行列式的性质题目及答案

行列式的性质题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1.行列式的基本性质中，以下哪个选项是错误的？A.如果行列式的两行（或两列）完全相同，则行列式的值为0。B.如果行列式的两行（或两列）交换，行列式的值不变。C.如果行列式的一行（或一列）乘以一个非零常数，行列式的值也乘以这个常数。D.如果行列式的一行（或一列）加上另一行（或一列）的k倍，行列式的值不变。答案：B2.对于一个3阶行列式，如果将第一行的元素全部乘以2，那么行列式的值会如何变化？A.保持不变B.乘以2C.乘以4D.乘以8答案：B3.以下哪个选项不是行列式的性质？A.行列式中任意两行（或两列）元素的乘积之和等于行列式的值。B.如果行列式中某一行（或一列）的元素全为0，则行列式的值为0。C.如果行列式中某一行（或一列）的元素都是另一行（或一列）元素的倍数，则行列式的值为0。D.行列式中任意两行（或两列）元素的和等于行列式的值。答案：D4.对于一个n阶行列式，如果将第i行的元素全部替换为第j行的元素，那么行列式的值会如何变化？A.保持不变B.乘以-1C.乘以0D.乘以n答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1.如果行列式中某行（或某列）的所有元素都乘以同一个非零常数k，则行列式的值乘以______。答案：k2.如果行列式中某行（或某列）的所有元素都加上另一行（或另一列）对应元素的k倍，则行列式的值______。答案：不变3.如果行列式中某行（或某列）的所有元素都减去另一行（或另一列）对应元素的k倍，则行列式的值______。答案：不变4.如果行列式中某行（或某列）的所有元素都除以同一个非零常数k，则行列式的值除以______。答案：k三、计算题（每题10分，共40分）1.计算以下行列式的值：\[\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\]答案：\[\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=1(5\cdot9-6\cdot8)-2(4\cdot9-6\cdot7)+3(4\cdot8-5\cdot7)=1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)=-3+12-9=0\]2.计算以下行列式的值：\[\begin{vmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{vmatrix}\]答案：\[\begin{vmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{vmatrix}=1\cdot2\cdot3=6\]3.计算以下行列式的值：\[\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&4\\5&6&7\end{vmatrix}\]答案：\[\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&4\\5&6&7\end{vmatrix}=1(3\cdot7-4\cdot6)-1(2\cdot7-4\cdot5)+1(2\cdot6-3\cdot5)=1(21-24)-1(14-20)+1(12-15)=-3+6-3=0\]4.计算以下行列式的值：\[\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{vmatrix}\]答案：\[\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{vmatrix}=1\cdot1\cdot1=1\]四、证明题（每题10分，共20分）1.证明如果行列式中某行（或某列）的元素全为0，则行列式的值为0。证明：设行列式为D，其中第i行的元素全为0。根据行列式的定义，D可以展开为：\[D=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\]其中，\(a_{ij}\)是第i行第j列的元素，\(C_{ij}\)是对应的代数余子式。由于第i行的元素全为0，所以对于所有的j，\(a_{ij}=0\)。因此，D中的每项都是0乘以某个数，即每项都是0。所以，D=0。答案：证明完毕。2.证明如果行列式中某行（或某列）的元素都是另一行（或一列）元素的倍数，则行列式的值为0。证明：设行列式为D，其中第i行的元素都是第j行元素的倍数，即对于所有的k，\(a_{ik}=k\cdota_{jk}\)，其中k是某个常数。根据行列式的性质，我们可以将第i