新北师大版12常用逻辑用语学案

第二节常用逻辑月语

【考试要求工并能根据充要条件确定参数的取值范围.2.理解全称量词命题与存在量词

命题的含义3能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

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■知识梳理回顾知识

1.命题的概念

可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题.

2.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若〃今(7,则〃是4的遨条件，〃是〃的必要条件

〃是q的充分不必要条件p=q且g

〃是q的必要不充分条件且心1)

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件p书q且qGp

3.全称量词命题、存在量词命题

(1)在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题，在命题

中，诸如“所有”、“每一个”“任意”、“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“V”

表示.

(2)在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题，在命题中，

诸如“有些”、“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“三”表示.

4.全称量词命题、存在量词命题的否定

量词命题量词命题的否定结论

全称量词命题的否定是存在量

x具有性质p(x)三x£M,x不具有性质/?(.¥)

词命题

存在量词命题的否定是全称量

工具有性质p(x)VxG/W,x不具有性质〃⑴

词命题

【常用结论]

1.在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如.。2(小范围)=Q1(大范

围)，入＞1(大范围)方工＞2(小范围).

2.充要关系与集合的子集之间的关系

设4={x%)},B={x\q(x)],

(1)若4GB,则〃是《的充分条件，，/是〃的必要条件.

(2)若AB,则〃是"的充分不必要条件，4是〃的必要不充分条件.

(3)若4=8,则〃是《的充要条件.

3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、否结论”.

'诊断自测激活技能

［思考辨析I

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(I)当〃是。/的充分条件时，夕是〃的必要条件.()

(2))>1”是“Q0”的充分不必要条件.()

(3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题.()

(4)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.()

答案：⑴J(2)7(3)X(4)7

［对点查验］

1.是“x<0,产0"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

B因为孙>()不能推出A<0,><(),且人<0,产0能推出xy>(),所以是'"<0,)<0"

的必要不充分条件.故选B.

2.命题“Vx£R,f+%20”的否定是()

A.f+xWOB.f+x<0

C.VxGR,r+xWOD.V.rGR,/+x<()

B由全称量词命题的否定是存在量词命题知选项B正确.

3.(2022•浙江卷)设xWR,则“sinx=l”是“cosx=0"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

A因为sin2x+cos2x=1可得：

当sinA-=1时，cosA=0,充分性成立；

当cos.i=0时，sinx=±l,必要性不成立；

所以当xWR,"sinx=l”是“cosx=0”的充分不必要条件.故选A.

4.命题“DqO,士>0"的否定是()

X1

X

A.3x<0,-jTTyWOB.3x>0,0<Wl

C.V.rX),-2―WOD.Vx<(),OWxWl

x—1

B因为=>°,所以X<°或所以的否定是°q力，所以命题的否定

是三大>0,OWxWl,故选B.

5.命题“VxWR,加一批+1>0”为真命题，则实数〃的取值范围是

答案［0,4)

解析①当4=0时，1>0恒成立，・•・〃=()满足条件，

。>0,

②当〃#0时，1,,八解得0v〃v4.

/=(r—4a<(),

综上，0W〃<4.

探究:核心考点考点突破重难解网上

考点一充分、必要条件的判定

W(1)(2022•江西新余市三模)若«>0,b>0,则“、+♦22”是“a+b22”的

条件.()

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既非充分也非必要

B依题意，取〃=娘,b=3，满足/+信22,而a+b<2,

22

当。+822时，层勺+丛_=1(——«+/?)—+(«———/?)人1(/〃1+与、*，当且仅当时取“=”，

则不十护》2,

“/+〃22”是“a+〃22”的必要不充分条件.故选B.

(2)(2022・重庆三模)已知〃>0且。大1,“函数人工)=炉为增函数”是“函数g(%)在

(0,+8)上单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

C函数凡()=。，为增函数，则a>\,此时。-1>0,故函数g(x)=片「在(0,+0°)上

单调递增：当g(x)=铲一|在(o.+oo)匕单调递增时，〃-1>0,所以故«丫)="为增

函数.故选C.

思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法

(1)定义法：根据〃=七夕=>〃进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数

范围的推断问题.

对点强化1(1)(2022•北京市海淀区高三模拟考试)在Z\ABC中,A=?，则“sin晨p”

故〃？的取值范围是［0,31.

思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关

系列出关于参数的不等式］或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检脸.

对点强化2(1)(2022.福建三模)若心0,历>0,则Q+X2”的一个必要不充分条件是

()

-+工alx\

A.ab<1B.

C.a2-\~b1<2D.或<42—匕

B因为a>0,b>0,

对于A,当a+b<2,取a=b=3,明显可见，:+1<1不成立，故必要性不成立，A

错误；

对于B,当。+力<2,0<X2一。，得〃。y(2—〃)=一(“一1尸十1<1,必要性成立；当必<1,

取a=2,〃=(,明显可见，〃+〃>2,则〃+*2不成立，充分性不成立，则B正确；

31a।

对于C,当a+b<2,取a=2，%=W，明显可见，，/+房=4+而>2,则«24-/?2<2

不成立，故必要性不成立，则C错误；

对于D,当a+b<2成立，则0<a<2-b,明显可见，血<产4成立：当木<产吃,

两边平方，同样有〃+枇2,充分性也成立，D错误；故选B.

(2)(2022・湖北襄阳模拟)集合A=x，4={x|k-〃|<a},若“。=1”是

“AOBWO”的充分条件，则实数〃取值范围是.

答案(一2,2)

解析4=(—1,1),当〃=1时，B=(b—I,/?+1),

b—1<1

因为“〃=1”是“ACIBWO”的充分条件，所以,,解得一2<X2.

力+1>—1

考点三全称量词与存在量词

命题点1含量词命题的否定

、例图(2022•湖北襄阳模拟)已知命题p：Vx^O,e。1或sinxvl,则［〃为()

A.3x<0,eA<1且sin工21

B.3x^0,e*<l且sinx21

C.3x>0»e'vl或sin%21

D.3x<0,e'21或sinxWl

B命题是全称命题，因为命题〃：Vx^O,erel或sinxvl

所以->p:3x>0,e'<l且sin%21,故选B.

命题点2含量词命题的真假判断

必5胭J（多选题）下列命题是真命题的是（）

A.使函数3，=2'+。2'在R上为偶函数

B.Vx^R,函数y=sinx+cosx+啦的值恒为正数

C.VxGR,工…

D.3xeR,f-2x+lW0

AD当。=1时，），=2'+2r为偶函数，故A为真命题：），=sinx+cosX+，5=啦sin

Q+1"）+也，当sinQ+/）=-1时，）'=°，故B为假命题；当犬=0时，.d=N,故C

为假命题；f-2x+l=（x-l）2,当x=l时，F-2LH=0,故D为真命题.故选AD.

命题点3含量词命题的应用

、例❺（2022.山东青岛一模）若命题“Vx£R,加+120”为真命题，则实数。的取值

范围为（）

A.«>0B.心0

C.aWOD.〃W1

B依题意，命题“VK£R,aF+lNO”为真命题，

当。=0时，120成立，当。>0时，加+]20成立，

当〃<0时，函数y=G?+1开口向下，aF+120不恒成立.

综上所述，a2O.故选B.

思维升华（1）含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.

（2）判定全称量词命题“Vx£M,p（x）”是卖命题，需要对集合M中的每一个元素x,

证明p（x）成立；要判定存在量词命题p。）”是真命题，只要在限定集合内找到一

个X,使p（x）成立即可.

（3）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围：二是可利用等价

命题，即〃与「〃的关系，转化成「〃的真假求参数的范围.

对点强化3（1）（2022,山东潍坊二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：”对任意正整数

n>2,关于x,y,z的方程？+）*=中没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德

鲁・怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（）

A.对任意正整数〃，关于K,户Z的方程非+>"=/都没有正整数解

B.对任意正整数〃>2,关于x,>,z的方程d+V=/至少存在一组正整数解

C.存在正整数〃W2.关于x,y,z的方程炉+产=/至少存在一组正整数解

D.存在正整数心2,关于斯），，z的方程下+）〃=/至少存在一组正整数解

D命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定，故