新高考数学创新题型微专题专题03 三角函数专题（数学文化）（含答案与解析）

专题03三角函数专题（数学文化）

一、单选题

1.（2022春•黑龙江齐齐哈尔・高一齐齐哈尔市第八中学校校考开学考试）屏风文化在我国源远流长，可追溯

到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为2.4m,内环弧长为0.6m,

径长（外环半径与内环半径之差）为0.9m,若不计外柢，则扇环内需要进行_L2制作的面积的估计值为（）

A.1.20m2B.|.25m2C.1.35m2D.1.40m2

2.（2021秋・湖南娄底•高三校考阶段练习）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立.甲行率七，乙行率

三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点

出发，甲的速度为7步/秒，乙的速度为3步/秒，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方

向走了一段后与乙相遇.甲、乙各走了多少步？（）

A.20,8B.24,10

C.10.5,24.5D.24.5,10.5

3.（2021・河南许昌•校联考一模）某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁

在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收

反射光.当物体横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移力=生瞥，其中v为测速仪测得被测

物体的横向速度，入为激光波长，为*两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，

发出的激光波长2=1600nm（lnm=l（T9m）,测得某时刻频移=9.0xl（）9（i/h）,则该时刻高铁的速度约等

)

H—40mm-*i

微光多普勒测速仪

A.360km/hB.340km.1iC.320knVhD.300km/h

4.（2021・全国•高三专题练习）音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807年法国数学家傅

里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如丁=Asinwx的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频

率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图1,2,3三个函数图象组

成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（）

音义图I图2图3

A./(/)=0.(X)sinKXX)>rZ+0.02sin1500R+0.01sin3(XX)R

B.〃/)=0.06sin5(X)R+().()2sin2(XX)R+0.01sin3(X)R

C./(r)=0.06sinl000/27+0.02sin2000R+0.01sin3000R

D./（7）=0.06sin1000^/+0.02sin2500^/+0.01sin3000^/

5.（2022春•陕西汉中•高一统考期中）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国

举办的国际性奥林匹克赛事.2月5口，在北京冬奥会短道跑道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37

秒348的成绩获得金牌，这也是中国代表团在本届冬奥会上赢得的首枚金牌.短道速滑，全称短跑道速度

滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动.如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径

为8.5m，直道长为28.85m.若跑道内圈的周长等于半径为27.78m的扇形的周长，则该扇形的圆心角为（参

考数据：取17万=53.42）（）

712TC

A.BC.2D.

2-iT

6.（2022・全国•高三专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求三角形面积的方法，他

把这种方法称为“三斜求枳以斜幕并大斜哥减中斜寻，余半之，自乘于上，以小斜鼎乘大斜幕减上，余四

约之，为实，•为从隅，开平方得积.在他的著作《数书九章》卷五"田域类''里就有已知三边求三角形面积

的问题，该问题翻译成现代汉语就是：一块三角形田地，三边分别为13,14,15,则该三角形田地的面积

是（）

A.84B.168C.79D.63

7.（2022・全国•高一假期作业）铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争

中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1.我国古代工匠已经知道，将长方体砖块

以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似

圆形的墙面，每块长方体砖块底而较长的边长为I个单位，如图2,则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆

的半径是（）

8.（2022•全国•模拟预测）《几何原本》卷H的几何代数法成了后世数学家处理数学问题的重要依据，通过

这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，这种证明方式优雅而直

观.观察图形可知，阴影直角一角形的短直角边为cos（a+〃）或cosacos夕-sinasin/,所以该图直观地反映

了公式85（。+夕）=（：08。（：056-5山。4112.通过观察图中阴影直角三角形长直角边和长方形的宽，可得公式

cosasinP

sinacosp

A.cos(<2-/7)=coscrcos/7+sin«sin/?

B.sin(a-/?)=sinacosp-cosasin/7

C.cos(a+/?)=cosacos/y-sinasin夕

D.sin(a+/7)=sinacos/7+cosasin[i

9.（2022・吉林•统考模拟预测）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声,

然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）.已知噪声的声波曲线是N=2COS3X,通过主动降噪

芯片生成的声波曲线是'=不访（的+*）（其中A>O,3>O,OK*V2；T）,则。=（）

A-?B.”C-TD-?

10.（2022・高一课时练习）2021年1月7日，一个戴着红帽子，扎着红围脖，身材圆滚的大雪人在哈尔滨

市友谊西路音乐公园内落成.这个用雪量2000余立方米的“雪人中的巨人”，寓意着可爱祥和、喜庆丰收，

每天约有3000人前来和大雪人合影打卡，已成为松花江畔冬天的新地标，这满满的冬口仪式感就是冰城独

特的浪漫.小明同学为了估算大雪人的高度，在大雪人的正东方向找到一座建筑物A8,高为曳iWlm，

2

在它们之间的地面上的点M（8,M,。三点共线）处测得楼顶A,雪人头顶C的仰角分别是15。和45。，在

楼顶A处测得雪人头顶C的仰角为15。，则小明估算大雪人的高度为（）

A.1372mB.13mC.18&mD.1375m

11.（2023•全国•高三专题练习）掷铁饼是一项体育竞技活动.如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁

饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓经测量，此时两手掌心之间的弧长是荒，“弓”

所在圆的半径为105米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：V2-1.414,6t1.732）

A.1.819米B.1.485米

C.1.649米D.L945米

12.（2022春・北京丰台•高■统考期末）古希腊的数学家特埃特图斯（Theaefe*约前417-前369）通过图

来构造无理数3,6,VI….记/朋C=a,ND4C=〃，则cos(a+/?)=()

3近述+也

D.

3632

13.（2022・四川广安・统考模拟预测）我国古代数学家僧•行应用“九服展影算法”在《大衍历》中建立了卷影

长/与太阳天顶距。（0＜。＜180）1勺对应数表，这是世界数学史上较早的一张止切函数表.根据三角学知识可

知，密影长度/等于表高〃与太阳天顶距。正切值的乘积，即/=，'?tanO.对同一“表高”两次测量，第一次和第

7

二次太阳天顶距分别为a、B,若第一次的“居影长'’是“表高”的3倍，且tan（a-夕）=5,则第二次的“遇影

长”是“表高”的（）倍

257

A.1B.-C.-D.一

322

14.（2022.全国•高三专题练习）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是"中

国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测

量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC,如图，测得ND4C=3（r,NO8c=60°,钻=14米，则岳阳

楼的高度CO为（）

A.66米B.7百米C.86米D.96米

15.（2022春•辽宁葫芦岛•高一统考期末）圣・索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆

柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣♦索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物

AB,高约为36m,在它们之间的地面上的点M（8,M,。三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角

分别是45和60，在建筑物顶A处测得教堂顶。的仰角为15，则可估算圣・索菲亚教堂的高度CD约为（）

A.54mB.47mC.50mD.44m

16.（2022•浙江•校联考模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服唇影算法”在《大衍历》中建立了影长/

与太阳天顶距夕（0。工夕＜180。）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可

知，孱影长/等于表高〃与太阳天顶距夕正切值的乘积，即/=力36.对同一“表高”测量两次，第一次和第二

次太阳天顶距分别为a,夕，若第一次的“悬影长''是“表高”的3倍，且tan（a-/7）=g,则第二次的“唇影长”

是“表高”的（）

257

A.1倍B.=■C.7倍D.彳倍

J，2

17.（2022.广西南宁•统考模拟预测）“割圆术”是我国古代计算圆周率九的一种方法.在公元263年左右，由

魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求兀.根据“割

圆术”,若用正二卜四边形来估算圆周率兀，则兀的近似值是（）（精确到0.01）（参考数据sinI5=0.2588）

A.3.05B.3.10C.3.11D.3.14

18.（2022秋・全国•高三校联考阶段练习）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书大章》中提出

了已知三角形的三边求面积的方法：“以小斜哥并大斜累减中斜帚，余半之，自乘于上.以小斜哥乘大斜吊

减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”以上文字用公式表示就是5=

其中a,〃，c分别是△A8C的内角A,B,。的对边，S是△回。的面积，在△回（?中，若a=3,b=5,c=6,

则△ABC的内切圆的面积为（）

A.4B.MLC.迎D.史

2777

19.（2021秋•辽宁营口•高三统考期末）勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械

学家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，

在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形A8C的边长

为2,则勒洛三角形面积为（）

A.2万-26B.2乃+6C.-^-+GD.4兀

20.（2022・全国•高三专题练习）勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理,

汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1）,证

明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将。延长至。）得到图2.在图2中，

若入。=5,BD=3M,D,E两点间的距离为JI存，则弦图中小正方形的边长为（）

B

B

图1图2

A.BB.—C.1D.V2

23

21.（2022•福建漳州•统考三模）英国化学家、物理学家享利・卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，

卡文迪许是从小孩玩的游戏（用•面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动•下手中的镜子，墙

上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算

出地球质量，他在扭科两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝

上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质

量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2）,由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反

射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G,从而计算出了地球的质量.在该

实验中，光源位于刻度尺上点尸处，从P出发的光线经过镜面（点M处）反射后，反射光线照射在刻度尺

的点。处，镜面绕M点顺时针旋转。角后，反射光线照射在刻度尺的点。'处，若△PMQ是正三角

形.PQ=。，QQ=b（如图3）,则下列等式中成立的是（）

图1

B.tana=^-

A.2回

2a+ba+2h

Ga

C.tan2a=D.tan2a

2a+ba+2b

22.（2022・全国•高三专题练习）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》

一日作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵

爽弦图“，可类似地构造如图（2）所示的形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的

一个大等边角形，设。尸=3A尸，若向三角形48c内随机投•粒芝麻（忽略该芝麻的大小），则芝麻落在阴

影部分的概率为（）

23.（2022•河南郑州•统考三模）位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表.圭表是我国古代

一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表和一把呈南北方向

水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面

上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.如图是一个根据郑州市的地理位置

设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即NA8C）约为32.5。，夏至正午太阳百度角（即

^ADC）约为79.5。，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即。B的长）为14米，则表高（即AC的长）约

327

为（）（其中tan32.5°ag,tan79.5°）

A.9.27米B.9.33米C.9.45米D.9.51米

24.（2022秋.河南郑州•高三统考开学考试）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，

发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sinl8表示.若实数〃满足4siM18+/=4,则：叫8

4zrsin'18

的值为（）

A.4B.-C.2D.上

42

25.（2022・高一课时练习）数学家傅里叶关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物

的叫声等都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数模型描述的.已知描述百灵鸟

的叫声时用到如图所示的图象，对应的函数解析式是/。）=4311（必・+卬）（4>0"0>0.（）<@<兀），则（）

46

26.（2022秋・山西太原•高二山西大附中校考开学考试）简车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又

环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的

工作原理（图2）.现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度

为2米，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水

筒P刚浮出水面为初始时刻，经过t秒后，下列命撅正确的是（）（参考数据：cos48°«j）

图1图2

@d=2-3sin,其中sin®=2,且共(吟

13。)3

/\

②d=2+3sin[2-/|,其中sinO=2,

且OW0,y

、30)3

③当r*38时，盛水筒〃再次计入水中,

④当t^22时，盛水筒。到达最高点.

A.①③B.@@C.②④D.①④

27.（2022秋・河南•高二校联考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，

曾经出现过下列两种三角函数：定义1-8S夕为角。的正矢，记作versing；定义l-sin。为角。的余矢，记作

covers。.给出下列结论：

①函数/(x)=versinx-covcrsx®—，^上单调递增;

4

g*.coversx-l*.*,,2

②若---------=2,则nilversin2x-covers2x-1=—；

versinx-15

③若g(x)=versinxcoversx,则g(x)的最小值为0；

④若h(x)=versin2x-covers^则〃（x）的最小值为

8

具中所自正确结论的序号为（）

A.①②B.③©C.①③④D.②③④

28.（2022秋・广东肇庆•高三统考阶段练习）《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代

时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图''（以

弦为边长得到的正方形A8CZ）是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法

给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若A£=6,

BF=4厢,G,尸两点间的距离为2相，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（）

29.（2022・上海嘉定•统考一模）中国古代数学家用圆内接正6〃边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周

率兀的值.若据此证明兀＞3.14,则正整数〃至少等于（）

A.8B.9C.10D.11

二、多选题

30.（2021秋・山东临沂・高一临沂第四中学校考期末）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以

看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为S-圆心角为四，天坛中剩余部

分扇形的面积为品，圆心角为生，（a＜生）当加与邑的比值为年！。0.618时，则裁剪出来的扇形看上去

较为美观，那么（）

A.ax«137.5°B.四k127.5,

at_x/5-1

C.a2=(>/5-1)^D.

a-,2

31.（2020秋•福建福州•高三福建省福州华侨中学校考阶段练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨

落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时

返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距高）为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船

底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.

时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m

0：005.09：0()2.518：005.0

3：007.512：005.021：002.5

6：005.015：007.524：005.0

若选用一个三角函数/（X）来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（）

A./（A）=2.5COS会）+5B./（x）=2.5sinex）+5

C.该货船在2：0（）至4：（X）期间可以进港D.该货船在13：0（）至17：（）0期间可以进港

32.（2022秋.福建莆田.高三莆田第五中学校考阶段练习）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯

音合成的.已知纯音的数学模型是函数y=Asin创.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个

复合音的数学模型是函数.f"）=sinx+；sin2x,则（）

A.“X）的最大值为,B.2无为/（力的最小正周期

C.为y=/3曲线的对称粕D.（兀,0）为曲线尸〃工）的对称中心

33.（2022春•辽宁葫芦岛•高一统考期末）几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.底与

腰之比为黄金分割比（与的黄金三角形是“最美三角形"，即顶角为36。的等腰三角形.例如'

中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的.如图，将五角星的五个顶点相连，记

正五边形八8。£的边长为正五边形AAGA居的边长为6,/cs=a,则下列结论正确的是（）

24

hV5-1

B.

b3-75

C.丁丁

D.对任意的6eR,cose+cos(9+2a)+cos(e+4a)+cos(8+&if)+cos(e+&r)=。

三、填空题

34.（2023・全国•高三专题练习）我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四

而一”（注：宛田，扇形形状的田地：径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的

公式为：扇形面=萼包.现有一宛田的面积为I,周为2,则径是__________.

4

35.（2022・全国•高三专题练习）2022年北京冬奥会闭幕式上，呈现了大雪花（火炬）被中国结紧紧包裹的

画面，体现了中国“世界大同，天下一家'’的理念，数学中也有类似“包裹”的图形.如图，双圆匹边形即不仅

有内切圆而且有外接圆的四边形，20世纪80年代末，国内许多学者对双圆四边形进行了大量研究，如：边

长分别为。，b,c,d的双圆四边形，则其内切圆半径r=方，外接圆半径

a+b+c+d

R2='•竽现有边长均为i的双圆四边形，则R-r=_________.

16abed

36.（2022秋・浙江金华•高・浙江金华第•中学校联考期末）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，

在另两个顶点间作•段瓠，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、

机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛二

角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧A6的长度为2"，则该勒洛三角形的面积是.

37.（2022・全国•高三专题练习）《后汉书•张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，

合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有

蟾蛛，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有池动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蛇衔之.

振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面;乃知震之所在.验之以事，合契若神."如图，

为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的46两地各放置一个地动仪，6在A的东偏北60。方向，若

A地动仪正东方向的铜丸落下，8地东南方向的铜丸落下，则地宸的位置在A地正东km.

38.（2022秋•河南•高二校联考期末）台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，

设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，英选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需

经过边8C,CD两次反弹后击打目标球N,点M到CD3C的距离分别为200cm,60cm,点N到CDBC的

距离分别为80cm,120cm,将M,N看成质点，本球在M点处，若击打成功，贝Ijtan6=.

39.（2021秋•山东临沂•高一临沂第四中学校考期末）2020年12月4日,我国科学家宣布构建了76个光子

（量子比特）的量子计算原型机“九章“九章”得名于我国古代的数学名著《九章算术》，书中有一个“引葭

赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意

思为“今有水池1丈见方（即。=10尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为I尺.将芦苇向池岸牵

引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.设6=N84C,则tang的值为.

40.（2021秋・安徽六安•高三六安一中校考阶段练习）斯特瓦尔特（Stewart）定理是由18世纪的英国数学家

提出的关于三角形中线段之间关系的结论.根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设△A8C中，内角A、B、

。的对边分别为〃、b、。，点。在边8C上，且丝=%,则在》='汕-一丁竺白.已知△ZBC中，

内角A、B、C的对边分别为“、b、c,Z?=2c=4,asinB+bbcosAuO,点。在BC上，巨△4BO的面

积与△ADC的面积之比为2,则,4£>=.

41.（2022春・全国•高一期末）克罗狄斯・托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理,其

中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补

时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆。的直径为2,4为直径延长线上的一点，0A=2,B为

半圆上一点，以A8为一边作等边三角形ABC,则当线段0C的长取最大值时，ZAOC=

42.（2023・全国•高三专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济乂环保.明朝科学家徐

光后在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，荷车上的每一

个盛水筒都做匀速圆周运动如图2,将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时

120秒，当/=0时，盛水筒M位于点兄（3,-3\/5）,经过/秒后运动到点P（x,y），点P的纵坐标满足

），=/"）=Rsin（.+e），A0,<y>0,|w|<、），则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为

图1图2

43.（2022春•湖南•高-•校联考期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑・波拿巴最早提出的一个几何定理：

“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另•个等

边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在aABC中，已知48=30。，且/W=G-1,现

以BC,AC,A4为边向外作三人等边三角形，其外接圆圆心依次记为4,3,C,则-A8C的面积最

大值为.

44.（2022秋•江苏常州•高三校联考阶段练习）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的

名字命名.对而言，若其内部的点尸满足4PB=N8PC=NC%=120，则称P为ABC灼费马点.在

A8C中，已知NB4C=45,设P为48c的费马点，且满足NPBA=45°，PA=4.则的外接圆半

径长为.

45.（2022秋・辽宁沈阳•高三校联考阶段练习）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民

间艺术之一.如图，纸片为一圆形，直径A8=20cm,需要剪去四边形CEG。，可以经过对折、沿。

裁剪、展开就可以得到.

已知点C在圆上且40=10。口,/反刀=30".要使得镂空的四边形CECQ面积最小，的长应为cm.

四、解答题

46.（2022春・广东广州•高一校联考期中）仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深

震撼我们凡俗的心灵.流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测.古希腊亚里士多德说，那是地球上

的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象.10世纪波斯著名数学家、天文学家

阿尔・库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度.如图，假

设地球是一个标准的球体，。为抱球的球心，48为地平线，有两个观测者在地球上的A,8两地同时观测

到一颗流星S,观测的仰角分别为/SA7）=a,ZSBD=J3,其中，ND4O=/功。=90。，为了方便计算，

我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的A,。两点测得a=30。，，=15。，地球半径为R公里，

R

两个观测者的距离AB=彳乃.（参考数据：1.73，x/2^27«1.5）

（1）求流星S发射点近似高度ES；

（2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，己知对流层高度大约在

18公里左右，若地球半径Ry6370公里，请你据此判断该流星S是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由.

47.（2022春・江苏苏州•高•吴县中学校考期中）下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者

动态几何画板GeogBra做出来的图片，其中四边形ABCD,AEFG,PQ8E都是正方豚如果改变图⑴中NE4B

的大小会得到更多不同的“树形

D

(1)在图(i)中，AB=2,AE=6且AEJ_48,求A。的值；

(2)在图(ii)中，48=2,AE=6设/£48=。(0<0<乃)，求的最大值.

48.(2022・全国•高一专题练习)成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该

赛道的平面示意图为如图的五边形AHSE,根据自行车比赛的需要，需预留出AC,两条服务车道(不

考虑宽度)，DC,CB,BA,AE,ED为赛道,ZA8C=NA£Q=§,=f,8C=2Q(km),。。=4应(km).注:

34

km为千米.

3

(1)若cos/C4力=1,求服务通道A。的长;

(2)在(1)的条件下，求折线赛道的最长值(即AE+ED最大).(结果保留根号)

49.(2022•河北张家口•统考三模)"费马点''是由十七世纪法国业余数学家之王费马提出并征解的一个问题，

该问题是指在位于三角形内找一个到三角形三个顶点距离之和最小的点.由当时意大利数学家托里拆利给出

解答，当三角形三个内角均小于120。时，"费马点''与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周知，即该

点所对的三角形三边的张角相等且均为120。；当三角形有一内角大于或等于120。时，所求点为三角形最大

内角的顶点.在二A8C中，NA、N3、/C的对边分别为久〃、c,且2/,b2,/成等差数列，/8=60。.

(I)证明：卅是直角三角形；

(2)若。是“的“费马点”，。=2.设OA=x,OB=y,OC=z,求x+N+z的值.

专题03三角函数专题（数学文化）

一、单选题

1.（2022春•黑龙江齐齐哈尔・高一齐齐哈尔市第八中学校校考开学考试）屏风文化在我国源

远流长，可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环

弧长为2.4m,内环弧长为0.6m,径长（外环半径与内环半径之差）为0.9m,若不计外框，

则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（）

A.1.20nfB.1.25nrC.1.35nrD.1.40nr

【答案】C

【解析】设扇环的圆心角为a，内环半径为小外环半径为根据题设可得弓-4=09和

研/+幻=3,从而可求扇环的面积.

【详解】设扇环的圆心角为夕，内环半径为弓，外环半径为弓，则4-4=。-9,

由题意可知，aq=0.6,=2.4,所以a（q+/0=3,

所以扇环内需要进行工艺制作的面枳的估计值为

S=ga（看_/）=ga（4+4）（弓一耳）=-x3x0.9=1.35m2.

2

故选：C.

2.（2021秋・湖南娄底•高三校考阶段练习）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立.

甲行率-匕乙行率三,乙东行.甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？''大意是说:

已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/秒，乙的速度为3步/秒，乙一直向

东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇.甲、乙各走了多少步？

（）

A.20,8B.24,10

C.10.5,24.5D.24.5,10.5

【答案】D

【分析】根据题目信息画出示意图，假设甲、乙相遇时经过时间为，秒，每步走〃米，分别得

到AC=3s,=^0=(7/-10k/,再在直角三角形中利用勾股定理求解相遇时经过

的时间，从而得到甲乙相遇时，甲、乙各走的步数.

【详解】由题意，得到示意图如图所示，甲、乙从4点出发，甲走到B处后，又斜向北偏东

某方向走了•段后与乙相遇，即在。点相遇，假设甲、乙相遇时经过时间为，秒,每步走。米,

则AC=3心，AB=\0u,BC-(7t-\0)a

在RtABC中，AC2+AB2=BC2,

即(3⑺2+(]o«)2=[(7r-10)«]2,

解得：，=g,

4921

故甲走了，=丁=24.5步，乙走了3f=:~=10.5步.

22

故选：D.

【点睛】解三角形应用题的一般步骤：

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，埋清量与量之间的关系.

⑵根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.

⑶根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.

3.(2021•河南许昌・校联考一模)某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地

测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被

测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当物体横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生

频移人=把警，其中-为测速仪测得被测物体的横向速度，4为激光波长,为。两束探

测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长

A=1600nm(lnm=测得某时刻频移fp=9.0x10’(1/h),则该时刻高铁的速度约等

于()

A.360km/hB.340km/hC.320krrVhD.3(X)knVh

【答案】A

【分析】由已知函数关系知1，=：^仁，结合已知及示意图求出sin*,代入求值即可.

2sin°

2f.0.020.02

【详解】由题设知：而sm°=卜m=、，=/inna'则尤=1-6、10.6m.

2sin*+（0.02厂V1.0004

1.6xl0^x9.0xl091.44X104XV1.0004

V=------------------------々3.6x10'ni/h

c0.020.04BPv«360km/h.

2x.

V1.0004

故选：A.

4.（2021・全国•高三专题练习）音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807

年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如），=人sin”我的简单正弦型函数

之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频密的整数倍，比如用小提琴演奏的某

音又的声音图象是由下图1,2,3三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音义的声音函数可

以为（）

A./(r)=0.06sin1000^4-0.02sin1500^7+0.01sin3000^

B./(/)=0.06sin500m+0.02sin2000加+0.01sin300"

C./(f)=0.06sinl(XX)R+0.02sin2(XX)R+().()lsin30(X)R

D./(r)=0.()6sin100()R+0.02sin25(X)m+0.01sin3(XXkr

【答案】C

【分析】由图i求出A、r、。的值，写出对■应函数的解析式，再结合选项得出函数/⑴的

解析式.

2____

【详解】解:由图1知,>4=0.()6,=

T566-566-566

所以3=彳=1(NXH,所以y=o.()6sin1(KX)m；

结合题意知，1^1S/(0=0.06sinI(XX)^/+0.02sin2(XXU/+0.0Isin3000^/.

故选：C.

5.(2022春.陕西汉中•高一统考期中)第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥

运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事.2月5日，在北京冬奥会短道跑道速滑混合接

力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌，这也是中国代表团在本届冬奥会上

赢得的首枚金牌.短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速

运动.如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m，直道长为28.85m.若

跑道内圈的周长等于半径为27.78m的扇形的周长，则该扇形的圆心角为(参考数据：取

17乃=53.42)()

跑道

跑道

卜------------60m-------------

A.—B.-C.2D.T

23

【答案】C

【分析】先计算出跑道内置的周长，利用扇形的弧长公式即可求得扇形的圆心角.

【详解】由题意得跑道内圈的周长为2万x8.5+28.85x2=U1.12m,所以该扇形的圆心角为

111.12-2x27.78.

27.78

故选：C

6.(2022・全国•高三专题练习)我国南宋著名数学家秦九韶发现了己知三角形三边求三角形

面积的方法，他把这种方法称为''三斜求积"：以斜幕并大斜塞减中斜幕，余半之，自乘于上，

以小斜嘉乘大斜累减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.在他的著作《数书九章》

卷五'‘田域类”里就有已知三边求三角形面积的问题，该问题翻译成现代汉语就是：一块三角

形田地，三边分别为13,14,15,则该三角形田地的面积是()

A.84B.168C.79D.63

【答案】A

【分析】根据“三斜求积''可得三角形面积公式为S=。膏一（二十7],代入数值计

算可得；

【详解】解：依题意设乂8c的内角A,B,。的对边分别为b,c^a>h>c,则三

角形面积公式为S=从）J乂〃=15,6=14,c=l3,所以

S=E15:X13!-62+1；-小=84

故选：A

7.（2022•全国•高一假期作业）铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十

三级，抗R战争中被R军.E机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆