2章 刚体的定轴转动

第三章1刚体力学基础2第2章刚体的定轴转动本章内容：2.1定轴转动的描述2.2转动动能转动惯量2.3力矩转动定律2.4力矩的功转动动能定理2.5动量矩动量矩守恒定律教学基本要求

一

理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.

二

理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理.

四

理解动量矩概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的动量矩守恒问题.

能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题.

三理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律4刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体．(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组．)刚体的运动形式：平动、转动．⑴刚体是理想模型⑵刚体模型是为简化问题引进的．说明：什么是刚体？5刚体平动质点运动

平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同．特点：各点运动状态一样，如：等都相同．6质心的概念板上C点的运动轨迹是抛物线，C点是板的质心。其余点的运动=随C点的平动+绕C点的转动。ccccccc7转动：分定轴转动和非定轴转动刚体的平面运动

8刚体的一般运动可看作：随质心的平动绕质心的转动+的合成2.1定轴转动的描述一、

转动平面刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动,而刚体转动时,如果转轴固定不动,称为定轴转动。过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称为转动平面。刚体作定轴转动时，所有的点都具有相同的角速度和角加速度,在相同的时间内有相等的角位移。但是位移、速度和加速度却不相等。10角坐标二、

描述刚体绕定轴转动的角量(运动学方程)角速度角加速度zIIIP

(1)刚体上每一质点均作圆周运动，运动圆面为转动平面；(2)任一质点运动的角量相同,但不同。刚体定轴转动的特点

角速度ω的方向由右手定则确定。规定：逆时针转动,θ>0,ω沿转轴向上,ω>0。顺时针转动,θ<0,ω沿转轴向下,ω<0。刚体作定轴转动时,角速度与角加速度的方向12角加速度β的方向用正负表示。ω1Δω>0β>

0ω1Δω<0β<0设ω1,ω2

同向，Δω=ω2-ω1

。加速转动ω2ω2减速转动当

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比匀变速转动公式14绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度

（角量与线量的关系）Mω,β刚体

θzOrM任意点都绕同一轴作圆周运动,且

，

都相同15例1一飞轮的半径为0.2m,转速为150转／分,经30s均匀减速后停止。求:(1)角加速度和飞轮转的圈数。

(2)t=6s时的角速度;飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。解：（1）16飞轮在30s内转过的角度为：飞轮在30s内转过的圈数为：17线速度：切向加速度：法向加速度：飞轮边缘上一点(半径为0.2m)

求:

(2)t=6s时的角速度;飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。(2)t=6

s

时的角速度：()18z

O的动能为P•2.2转动动能转动惯量一、

绕定轴转动刚体的动能19刚体的总动能结论绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半。

转动惯量20刚体质量不连续分布刚体质量连续分布(1)总质量；(2)质量分布；(3)转轴的位置。二、

转动惯量确定转动惯量的三个要素r

物理意义：转动惯性的量度.

对质量线分布的刚体：：质量线密度

对质量面分布的刚体：：质量面密度

对质量体分布的刚体：：质量体密度：质量元

质量连续分布刚体的转动惯量221.J

与刚体的总质量有关

例如,等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量。LzOxdxM232.J

与质量分布有关例如,圆环绕中心轴旋转的转动惯量。dlOmR24例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量。ROmrdr哪种握法转动惯量大？3.J

与转轴的位置有关26OLxdxMzLOxdxMzJ

与转轴的位置有关4.平行轴定理zLCMz'刚体绕任意轴的转动惯量；刚体绕通过质心的轴的转动惯量；两轴间垂直距离。P圆盘对P轴的转动惯量O28几种常见形状的刚体的转动惯量29竿子长些还是短些较安全？

飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？31一、

力矩2.3力矩转动定律力改变质点的运动状态质点获得加速度力矩改变刚体的转动状态

刚体获得角加速度hA

(力不在垂直于轴的平面内)(力F在垂直于轴的平面内)1.力F对z轴的力矩力臂O322.力对点的力矩O.大小

指向由右螺旋法则确定力对定轴力矩的矢量形式（力对轴的力矩只有两个指向）A33作用在上的外力，内力在圆轨迹切线方向两边乘以rk，并对整个刚体所有质元求和二、

转动定律fkrkzFk34其中称为合外力矩；

，称为刚体对z轴的转动惯量。内力矩之和为零；则或35刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作用在刚体上所有外力对该轴力矩的代数和。刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。

刚体的转动定律36

两个定律在形式上对应,都是反映瞬时效应的。

(2)m反映质点的平动惯性，J则反映刚体的转动惯性。(1)转动定律与牛顿第二定律比较：讨论37应用刚体转动定律解刚体定轴体转动问题的方法和步骤：1、选取研究对象，采用隔离法，把研究对象从一切和它有牵连的其他物体中“隔离“出来。称之为隔离体。2、选取坐标系，这是一个重要的步骤，坐标选取正确，可使运算简化。3、分析受力情况，画出受力图。找出力矩。4、列方程求解。根据坐标系，用牛顿第二定律（对质点）、和转动定律（对刚体）分别写出研究对象的运动方程，方程采取投影式。还应写出必要的辅助方程。三、

转动定律的应用举例38(1)飞轮的角加速度。求:例1一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计。(2)如以重量P=98N的物体挂在绳端,试计算飞轮的角加速度。39解(1)(2)两者区别?40例2一定滑轮质量为m，半径为r,不能伸长的轻绳两边分别系m1

和m2

的物体挂于滑轮上,m1>m2,绳与滑轮间无相对滑动。设轮轴光滑无摩擦,滑轮的初角速度为零。求:滑轮转动角速度随时间变化

的规律。41解:以m1,m2,m为研究对象,受力分析滑轮m：m1：m2：42一、

力矩的功

O根据功的定义（力矩做功的微分形式）对一有限过程若

M=C力的累积过程——力矩的空间累积效应•.P2.4

力矩的功转动动能定理43(2)力矩的功就是力的功。(3)内力矩作功之和为零。(1)合力矩的功(4)力矩的功率力矩的功率可以写成力矩与角速度的乘积。讨论44元功二、

转动动能定理——合力矩功的效果45对于一有限过程即

绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理46(3)刚体动能的增量，等于外力的功。(2)刚体的内力做功之和为零。(1)质点系动能变化取决于所有外力做功及内力做功。讨论(3)刚体动能的增量，等于外力的功。47例

长为

l,质量为m

的均匀细直棒，可绕轴O

在竖直平面内转动,初始时它在水平位置。解由动能定理求它由此下摆

角时的

。Olm

Cx48此题也可用机械能守恒定律方便求解。而Olm

Cx49动量矩(角动量)的引入：但是在质点的匀速圆周运动中,动量

不守恒。2.5

动量矩动量矩守恒定律50例子:开普勒行星运动定律的面积定律:

实例都说明是一个独立的物理量。再考虑到行星的质量m为恒量，行星在相等的时间内扫过相等的面积。51开普勒第二定律(面积定律):行星在相等的时间内扫过相等的面积。52

在描述行星的轨道运动,自转运动,卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。因此,必须引入一个新的物理量—动量矩L,来描述这一现象。

卫星地球+531.质点的动量矩(对O点)

质量为的质点沿任意曲线在空间运动,某时刻速度，相对原点O的位矢为,则质点相对于原点的动量矩大小：方向:符合右手螺旋法则。一、

质点的动量矩动量矩定理(1)质点的动量矩与质点的动量及位矢有关(取决于固定点的选择)。(2)在直角坐标系中的分量式讨论55(3)特例：当质点作圆周运动时：质点以角速度ω

作半径为r

的圆运动，相对圆心的动量矩的大小kgm2/s(5)单位:(4)动量矩的定义并没有限定质点只能作曲线运动而不能作直线运动。可推广至绕定轴转动刚体的动量矩56例1一质点m，某时刻速度为v，如图，A、B、C分别为三个参考点,此时m相对三点的距离分别为d1、d2、d3求

此时刻质点对三个参考点的动量矩md1d2

d3ABC解57已知2.质点的动量矩定理58——质点动量矩定理的微分形式。作用在质点上的力矩等于质点动量矩对时间的变化率。此即质点对固定点的动量矩定理。——质点动量矩定理的积分形式。积分，得冲量矩59质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量。说明冲量矩是质点动量矩变化的原因。质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果。60已知质点动量矩定理——质点动量矩守恒定律。则3.质点动量矩守恒定律61(3)自然界普遍适用的一条基本规律。(2)向心力的动量矩守恒。(4)质点对轴的动量矩守恒定律:

若Mz=0,则Lz=常数。即若力矩在某轴上的分量为零(或力对某轴的力矩为零)，则质点对该轴的动量矩守恒。(1)守恒条件讨论M

Omv1mv262当飞船静止于空间距行星中心4R时，以速度v

0发射一

求

θ角及着陆滑行时的速度多大？解引力场（有心力）质点的动量矩守恒系统的机械能守恒例2发射一宇宙飞船去考察一质量为M

、半径为R的行星.质量为m的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面63

二、

刚体绕定轴转动情况下的动量矩定理和动量矩守恒定律1.刚体定轴转动的动量矩

O质点对Z轴的动量矩…

O刚体上任一质点对Z轴的动量矩为且刚体上任一质点对Z轴的动量矩具有相同的方向(所有质元对Z

轴的动量矩之和)642.刚体定轴转动的动量矩定理对定轴转动刚体，Jz为常量。——刚体定轴转动的动量矩定理微分形式或65刚体定轴转动中,动量矩定理与转动定律的关系

刚体定轴转动的转动定律实质是动量矩定理沿固定轴方向分量式的一种特殊形式。66定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量。刚体定轴转动

动量矩定理积分形式:刚体，J

不变非刚体，J

改变时讨论67对定轴转动刚体动量矩L不变的含义:刚体:J不变,则

不变。非刚体:因J可变,则J

乘积不变。变形体绕某轴转动时,若mk则变形体对该轴的动量矩3.刚体定轴转动的动量矩守恒定律若动量定理动量矩定理力力矩动量动量矩力的冲量力矩的冲量或冲量矩Review比较自然界中存在多种守恒定律

动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等刚体组起跳空中入水初动量矩身体打开竖直入水蜷曲身体迅速翻转动量矩守恒举例刚体对转轴的动量矩守恒定律在荡秋千时，如何才能荡得更高？滑冰时的旋转722025/8/28猫掉下，四脚朝天，脊背朝地猫下落的力学原理？

会摔死刚体对转轴的动量矩守恒定律动量矩保持不变大小转轴方向（动量矩方向）陀螺仪作为罗盘仪应用于航空、航天、航海等。飞机状态指示仪遥控直升飞机mm刚体对转轴的动量矩守恒定律激光陀螺仪、微机械（MEMS）陀螺仪……MEMS陀螺仪水平感应仪75例3

一均质棒,长度为L,质量为M,现有一子弹在距轴为y处水平射入细棒,子弹的质量为m,速度为v0

。求:

子弹细棒共同的角速度

。解:其中子弹、细棒系统的动量矩守恒m

O76例4质量为M、半径为R的转盘，可绕铅直轴无摩擦地转动。转盘的初角速度为零。一质量为m的人，在转盘上从静止开始沿半径为r的圆周相对转盘匀速走动，如图所示。求当人在转盘上走一周回到盘上的原位置时，转盘相对于地面转过了多少角度。解

以人和转盘组成的系统为研究对象,人相对转盘的速度为vr，转盘相对于地面的角速度为ω,则人相对地面的速度为vr+r

ω。77系统对轴的动量矩守恒，即

设在时间内，盘相