（人教A版）必修一高一数学上册同步重点通关练习卷20 指数函数图象的应用（解析版）

第页通关练20指数函数图象的应用eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．若且，则函数的图象一定过点（

）A． B． C． D．【解析】令.当时，，所以函数的图象过点.故选：C.2．已知，则函数的图像必定不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】因为，故的图象经过第一象限和第二象限，且当越来越大时，图象与轴无限接近.因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限.故选：A．3．函数的图象大致为（

）A．B．C．D．【解析】,当时，，排除D选项；当时，在上单调递减，且，排除BC，故选：A4．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【解析】由，得为偶函数，故排除选项A，D；在区间上，令，则，即，故，故，故在上为增函数.故选：B.5．函数=的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【解析】当时，，又因为，所以，排除C；因为不恒等于0，所以不是奇函数，排除D；，即，故当时，不单调递增，排除，故选：B6．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【解析】∵，∴为奇函数，A不正确；很显然有三个零点分别为0，±1，，只有C符合.故选：C.7．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【解析】根据指数函数和幂函数的图象性质可得B选项符合.故选：B.8．二次函数的图象顶点横坐标的取值范围为（，），则的图象大致为（

）A． B．C． D．【解析】因为二次函数的图象顶点横坐标的取值范围为，所以，即，所以：，则函数是减函数，又函数的图像是由函数的图像向下平移一个单位得到的，故函数是减函数且过原点.故选：.9．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（

）A． B．C． D．【解析】由函数（其中）的图象可得，所以，所以排除BC，因为，所以为增函数，所以排除A，故选：D10．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【解析】函数的定义域为，，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B选项，因为当时，，所以当时，，时，，故排除D，当趋近于时，由于指数呈爆炸型增长，故函数值趋近于，故排除A选项，故选：C11．若幂函数在上单调递增，则函数且过定点（

）A． B． C． D．【解析】因为是幂函数，所以或，又因为该幂函数在上单调递增，所以，即，因为，所以函数过定点，故选：D12．若函数图象上不同两点关于原点对称，则称点对是函数的一对“姊妹点对”（点对与看作同一对“姊妹点对”），已知函数，则此函数的“姊妹点对”有（

）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对【解析】根据题意可得的“姊妹点对”数即为与的图象的交点个数，画出两个函数的图象如下：由图可得两个函数的图象有1个交点，即此函数的“姊妹点对”有1对.故选：B.13．已知函数若方程有四个不相等的实数根，且，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【解析】函数即为，其图象如图所示：因为方程有四个不相等的实数根，且，由图象知：，且，则，所以，因为在上递增，所以故选：C14．已知函数，则方程的实数根的个数为（

）A． B． C． D．【解析】令，则，①当时，，，，即，②当时，，，画出函数的图象，如图所示，若，即，无解；若，直线与的图象有3个交点，即有3个不同实根；若，直线与的图象有2个交点，即有2个不同实根；综上所述，方程的实数根的个数为5个，故选：．二、多选题15．已知函数，且的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【解析】由指数函数图象可知：，A错误，B错误，D正确；由得：，C正确.故选：CD.16．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）函数（且），图像经过2，3，4象限，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【解析】函数（且），图像经过2，3，4象限，故得到，当时，函数是减函数，，函数为增函数，故得到故得到，故得到AD正确，BC错误.故选：AD.17．已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（

）A． B． C． D．【解析】分别画出，的图象，如示意图：实数，满足等式，可得：，或，或．故选：ABD.18．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at．关于下列说法正确的是（

）A．浮萍每月的增长率为2B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3【解析】对于A：因为函数图象过点，所以a＝3，即函数解析式为y＝3t，所以浮萍每月的增长率为：，即选项A正确；对于B：因为浮萍第1个月增加的面积为，浮萍第2个月增加的面积为，所以浮萍每月增加的面积不相等，即选项B错误；对于C：当t＝4时，y＝34＝81＞80，即选项C错误；对于D：因为，，，所以，即所以2t2＝t1+t3，即选项D正确.故选：AD．19．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A． B．C． D．【解析】若，则函数是R上的增函数，函数的图象的对称轴方程为，故A可能，B不可能；若，则函数是R上的减函数，，函数的图象与轴的负半轴相交，对称轴为，故C可能，D不可能.故选：AC.20．已知且，函数与函数在同一个坐标系中的图象可能是（

）A． B．C． D．【解析】当时，是增函数，只有B、D满足，此时的最高点大于1，故B满足，D不满足；当时，是减函数，只有A、C满足，此时的最高点大于0，小于1，故C满足，A不满足；故选：BC．21．函数的图象可能为（

）A． B．C． D．【解析】当时，，图象A满足；当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；图象C过点，此时，故C不成立.故选：ABD22．若实数a，b满足，则下列关系式中可能成立的是（

）A． B．C． D．【解析】因为实数,满足.设,，显然在上都单调递增，且，,作出函数的图像，如图由图象可知①当时,,所以,即,故B正确②当时,,所以,即,故D正确③当时,,所以,即,故A正确④当时,,所以,即,故D正确⑤当时,,所以,即,故C错误.故选：ABD23．已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的x的可能取值是（

）．A． B． C． D．2【解析】因为函数是定义在上的奇函数，由题意，画出函数在上的图象，在同一坐标系内画出的图象，因为，所以，又，所以的图象与的图象交于和两点，，即为，由图象可得，只需或，故A，C可能取到，故选：AC．三、填空题24．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则______．【解析】因为的图象过原点，所以，即．又因为的图象无限接近直线，但又不与该直线相交，所以，，所以，所以．故答案为：25．已知函数的图象（且）恒过定点P，则点P的坐标是______，函数的单调递增区间是__________.【解析】由题意，函数（且），令，即，可得，即函数的图象恒过定点，令，即，解得，即函数的定义域为，又由函数的图象开口向下，对称轴的方程为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数的递增区间为.故答案为：；.26．设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点，，若在函数的图像上存在点，使得为等边三角形，则点的纵坐标为_________.【解析】设直线的方程为，由，得，所以点，由，得，所以点，从而，如图，取的中点，连接，因为为等边三角形，则，所以，，则点，因为点在函数的图象上，则，解得，所以点的纵坐标为.故答案为：.27．已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________.【解析】由题意得，即或，的图象如图所示，关于的方程有5个不同的实数根，则或，解得，故答案为：28．已知定义在R上的函数满足，且当时，，若对任都有，则m的取值范围是_________．【解析】因为满足，即；又由，可得，画出当，时，的图象，将在，的图象向右平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍），再向左平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的倍），由此得到函数的图象如图：当，时，，，，又，所以，令，由图像可得，则，解得，所以当时，满足对任意的，，都有，故的范围为，．故答案为：，．四、解答题29．已知函数（a是常数，且）的图像过定点，函数.(1)求证：函数在上单调递增；(2)解不等式.【解析】(1)因为的图像过定点，所以，所以定点坐标为，则，所以函数解析式为.任取，则，因为，所以，，，所以，即，所以函数在上单调递增.(2)因为函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，所以变形为，当时，，所以不等式转化为，解集为，不符合题意；当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以不等式转化为，解得，所以不等式的解集为.30．已知函数f(x)=x2+ax+b，a，b∈R，f(1)=0(1)若函数y=在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；(2)设，若函数有三个不同的零点，求实数a的取值范围；(3)是否存在整数m，n，使得m≤f(x)≤n的解集恰好是[m，n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由，可知所以，对称轴为则．因为在上是减函数，当，即时，在上是减函数，符合题意当a>−2，即时，在上是减函数，．综上可知，实数a的取值范围为．(2)函数F(x)有三个零点，则方程有三个不同根设其图象如下图由题意，关于t的方程：即有两根，且这两根有三种情况：若，则，此时方程为或，符合题意若，则，此时方程为舍去若，则不存在，综上得