1,m-3)，（2）解：:抛物线的顶点坐标为(-1,m-3)，:抛物线的对称轴为直线x=-1，:点B(3,yB)关于抛物线对称轴的对称点为(-5,yB)，:抛物线开口向上，55．(1)A(0,3)，B(-3,0)轴的交点，一次函数，熟练掌握二次函数的图象（2）先求出S△,过点P作PM丄AB所在直线于点M，设P(m,(m+2)2-1)，则2-1=3则A(0,3)，:B(-3,0)，C(-1,0)；:直线AB的解析式为y=x+3，:A(0,3)，B(-3,0)，:S△PAB=，如图，过点P作PM丄AB所在直线于点M，同理当点P在抛物线上AB段时，当点P在抛物线上点A右侧时，S△PAB=S△PBM-S△PAM=P-xB)-P-xA)=A-xB)，综上，S△PAB=×PM×(xA-xB)，:m+2)2-1-m-3×3=，分别代入y=(x+2)2-1，【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图像与性质，求点的坐标（1）①若a=-1，抛物线的表达式为：y=-x2+4，从而得到A(-3,②求出点E的坐标，根据BE=yBy=a(t+n)x-atn+c，设点AF，CD即可解答．:í