（人教A版）必修一高一数学上册同步重点通关练习卷15 函数奇偶性的应用（解析版）

第页通关练15函数奇偶性的应用eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（

）A． B． C． D．【解析】对于A，为奇函数，所以A不符合题意；对于B，为偶函数，在上单调递减，所以B不符合题意；对于C，既是偶函数，又在上单调递增，所以C符合题意；对于D，为奇函数，所以D不符合题意．故选：C．2．设函数，则下列函数中为偶函数的是（

）A． B．C． D．【解析】，则，因为是偶函数，故为偶函数.故选：A3．符号函数是一个很有用的函数，符号函数能够把函数的符号析离出来，其表达式为若定义在上的奇函数，当时，，则的图象是（

）A． B．C． D．【解析】依题意，是定义在上的奇函数，图象关于原点对称.当时，，结合的奇偶性，作出的大致图象如下图所示，根据的定义可知，选项C符合题意.故选：C4．若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【解析】当时，，由奇函数的定义可得.故选：D.5．对于函数，，“”是“的图象既关于原点对称又关于轴对称”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】若函数的定义域为，的图象既关于原点对称又关于轴对称，则，可得，因此，“”是“的图象既关于原点对称又关于轴对称”的充要条件．故选：C.6．若，则满足的的取值范围是（

）A．B．C．D．【解析】因为，且函数的定义域为，故函数为定义域上的偶函数，又当时，在上单调递增，所以，则有，解得.故选：C7．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【解析】由题意得在上单调递增，且，因为，所以，解得，所以不等式的解集是.故选：A8．已知函数是定义域为R的偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【解析】是定义在R上的偶函数，且在区间，上单调递增，若，则不等式等价为，即，即，故不等式的解集为：.故选：B．9．若定义在上的奇函数在单调递减，且，则的解集是（

）A． B．C． D．【解析】因为定义在上的奇函数在单调递减，则函数在上为减函数.且，当时，由可得，则；当时，由可得，则.综上所述，不等式的解集为.故选：C.10．已知定义域为的偶函数在上单调递减，且，则满足的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】∵定义域为的偶函数在上单调递减，且，，且在上单调递增，，可得或或，即或或，即.故选：D.11．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（

）A． B．或C．或 D．或【解析】因为，则，所以，因为为偶函数，所以，因为在上单调递增，所以，解得或，所以不等式的解集为或，故选：B12．设奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（

）A． B．或C． D．或【解析】为奇函数，；又在上单调递增，，在上单调递增，；，即；当时，，；当时，，；的解集为或.故选：D.13．若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B．0 C．1 D．3【解析】由题设，，可得，则，又为偶函数，则，可得，综上，，故.故选：D.14．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（

）A． B．C． D．【解析】因为函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，所以，即，故令，则，所以，令，则，故D正确；取函数，则，故满足是定义域为的偶函数，且为奇函数，而，，说明A,B,C错误，故选：D.二、多选题15．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（

）A． B．的单调递增区间为（-1，0），（1，+）C．当时， D．的解集为（-，-1）（1，+）【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，所以，故A错误；因为函数在都是增函数，所以函数在是增函数，又，则当时，，当时，，当时，，当时，，则函数的单调递增区间为（-1，0），（1，+），故B正确；当时，则，，所以当时，，故C正确；若，则或，所以或，即不等式的解集为，故D错误.故选：BC.16．已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，都有；③.则下列选项成立的是（

）A． B．若，则C．若， D．，，使得【解析】由①知函数为偶函数；由②知，函数在上单调递减；则函数在上单调递增；对于A，，故A正确；对于B，，则，解得，故B错误；对于C，若，由题知，则当时，，解得；当时，，解得，故C正确；对于D，根据函数单调性及函数在R上的图形连续知，函数存在最大值，则只需，即可满足条件，故D正确；故选：ACD17．设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，若函数，则下列结论正确的是（

）A． B．的值域为C．的单调递增区间为 D．为偶函数【解析】因为等式的解为或所以的解集为，的解集为或，所以，所以对于A选项，，故A选项错误；对于B选项，当时，，当时，，所以的值域为，故正确；对于C选项，当时，在区间上单调递增，当时，函数为常函数，所以的单调递增区间为，故正确；对于D选项，函数图像关于对称，其图像向左平移一个单位得图像，此时图像关于对称，即关于轴对称，故为偶函数，故正确.故选：BCD三、填空题18．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则在R上的表达式是________．【解析】时，，，所以．故答案为：．19．已知上的奇函数是增函数，若，则的取值范围是________．【解析】因为函数为奇函数，所以，而函数在R上为增函数，则.故答案为：.20．函数为奇函数，且对任意互不相等的，，都有成立，且，则的解集为______．【解析】因为，时，，所以在上单调递减，又因为为奇函数，且，所以在上单调递减，且.当时，不等式，得；当时，不等式，得.综上，不等式的解集为.故答案为：21．设是定义在上的奇函数，且，则___________.【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，因为，所以，所以.故答案为：1.22．函数是偶函数，且它的值域为，则__________．【解析】为偶函数，所以，即或，当时，值域不符合，所以不成立；当时，，若值域为，则，所以.故答案为：.23．写出一个能说明“若函数为奇函数，则”是假命题的函数：_________.【解析】由题意，为奇函数且，则满足题意故答案为：24．已知函数，满足不等式的解集为，且为偶函数，则实数________.【解析】根据解集易知：，为偶函数，可得：则有：易知的两根为，则根据韦达定理可得：解得：故答案为：25．若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知定义在R上的奇函数，当时，．那么当时，______；求函数在上的“倒值区间”为______．【解析】设，则，，由为奇函数，可得，故当，，对称轴方程为，所以时，，设是在上的“倒值区间”，则值域为，所以，即，所以在上单调递减，，即，解得，所以函数在上的“倒值区间”为.故答案为：；四、解答题26．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）由，得，且，所以的定义域为，关于原点对称，所以.又，所以是奇函数.（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.（3）对于函数，，其定义域为，关于原点对称.因为对定义域内的每一个，都有，所以，，所以既是奇函数又是偶函数.（4）函数的定义域为，定义域关于原点对称.①当时，，所以，，所以；②当时，，所以；③当时，，所以.综上，可知函数为奇函数.27．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．(1)当时，求函数的解析式；(2)解不等式．【解析】(1)当时，则，又是偶函数，故；(2)当时，单调递增，时，单调递减，且函数为偶函数，故，即．化简得，解得，故不等式的解集为.28．已知函数f（x）的图像关于原点对称，当时，.(1)求函数f（x）的解析式；(2)求函数f（x）的单调区间.【解析】(1)∵函数f（x）的图像关于原点对称.∴.当时，，又时，，∴当时，.∴(2)当时，函数的图像开口向下，对称轴为直线，∴函数f（x）在[0，3]上单调递增，在[3，+∞）上单调递减.又∵函数f（x）的图像关于原点对称，∴函数f（x）的单调递减区间为；单调递增区间为.29．设偶函数且(1)求实数的值；(2)根据定义证明函数在区间上单调递增．【解析】(1)是偶函数，，即，解得(2)证明：由（1）知，当时，，设任意，则，，，即，在区间上单调递增．30．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补充完整函数的图象；(2)根据图象写出使的x的取值集合；(3)求出函数在R上的解析式．【解析】(1)由题图及是定义在R上的奇函数，可得左侧图象如下：(2)由所得函数图象知：使的x的取值集合为.(3)∵函数是定义域为R的奇函数，∴，当时，，则，综上，.31．已知函数是上的偶函数(1)求实数的值，判断函数在上的单调性（不必证明）；(2)求函数在上的最大值和最小值．【解析】(1)若函数是上的偶函数，则．即，解得．所以．函数函数在上单调递减．(2)由（1）知函数在上单调递减，又函数是上的偶函数，所以函数在上为增函数，所以函数在上为增函数，在上为减函数．又，所以，．32．已知函数是定义在R上的偶函数，且.(1)求实数a､b的值，并用定义法证明函数在上是增函数；(2)解关于t的不等式.【解析】(1)因为函数是定义在R上的偶函数，∴恒成立，即，∴，，∴.综上，，.证明：因为，，任取，，使得，所以.又，∴，，，，∴，∴，即，∴在上为增函数.(2)∵，∴，∵是定义在R上的偶函数，∴，∵当时，，结合（1）可得在上单调递增，.∴，即，∴.故不等式的解集为.33．已知函数f（x）＝x|x﹣m|＋n.(1)当f（x）为奇函数，求实数m的值；(2)当m＝1，n＞1时，求函数y＝f（x）在[0，n]上的最大值.【解析】(1)因为f（x）为奇函数，所以f（﹣0）＝﹣f（0），所以f（0）＝0，即n＝0，所以f（x）＝x|x﹣m|，又f（﹣1）＝﹣f（1），所以|1﹣m|＝|1＋m|，解得m＝0，此时f（x）＝x|x|，对∀x∈R，f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数,故m＝0.(2)f（x）＝x|x﹣1|＋