综合解析人教版8年级数学下册《平行四边形》综合测试试题（含解析）

人教版8年级数学下册《平行四边形》综合测试考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知直线，点P在直线l上，点，点，若是直角三角形，则点P的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2、如图，点E是长方形ABCD的边CD上一点，将ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点，若AD＝10，AB＝8，那么AE长为（）A．5 B．12 C．5 D．133、如图菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝8，AC＝6，则AB的长是（）A．5 B．6 C．8 D．104、如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是（）A．5 B．2 C． D．5、将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若＝10°，则∠EAF的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题6分，共计30分）1、正方形的对角线长为cm，则它的周长为__________cm．2、如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AB＝x，点E在边CD上，且CEx，将BCE沿BE折叠，若点C的对应点落在矩形ABCD的边上，则x的值为_______．3、如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，点D是AC边上的一点，连接BD，把△CBD沿着BD翻折，点C落在AB边上的点E处，得到△EBD，连接CE交BD于点F，BG为△EBD的中线．若BC=4，△EBG的面积为3，则CD的长为____________4、如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为_____．5、如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC是格点三角形，点D为AC的中点，则线段BD的长为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；（2）若∠AFC=2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．2、如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O．求证：四边形AECF是菱形．（小海的证明过程）证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，OE＝OF，EF⊥AC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．（老师评析）小海利用对角线互相平分证明了四边形AECF是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了．（挑错改错）（1）请你帮小海找出错误的原因；（2）请你根据小海的思路写出此题正确的证明过程．

3、如图，在平行四边形ABCD中，，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：；（2）当时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于的2倍的所有角．4、（3）点P为AC上一动点，则PE+PF最小值为．5、如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，（1）如图1，求证：CD＝BE（2）如图2，过点A作AF⊥BE，写出AF，BD，CD之间的数量关系并说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】分别讨论，，三种情况，求出点坐标即可得出答案．【详解】如图，当时，点与点横坐标相同，代入中得：，，当时，点与点横坐标相同，，代入中得：，，当时，取中点为点，过点作交于点，设，，，，，，，，，在中，，解得：，，点有3个．故选：C．【点睛】本题考查直角三角形的性质与平面直角坐标系，掌握分类讨论的思想是解题的关键．2、C【解析】【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴，，，∵将△ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3、A【解析】【分析】由菱形的性质可得OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，由勾股定理求出AB．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，∴OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，在Rt△AOB中，由勾股定理得：，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．4、D【解析】【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO，∴BC==5，∴S菱形ABCD=，∵S菱形ABCD=BC×AE，∴BC×AE=24，∴AE=，故选：D．【点睛】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．5、A【解析】【分析】可以设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠可得∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，用α，β表示∠DAF＝10°+β，∠BAE＝10°+α，根据四边形ABCD是矩形，利用∠DAB＝90°，列方程10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，求出α+β＝30°即可求解．【详解】解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠性质可知：∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，∵∠B′AD′＝10°，∴∠DAF＝10°+β，∠BAE＝10°+α，∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB＝90°，∴10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，∴α+β＝30°，∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′，＝10°+α+β，＝10°+30°，＝40°．则∠EAF的度数为40°．故选：A．【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．二、填空题1、16【解析】【分析】根据正方形对角线的长，可将正方形的边长求出，进而可将正方形的周长求出．【详解】解：设正方形的边长为x，∵正方形的对角线长为cm，∴，解得：x=4，∴正方形的边长为：4（cm），∴正方形的周长为4×4=16（cm）．故答案为：16．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的性质．2、或【解析】【分析】分两种情况进行解答，即当点落在边上和点落在边上，分别画出相应的图形，利用翻折变换的性质，勾股定理进行计算即可．【详解】解：如图1，当点落在边上，由翻折变换可知，，，在△中，由勾股定理得，，，在中，由勾股定理得，，即，解得，或（舍去），如图2，当点落在边上，由翻折变换可知，四边形是正方形，，，故答案为：或．【点睛】本题考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质以及勾股定理是解决问题的前提．3、【解析】【分析】由折叠的性质可得，，，，由勾股定理可得，，根据题意可得，，求得的长度，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得，，，，∴为等腰直角三角形，为的中点，∴由勾股定理可得，∴∵BG为△EBD的中线，△EBG的面积为3∴，解得∴由勾股定理得：故答案为：【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理以及直角三角形的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．4、【解析】【分析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，推出四边形A′B′CD是平行四边形，得到A′D＝B′C，于是得到A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，根据平移的性质得到点A′在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，求得DE＝CD，得到∠E＝∠DCE＝30°，于是得到结论．【详解】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，如图，过点D作DH⊥EC于H，∴，，∴,∴CE＝2CH＝，故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．5、##【解析】【分析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：，，，，∴∠ABC＝90°，∵点D为AC的中点，∴BD为AC边上的中线，∴BD＝AC，故答案为：【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出△ABC是直角三角形是解题的关键．三、解答题1、（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可；（2）由（1）得的结论得四边形ABEC是平行四边形，再通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，可得结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴，AB=CD，∵CE=DC，∴AB=EC，，∴四边形ABEC是平行四边形；（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，∴FA=FE，FB=FC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D．又∵∠AFC=2∠ADC，∴∠AFC=2∠ABC．∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF，∴FA=FB，∴FA=FE=FB=FC，∴AE=BC，∴四边形ABEC是矩形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形，再通过角的关系证矩形．2、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由垂直平分线的性质可求解；（2）由“”可证，可得，且，，由菱形的判定可证四边形是菱形．【详解】解：（1）是的垂直平分线，，，不能得出；（2）四边形是平行四边形，．是的垂直平分线，，，且，，且四边形是平行四边形．四边形是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用线段垂直平分线的性质．3、（1）证明见解析；（2）【分析】（1）先证明再证明从而可得结论；（2）证明是等边三角形，再分别求解从而可得答案.【详解】证明（1）平行四边形ABCD中，，点E、F分别是BC、AD的中点，（2），是等边三角形，四边形是平行四边形，而，所以等于的2倍的角有：【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，证明“是等边三角形”是解（2）的关键.4、【分析】（1）根据折叠的性质可得：∠1=∠2，再由矩形的性质，可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，即可求解；（2）设FD=x，则AF=CF=8-x，再由勾股定理，可得DF=3，从而得到CF=5，即可求解；（3）连接PB，根据折叠的性质可得△ECP≌△BCP，从而得到PE=PB，进而得到当点F、P、B三点共线时，PE+PF最小，最小值为BF的长，再由勾股定理，即可求解．【详解】（1）解：△ACF是等腰三角形，理由如下：如图，由折叠可知，∠1=∠2，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AF=CF，∴△ACF是等腰三角形；（2）∵四边形ABCD是矩形且AB=8，BC=4，∴AD=BC=4，CD=AB=8，∠D=90°，设FD=x，则AF=CF=8-x，在Rt△AFD中，根据勾股定理得AD2+DF2=AF2，∴42+x2=（8-x）2，解得x=3，即DF=3，∴CF=8-3=5，∴；（3）如图，连接PB，根据折叠得：CE=CB，∠ECP=∠BCP，∵CP=CP，∴△ECP≌△BCP，∴PE=PB，∴PE+PF=PE+PB，∴当点F、P、B三点共线时，PE+PF最小，最小值为BF的长，由（2）知：CF=5，∵BC=4，∠BCF=90°，∴，即PE+PF最小值为．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，等腰三角形的判定，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．5、（1）证明见解析；（2）BD=CD+2AF，理由见解析【分析】（1）延长BA与CD的延长线交于点G，先证明△ABE≌△ACG得到BE=CG，由BD是∠ABC的角平分线，得到∠GBD=∠CBD，即可证明△BDG≌△BDC得到CD=GD，则；（2）如图所示，连接AD，取BE中点H，连接AH，由直角三角形斜边上的中线等于斜