2024-2025学年深圳市宝安区七校联考九年级（上）期中数学试题含答案

试题试题2024-2025学年广东省深圳市宝安区七校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．衢州莹白瓷以瓷质细腻、釉面柔和、透亮皎洁，似象牙又似羊脂白玉而名闻遐迩，被誉为瓷中珍品．如图是衢州莹白瓷的直口杯，它的左视图是（）A． B．C．D．2．若是方程的一个解，则的值为（）A.1B.2C．-1D．-23．如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（）A．B．C．D．4．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点A、B、C都在横线上，如果线段的长为4，那么的长是（）A.2B.3C.6D.85．不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（）A.12个B.15个C.18个D.20个6．如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．7．如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意，可列方程为（）A.B.C．D．8．如图矩形中，，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，作直线交于点，连接，点关于的对称点为点，作射线交于点，则的长为（）A．B.4C．D.5二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．9．如果，且，那么___________．10．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________.11．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边与点在同一直线上．已知直角三角纸板中，测得眼睛离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离CD为，则“步云阁”的高度AB是___________m．12．大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是___________．13．如图，菱形的边长为4，，过点作交于点，连接，为的中点，连接CF，CF交BE于点G，则GF的长为___________．三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．14．解方程：．15．数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．（1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是___________；（2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．16．【基础解答】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，DE在阳光下的投影长为．根据题中信息，求立柱DE的长．【拓展拔高】如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高．17．如图，四边形是矩形，点在边上，点在延长线上，．（1）下列条件：①点是的中点；②BE平分；③点与点关于直线对称．请从中选择一个能证明四边形ABFE是菱形的条件，并写出证明过程．（2）若，求的长．18．“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱．某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元．调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价元．（1）当一斤荔枝降价6元时，每天销量可达___________千克，每天共盈利___________元；（2）若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？19．【了解概念】定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．【理解运用】（1）如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形，要求：点在格点上；（2）如图2，在等邻边四边形ABCD中，，，，，求的长；【拓展提升】（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知，是的中点．在矩形内或边上，是否存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形OCED的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．20．【问题初探】数学课上，老师提出如下问题：如图1，在矩形中，点分别是的中点，与相交于点，求的值．经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路：小明：可以过中点作平行线，过点作交于点，如图2所示，或者过点作交于点，交于点，如图3所示．．．小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点（1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值：___________．【类比分析】（2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由．【学以致用】（3）如图6，已知正方形ABCD中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形EFGH的中心与点B重合，连接，设的中点为，将正方形绕点旋转，当三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长．答案和解析1．【答案】D【解析】解：该直口杯的左视图为：故选：．根据视图的意义，从左边看所得到的图形即可．本题考查简单几何体的三视图．2．【答案】D【解析】解：是方程的一个解，，解得，故选：．将方程的解代入方程中求解即可．本题考查一元二次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键．3．【答案】A【解析】解：四边形是正方形，，又是正三角形，，是等腰三角形，，．故选．由四边形是正方形，是正三角形可得，利用正方形和正三角形的内角性质即可得答案．本题主要考查了正方形和等边三角形的性质，同时也利用了三角形的内角和，首先利用正方形和等边三角形的性质证明等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题．4．【答案】C【解析】解：如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意，，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，，．解得．故选：．如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．5．【答案】B【解析】解：设口袋中白球大约有个，摸到白色球的频率稳定在0.6左右，，解得：，经检验是原方程的解，估计口袋中白球大约有15个，故选：．设口袋中白球大约有个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．本题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．6．【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质判断即可．本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．【解答】解：OA：，，A正确；，B错误；错误；，D错误；故选：．7．【答案】D【解析】【分析】设剪去的小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为，宽为，根据纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，得出关于的一元二次方程，从而得到答案．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【解答】解：设剪去的小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，，故选：．8．【答案】C【解析】解：如图，延长交的延长线于点．四边形是矩形，，，由作图可知，在和中，，，关于对称，，，，在Rt中，，，，故选：．如图，延长交的延长线于点．利用全等三角形的性质证明，再证明，利用勾股定理，可得结论．本题考查作图-基本作图，矩形的性质，轴对称变换，线段的垂直平分线等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．9．【答案】【解析】解：，且，．故答案为：．把代入要求的式子，然后进行计算，即可得出答案．此题考查了比例的性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．10．【答案】5【解析】解：，，，，，，故答案为：5．根据配方法的步骤：①把常数项移到等号的右边；②等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数项，由此可得出的值，即可得出答案．本题考查解一元二次方程-配方法，能够将一元二次方程正确配方是解答本题的关键．11．【答案】77.8【解析】解：在和中，，，，即，解得，，，即“步云阁”的高度为，故答案为：77.8．先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解．本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，判定出和相似是解题的关键．12．【答案】【解析】解：由题知，因为点是的黄金分割点，且，所以，又因为，所以．故答案为：．根据黄金分割的定义及黄金比即可解决问题．本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义及黄金比是解题的关键．13．【答案】【解析】解：如图，取的中点，连接，菱形的边长为4，，，为的中点，为的中点，是的中位线，，，，，，，，，，，在和中，，，在Rt中，由勾股定理得：，故答案为：．取的中点，连接，由菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，然后证，得，进而由勾股定理即可得出结论．本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．14．【答案】解：，或．【解析】利用因式分解法解方程即可．本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程．15．【答案】【解析】解：（1）共有4张卡片，小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是，故答案为：．（2）根据题意，画树状图如图，由图可得，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的有6种，抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．本题考查的是概率公式求概率，用画树状图法求概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．16．【答案】解：（1）连接，过点作，交直线于，如图所示，就是的投影．太阳光线是平行的，，，，，，，，，故立柱DE的长为；（2）如图，过点作交于点，则，，即，，，答：这棵树高．【解析】（1）根据已知连接AC，过点D作，即可得出EF就是DE的投影；利用得出比例式，求出即可．（2）因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的，则是的影子，然后加上加上树高即可．本题考查了相似三角形的应用，平行投影，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键．17．【答案】解：（1）选择条件②：平分，，四边形是矩形，，，，，，四边形ABFE是平行四边形，，平行四边形ABFE是菱形；选择条件③：点与点关于直线对称，，平行四边形ABFE是菱形；（2）四边形ABCD是矩形，，，，，，在Rt中，，，四边形ABFE是平行四边形，．【解析】（1）选择条件②：先证明四边形ABFE是平行四边形，再利用菱形的判定方法即可证得结论；选择条件③：由轴对称性质可得，再利用菱形的判定方法即可证得结论；（2）先证明，运用勾股定理可得，再运用平行四边形的性质即可求得答案．本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．18．【答案】44176【解析】解：（1）由题意得：销售数量为（千克）；利润为（元）；故答案为：44；176；（2）由题意得：，解得：，让顾客得到实惠，，答：销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，每千克应降价5元．（1）由题意，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克．即可得出结论；（2）由题意：超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19．【答案】解：（1）由题意知，四边形ABCD是等邻边四边形，作图如下：（答案不唯一）（2）连接，过点作于点，，是等边三角形，，，，，，，，，，；（3）在矩形OABC内或边上，存在点，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，理由如下：如图，当时，四边形OCED为“等邻边四边形”，当CE取最大值时，四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，四边形OABC是矩形，为的中点，，设点的坐标为，则，，，，解得，，点的坐标为，，存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，此时四边形OCED的面积最大值为，点的坐标为．【解析】（1）根据“等邻边四边形”的定义作图即可；（2）连接，根据是等边三角形得出，过点作于点，求出的长度，根据的长度求出的长度，最后利用勾股定理求出即可；（3）先确定存在点，设点的坐标为，则，根据，列