高一上学期期中复习八大题型归纳（基础篇）

高一上学期期中复习第二章八大题型归纳（基础篇）【人教A版（2019）】题型1题型1不等关系的建立1．（2023·全国·高一专题练习）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过72000cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（

）A．a+b+c<130且abc<72000 B．a+b+c>130且abc>72000C．a+b+c≤130且abc≤72000 D．a+b+c≥130且abc≥72000【解题思路】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”.【解答过程】由长、宽、高之和不超过130cm得a+b+c≤130，由体积不超过72000cm3得故选：C.2．（2023·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（

）A．4×x0.5<100 B．4×x0.5≥100【解题思路】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可求得答案.【解答过程】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为x0.5人在此时间内跑的路程为4×x0.5米，由题意可得故选：B．3．（2023秋·高一课时练习）（1）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，用不等式如何表示？（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？【解题思路】由不等式的表示方法解决.【解答过程】（1）由题意，直接用不等式表示可得v≤40.（2）由题意，直接用不等式表示可得f≥2.5%4．（2023·全国·高一专题练习）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，靠墙的一边长为xm.（1）若要求菜园的面积不小于110m2，试用不等式组表示其中的不等关系;（2）若矩形的长、宽都不能超过11m，试求x满足的不等关系.【解题思路】（1）由边长表示出面积，再由边长与面积的范围求解即可；（2）由长与宽的范围都不超过11m，求解即可【解答过程】（1）因为矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0<x≤18，这时菜园的另一边长为30-x2所以菜园的面积S=x15-x2，依题意有故该题中的不等关系可用不等式组表示为0<x≤18，（2）因为矩形的另一边长15-x2又0<x≤18，且x≤11，所以8≤x≤11.题型2题型2利用不等式的性质判断正误1．（2023秋·上海浦东新·高三校考开学考试）已知a>b>c>d，下列选项中正确的是（

）A．a+d>b+c B．a+c>b+dC．ad>bc D．ac<bd【解题思路】对于选项ACD，通过取特殊值即可排除，对选项B，利用不等式的性质可判断出选项是正确的，从而得出结果.【解答过程】对于选项A，因为a=3,b=2,c=1,d=−10，满足a>b>c>d，但不满足a+d>b+c，所以选项A错误；对于选项B，因为a>b,c>d，由不等性质，同向可加性知a+c>b+d成立，所以选项B正确；对于选项C，因为a=3,b=2,c=1,d=−10，满足a>b>c>d，但不满足ad>bc，所以选项C错误；对于选项D，因为a=3,b=2,c=1,d=0，满足a>b>c>d，但不满足ac<bd，所以选项D错误，故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）下列结论不正确的有（

）个①若ac<bc，则a<b

②若a2<b③若a>b，c<0，则ac<bc

④若a<bA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】依据不等式的性质结合特值验证法，依次判断即可.【解答过程】.①当c<0时，在不等式ac<bc两边同除以c,得a>b，故①错误；②令a=3，b=−4，满足a2<b③若a>b，不等式两边同乘以负数c，不等号方向改变，ac<bc成立，故③正确；④由0≤a<b，则a<b故选：C.3．（2023·全国·高一专题练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)如果c−a>c−b，那么a<b；(2)若ab>c，b>0，则a>c(3)若ac>bc，则a>b；(4)若a>b，c>d，则a−c>b−d．【解题思路】由不等式的性质判断（1）（2）成立，取特殊值判断（3）（4）不成立.【解答过程】(1)∵c−a>c−b，∴−a>−b，∴a<b，故成立.(2)∵ab>c，b>0,∴ab⋅1即a>c(3)取a=1,b=2,c=−1时，满足ac>bc，但是a>b不成立.(4)取a=1,b=0,c=3,d=−1，满足a>b，c>d，但是a−c>b−d不成立.4．（2023秋·高一单元测试）下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因.甲：因为6<a<8，4<b<2，所以2<ab<6.乙：因为2<b<3，所以13<1b<又因为6<a<8，所以2<ab丙：因为2<ab<4，所以4<ba<2.又因为2<a+b<2，所以0<a<3，3<b<0，所以3<a+b<3.【解题思路】根据不等式的性质逐一分析即可.【解答过程】甲同学做的不对.因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的.乙同学做的不对.因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道6<a<8.不明确a值的正负.故不能将13<1b<12与丙同学做的不对.同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形.丙同学将2<ab<4与2<a+b<2两边相加得0<a<3，又将4<ba<2与2<a+b<2两边相加得出3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出3<a+b<3，多次使用了这种转化，导致了a+b范围的扩大.题型3题型3由基本不等式比较大小1．（2023·全国·高一专题练习）已知a、b为正实数，A=a+b2,A．G≤H≤A B．H≤G≤AC．G≤A≤H D．H≤A≤G【解题思路】利用基本不等式计算出H≤G≤A.【解答过程】因为a、b为正实数，所以A=a+b2≥2H=1a+综上：H≤G≤A.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为V1，在逆水中的速度为V2V1≠V2A．V<V1+C．V>V1+【解题思路】求出平均速度V，进而结合基本不等式求得答案.【解答过程】易知V1则游船顺流而下的时间为1V1，逆流而上的时间为则平均速度V=2由基本不等式可得V≤221V1而根据题意V1≠V故选：A.3．（2023·高一课时练习）已知a,b,c∈(0,+∞)且a+b+c=1，试比较a2+b2+【解题思路】首先利用综合法，结合基本不等式，证得2a2+b2+c2⩾2ab+2ac+2bc【解答过程】∵a2+b∴a2+b①式两边分别加上a2+b2+②式两边分别加上2ab+2ac+2bc，得3(ab+bc+ca)⩽a2+综上，a2+b4．（2023秋·广东广州·高一校考期中）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油．(1)分别用m，(2)选择哪种加油方案比较经济划算？请你给出证明．【解题思路】（1）根据题意即得；（2）利用基本不等式即得.【解答过程】（1）由题可得第一种方案的均价为30m+30n第二种方案的均价为400200（2）因为m>0,n>0，m≠n，所以m+n2>mn所以m+n2>即第二种加油方案比较经济划算.题型4题型4利用基本不等式求最值（无条件）1．（2023秋·福建莆田·高三校考阶段练习）若x>−3，则2x+1x+3的最小值是（A．22+6 B．22−6 C．【解题思路】利用基本不等式即可得解.【解答过程】由x>−3，可得x+3>0，2x+1当且仅当2(x+3)=1x+3，即所以2x+1x+3的最小值为故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）已知0<x<2，则y=2x4−x2A．2 B．4 C．5 D．6【解题思路】利用基本不等式进行求解即可.【解答过程】因为0<x<2，所以y=2x4−当且仅当x2=4−x2时取等号，因为故选：B.3．（2023秋·高一单元测试）（1）若x>0，求x+4x的最小值，并求此时（2）若0<x<32，求【解题思路】（1）利用基本不等式可直接求得答案；（2）将4x(3−2x)化为2[2x(3−2x)]，利用基本不等式即可求得答案.【解答过程】（1）当x>0时，x+4当且仅当x=4x，即∴x+4xx>0（2）∵0<x<32，∴∴4x(3−2x)=2[2x(3−2x)]≤2⋅[当且仅当2x=3−2x，即x=3∵34∴4x3−2x0<x<34．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知x>0，求函数f(x)=x（2）已知x<54，求函数【解题思路】（1）化简函数解析式，利用基本不等式求其最大值；（2）换元，利用基本不等式求其最大值.【解答过程】（1）f(x)=xx2由基本不等式可得，x+4x≥2所以f(x)=1x+1+4所以当x=2时，函数f(x)=xx2（2）设4x−5=t，则x=t+5因为x<54，所以所以y=16所以y=t+3+1当且仅当t=−1时，等号成立，所以当x=1时，函数y=16x2题型5题型5利用基本不等式求最值（有条件）1．（2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知x>y>0且4x+3y=1，则12x−y+2A．10 B．9 C．8 D．7【解题思路】令a=2x−y,b=x+2y，结合4x+3y=1可得a+2b=1，由此即得12x−y【解答过程】由题意x>y>0得，2x−y>0,x+2y>0，令a=2x−y,b=x+2y，则a+2b=4x+3y，由4x+3y=1得a+2b=1，故1≥5+22b当且仅当2ba=2ab，结合也即2x−y=13,x+2y=故12x−y故选：B.2．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是（

）A．ab的最大值为8B．1a−1C．a+b有最小值3+D．a2【解题思路】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知ab≥8，所以A错误；将原式化成a−1b−2=2，即可得1a−1+2b−2=1a−1【解答过程】对于A选项，ab=2a+b≥22ab，即ab≥22当且仅当a=2,b=4时等号成立，故ab的最小值为8，A错误；对于B选项，原式化为a−1b−2=2,b=2aa−1>0，故a−1>0所以1a−1+2b−2=对于C选项，原式化为2b+1当且仅当a=2+1,b=2+2对于D选项，a2当且仅当a=1+2,b=2+2故选：B.3．（2023·全国·高一专题练习）已知a>0,b>0，且3a+7b=10．(1)求ab的最大值；(2)求3a【解题思路】（1）利用不等式xy≤x+y【解答过程】（1）我们首先来证明一个不等式xy≤x+y22：因为x−y所以不等式xy≤x+y22由题意a>0,b>0，且3a+7b=10，因此ab=1所以ab的最大值为2521，当且仅当3a=7b=5，即a=（2）因为3a+7b=10，所以根据“乘1法”并利用基本不等式可得3a所以3a+7b的最小值为4．（2023·江苏镇江·扬中市校考模拟预测）已知a>0，b>0.（1）若a+b=4，求12a+2b的最小值及此时（2）若2a2+b2=4a+4b，求（3）若a2+3b2+4ab−6=0，求5a+9b【解题思路】（1）根据12a（2）利用1a（3）由已知等式得a+3ba+b=6，根据【解答过程】（1）∵a+b=4，a>0，b>0，∴12a+2b=12a+∴当a=43，b=83时，（2）∵2a∴1a+1b=a+b∴当a=1+2，b=2+2时，1（3）∵a2+3∴5a+9b=2a+3b+3a+b≥26a+3ba+b∴当a=32，b=12时，题型6题型6一元二次不等式的解法1．（2023秋·高一课时练习）不等式ax2−(a+2)x+2≤0(a<0)A．2B．1C．−D．(−【解题思路】由一元二次不等式的解法求解．【解答过程】原不等式可化为a(x−2a)(x−1)≤0，而a<0y=ax故原不等式的解集为−故选：C.2．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|−A．{x|x≤−3或x≥−2} C．{x|−2≤x≤3} D．{x|x≤−【解题思路】首先根据根与系数的关系利用韦达定理求解系数a,b，然后解不等式即可；【解答过程】由不等式ax2+bx+1>0知−13,由根与系数的关系，得−13+所以不等式x2−bx+a≥0可化为x2−x−6≥0，解得：故不等式x2−bx+a≥0的解集为：故选：D.3．（2023·全国·高一专题练习）解不等式：(1)−x(2)x2(3)x+12−x【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法求解；（2）根据一元二次不等式的解法求解；（3）根据分式不等式的解法求解.【解答过程】（1）−x2+4x+5>0可化为x2−4x−5<0∴原不等式的解集为x∣−1<x<5.（2）x2∴原不等式的解集为x∣a−1≤x≤a+1.（3）x+1⇔∴原不等式的解集为x54．（2023秋·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式ax(1)若不等式的解集为x−2≤x≤−1，求a、b(2)若a<0，解不等式ax−2x+1【解题思路】（1）分析可知−2、−1是方程ax2+a−2x−b=0（2）将所求不等式变形为x−2ax+1≤0，对【解答过程】（1）解：原不等式可化为ax由题知，−2、−1是方程ax由根与系数的关系得a<0−a−2a（2）解：当a<0时，所以原不等式化为x−2当2a>−1时，即a<−2时，解原不等式可得当2a=−1时，即a=−2时，原不等式即为x+12当2a<−1时，即−2<a<0时，解得综上所述，当−2<a<0时，不等式的解集为x2当a=−2时，不等式的解集为−1；当a<−2时，不等式的解集为x−1≤x≤题型7题型7一元二次不等式的实际应用1．（2023·全国·高一专题练习）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P（单位：元/件）与月销售量x（单位：件）之间的关系为P=160−2x，生产x件的成本（单位：元）R=500+30x.若每月获得的利润y（单位：元）不少于1300元，则该厂的月销售量x的取值范围为（）A．20,45 B．20,45C．20,45 D．20,45【解题思路】根据题意，建立利润函数，列出不等式，可得答案.【解答过程】由题意，得y=xP−R=x160−2x−500+30x令y≥1300，得−2x2+130x−500≥1300∴x−20x−45≤0故选：D.2．（2023·全国·高一专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长x（单位：m）的取值范围是（

A．x15≤x≤20 B．C．x10≤x≤30 D．【解题思路】根据题意，由相似三角形将AF,FH表示出来，从而表示出S，然后求解不等式，即可得到结果.【解答过程】如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知DEBC=AF则AF=x，FH=40−x．所以矩形花园的面积S=x40−x解得10≤x≤30．故选:C．3．（2023秋·高一课时练习）某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400km，该热带风暴中心B以40km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？【解题思路】根据给定条件，建立坐标系，求出热带风暴中心B随时间变化的坐标，再列出一元二次不等式求解作答.【解答过程】如图，以A市为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，显然|AB|=400,∠BAx=30°，热带风暴中心B的坐标为(2003则xh后热带风暴中心B到达点P(2003依题意，当A市受热带风暴影响时，有|AP|≤350，即(2003整理得16x2−160x+375≤0，解得3.75≤x≤6.25所以在3.75h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5h.4．（2023秋·四川成都·高一校考开学考试）设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系:m=92x−14，n(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机?(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少?【解题思路】（1）通过解不等式m−（2）通过（1）可知当0<x<4时企业亏损，通过配方可知亏损额【解答过程】（1）解：依题意，m−n≥0整理得x2−2x−8≥0，解得x≥4∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机；（2）解：由（1）可知当0<x亏损额n−∴当x=1时，n−m此时m=即当月总产值为174万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为9题型8题型8三个“二次”关系的应用1．（2023·全国·高一专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式aA．−2,1 B．−∞,−2∪1,+∞C．−2,1 【解题思路】本题可根据图像得出结果.【解答过程】结合图像易知，不等式ax2+bx+c>0故选：A.2．（2023·全国·高一专题练习）二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为2，−3，那么关于x的不等式A．x|x>3或x<−2 B．x|x>2或x<−3C．x−2<x<3 D．