0022高等数学综合试题及答案

0022高等数学综合试题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.下列函数中，在x=0处连续的是（）。（A）f(x)={1/x,x≠0;0,x=0}（B）f(x)={x^2,x≤0;1/x,x>0}（C）f(x)={sin(1/x),x≠0;0,x=0}（D）f(x)={1,xrational;0,xirrational}2.函数f(x)=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值点是（）。（A）-2（B）-1（C）1（D）23.函数y=ln(x^2+1)在区间(0,1)内的二阶导数y''等于（）。（A）-2/(x^2+1)（B）2/(x^2+1)（C）-2x/(x^2+1)^2（D）2x/(x^2+1)^24.若函数y=f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2，则当x在x0附近变动时，函数增量Δy约等于（）。（A）2（B）f'(x0)Δx（C）Δx（D）2Δx5.广义积分∫[1,+∞)1/(xln^2x)dx的值等于（）。（A）1（B）-1（C）+∞（D）收敛，但不等于1,-1,或+∞二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填在题中横线上。）6.极限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2=________.7.曲线y=x^3-3x^2+2在点(2,0)处的切线方程为________.8.若函数f(x)满足f'(x)=1/x^2+lnx，且f(1)=0，则f(x)=________.9.不定积分∫xsec^2(x^2)dx=________.10.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=________.三、计算题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）11.计算极限lim(x→∞)(sqrt(x^2+x)-x).12.计算不定积分∫(x^2+1)/(x^2-1)dx.13.求函数y=x^2*e^-x的极值。14.计算定积分∫[0,π/2]xsinxdx.四、证明题（本题共2小题，每小题7分，共14分。）15.证明方程x^3-3x+1=0在区间(0,2)内至少有一个实根。16.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。证明：存在ξ∈(a,b)，使得(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(ξ).试卷答案一、单项选择题1.(C)2.(D)3.(D)4.(D)5.(A)二、填空题6.1/27.y=-2x+48.1-x+xlnx9.1/2sec^2(x^2)+C10.0三、计算题11.解：原式=lim(x→∞)[sqrt(x^2+x)-x]*[sqrt(x^2+x)+x]/[sqrt(x^2+x)+x]=lim(x→∞)(x^2+x-x^2)/[sqrt(x^2+x)+x]=lim(x→∞)x/[sqrt(x^2+x)+x]=lim(x→∞)1/[sqrt(1+1/x)+1]=1/(sqrt(1+0)+1)=1/212.解：∫(x^2+1)/(x^2-1)dx=∫[(x^2-1+2)/(x^2-1)]dx=∫[1+2/(x^2-1)]dx=∫1dx+2∫[1/(x-1)-1/(x+1)]dx=x+2[ln|x-1|-ln|x+1|]+C=x+2ln|(x-1)/(x+1)|+C13.解：y'=(2x-x^2)e^-x=x(2-x)e^-x令y'=0，得x=0或x=2。当x<0时，y'<0；当0<x<2时，y'>0；当x>2时，y'<0。因此，x=0为极小值点，x=2为极大值点。极小值y(0)=0^2*e^0=0。极大值y(2)=2^2*e^-2=4/e^2。14.解：∫[0,π/2]xsinxdx=-∫[0,π/2]xd(cosx)=-[xcosx|_[0,π/2]-∫[0,π/2]cosxdx]=-[π/2*cos(π/2)-0*cos(0)-sinx|_[0,π/2]]=-[0-(sin(π/2)-sin(0))]=-(0-(1-0))=-(-1)=1.四、证明题15.证明：令f(x)=x^3-3x+1。f(x)在[a,b]上连续，则在[0,2]上连续。f(0)=0^3-3*0+1=1。f(2)=2^3-3*2+1=8-6+1=3。f(0)=1，f(2)=3。若存在ξ∈(0,2)使得f(ξ)=0，则方程在(0,2)内至少有一个实根。现要证存在ξ∈(0,2)使得f(ξ)=0。考虑f(0)=1，f(2)=3。要证f(ξ)=0，需找区间[a,b]⊂(0,2)，使得f(a)f(b)<0。令f(x)=x^3-3x+1，求导f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。在(0,2)内，f'(x)>0，说明f(x)在(0,2)内单调递增。单调递增函数在其定义域内最多只有一个零点。已知f(0)=1>0，f(2)=3>0。若在(0,2)内无零点，则f(x)>0对所有x∈(0,2)成立。但f(1)=1^3-3*1+1=-1<0。这与f(x)>0对所有x∈(0,2)成立矛盾。因此，方程f(x)=0在(0,2)内至少有一个实根。由介值定理，存在ξ∈(0,2)使得f(ξ)=0。16.证明：f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可