内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2026届九年级上学期开学考试数学试卷（含答案）

内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2025-2026学年九年级上学期开学数学试题一、单选题1．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．2．如图，实数在数轴上的对应点可能是（

）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点3．在中，与边上的中线长分别为，，则的面积不可能为（）A． B． C． D．4．物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．式子的结果不可能是（

）A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数6．设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且）与第1年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式，下列结论正确的是（

）A．从第2年起，每年的检修费用比上一年增加万元B．从第2年起，每年的检修费用比上一年减少万元C．第1年至第5年平均每年的检修费用为万元D．第6年至第10年平均每年的检修费用为万元7．一次团史知识竞赛，某小组6名同学的成绩统计如图（有三个数据被遮盖），则众数与中位数是（）组员ABCDEF平均成绩众数中位数得分7781■80827980■■A．81，81 B．80，81 C．81，80.5 D．80，81.58．如图，四边形是正方形，以为边长向正方形外作等边，与相交于点F，则的度数为（）A． B． C． D．9．如图，四边形是矩形，E，F分别为边，上两定点，，G为矩形内一点，连接，，点P从点E出发，沿的方向运动，同时点Q从点B出发，沿的方向运动，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，连接，．设P，Q两点运动的速度相同，且运动路程均为x，的面积为S，图是S随x变化的关系图象，连接，则线段的长为（

）A． B．2 C． D．310．如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题11．计算的结果是．12．已知a，b均为实数，定义一种新运算：，若，，，，则的值为．13．两个日常生活现象如下图所示．能用“垂线段最短”来解释的是（填“A”或“B”）．14．函数的自变量的取值范围是．15．某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图，等腰直角三角形的直角边长为，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为；（2）几何拓展：如图，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值；（3）代数应用：求代数式的最小值．16．等边中，，D是上一点，沿折叠得到．当时，的长为三、解答题17．如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：．18．2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装．经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装．(1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？(2)由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价．求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少．19．计算：(1)(2)20．阅读与思考下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务．应用所学知识证明直线对称问题如图1，在平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法：设直线和直线交于点，点是直线上除点外的任意一点，设点的坐标为．方法一：在图1中作点关于直线对称的点，连接交直线于点，则，（依据）．点的纵坐标为．设点的横坐标为，．．．将代入，得．点在直线上．直线和直线关于直线对称．

方法二：如图2，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点．点的纵坐标为．将代入，得．．．．点和点关于直线对称．直线和直线关于直线对称．任务：(1)小悦周记中得到，的依据是______；(2)小悦所用方法主要运用的数学思想是______；A．公理化思想

B．数形结合思想

C．分类讨论思想(3)请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称．21．某校为了解七、八年级学生对“疫情防护”安全知识的掌握情况从七、八年级各随机抽出50名学生进行测试并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下：．七年级成绩频数分布直方图如图（每组成绩包含最低分，不包含最高分）；．七年级成绩在这一组的数据如下：7072747576767777777879．七、八年级成绩平均数、中位数如下：年级平均数中位数七年级76.8八年级79.279.5根据以上信息，解答下列问题．(1)在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人；(2)表中的值为；(3)在这次测试中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是78分，则甲、乙两位学生在各自年级的排名更靠前；(4)该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计七年级学生成绩不低于80分的人数．22．如图，在正方形中，与相交于点O，点E为上一点，连接交于点Q，过点A作交于点F，点G，H分别是的中点，连接并延长，交于点M．

(1)求证：；(2)求证：；(3)当时，求的值．23．已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图（1），易证：．当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．参考答案1．B解：，故A不符合题意；，故B符合题意；，故C不符合题意；，故D不符合题意；故选B2．B解：∵，∴，∴实数在数轴上的对应点可能是点；故选B．3．D解：如图，根据题意，为边上的中线，过A作于M，

由垂线段最短知，，∴，∴，∴的面积不可能为．故选：D．4．C解：根据图象，得，又，故．故选：C．5．A解：．则1012不可能是奇数．故选：A．6．D由题意得，前n年支出总费用为万元，前年支出总费用为：万元；前年支出总费用为：万元；易知，前n年和前年差值为万元，前年和年差值为万元，故第二年起，每年检修费比上一年保持不变，故A,B错误；第一到第五年总支出费用为万元，故平均每年检修费用为万元，故C错误．年总支出为万元，年总支出为万元，所以年平均每年检测费用为万元，故D正确．故选D．7．C解：C的得分为：，这组数据中出现次数最多的是81，共出现2次，因此众数是81，将这组数据从小到大排列，中位数的第3、第4个数的平均数，则中位数是；故选：C．8．B解：∵四边形是正方形，∴，在和中，，∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴，故选：B9．A解：根据函数图象可得当时，，，则点到的距离为，，，当时，，，必须与垂直，根据函数图象可得当时，的面积S与成一次函数，时，点到的距离不变，点的位置如图所示，，，当时，的面积为，，，，，四边形为矩形，，，故选：A．10．C解：∵∴，，∵平分∴∵平分，，∴．∵，∴∴，故①错误；∵平分，∴，∵，∴，即，∴，∵∴∴，故②正确；∵BD平分，∴∵，∴，故③正确；过点D作于N，于G，于H，如图，

∵平分，，，∴∵平分，，，∴∴∴为外角的平分线，∴∵，∴∵∴，∵，∴，∵，∴即，故④正确．故选：C．11．3解：，故答案为：312．2解：，，，，∴，故答案为：2．13．A解：A：跳远测量需要测量出脚印到起跳线的最短距离，故符合题意；B：道路改到是应用的两点直线，线段最短，故不符合题意；故选：A．14．/解：依题意有，解得．故答案为：15．5（1）解：如图，作点B关于AC的对称点，连接，交AC于点P，连接∵点B和点关于AC对称，∴AB==，PB=，∠ABC=∠=45°，∴在△中，∠=90°，∵点E为AB中点，∴AE=，∴，∵PB=，∴=+PE=，故答案为：．（2）作点B关于AC的对称点，过点作⊥AB于点N，交AC于点M，连接交AC于点O，根据轴对称的性质可知，⊥AC，∵，，∠AOB=90°，∴BO=，∠=60°，∴=2BO=2，在Rt△中，∠=60°，∴∠=30°，∴NB=，∴，∵BM=，∴=+MN=，故答案为：．（3）如图，构造图形，点P是AB边上一点，其中AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，作点C关于AB的对称点，连接交AB于点P，延长DB，过点作⊥BD，垂足为O，根据轴对称的性质可知，AC==1，CP=，∵AB=4，=1，∴=4，BO==1，∴DO=3，在Rt△中，，∵AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，∴，，∵CP+DP=+DP==5，∴的最小值为5．故答案为：5．16．或解：折叠性质可知：，当在外部时，如图1，∵在等边中，，∴，∴，过点作，垂足为H，∴，，∴，设，则，∴∵，∴，∴，∴.当在内部时，如图2，∵在等边中，，∴，∴，∴过点作，垂足为，同理可求，故，故答案为：或.17．见解析证明：，．即．，，．18．(1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元(2)甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少（1）解：设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，由题意得：解得经检验，是所列方程的根，∴答：甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元．（2）设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，由题意得：解得：，∵，∴y随m的增大而增大，∴时，y取最小值，此时（个），答：甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少．19．(1)1(2)（1）解：，，．（2）解：，，．20．(1)轴对称的性质(2)B(3)见解析（1）解：由题意得，小悦周记中得到，的依据是轴对称的性质，故答案为：轴对称的性质；（2）解：由题意得，小悦所用方法主要运用的数学思想是数形结合思想，故选：B．（3）解：方法一：如图所示，在直线上取一点异于A点的，作点C关于直线的对称点，连接交直线于D，∴由轴对称的性质可得，点的横坐标为c，设点的纵坐标为，∴，∴，∴，在中，当时，，∴在直线上，∴直线和直线关于直线对称；方法二：如图所示，在直线上取一点异于A点的，过点C作直线的垂线，垂足为D，交直线于，∴点的横坐标为，把代入中得，∴，∴，∵，∴，又∵，∴直线和直线关于直线对称．21．(1)23(2)77.5(3)甲(4)276（1）解：在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有（人；故答案为：23；（2）解：七年级学生成绩的中位数（分；故答案为：77.5；（3）解：七年级学生甲的成绩更靠前，因为七年级学生甲的成绩大于其中位数；故答案为：甲；（4）解：（人，答：估计七年级学生成绩不低于80分的人数为276人．22．(1)见解析(2)见解析(3)．（1）证明：四边形是正方形，，，，，，，在和中，，；（2）证明：如图①，连接、，

四边形是正方形，∴，，，，，，、分别是和的中点，是的中位线，是的中位线，∴，，，，，，，由（1）可知，，，，，，，∴，为的中点，