技巧04结构不良问题解题策略（精讲精练）

技巧04结构不良问题解题策略

【命题规律】

结构不良问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以解答题为主，应适度关注.

【核心考点目录】

核心考点一：三角函数与解三角形

核心考点二：数列

核心考点三：立体几何

核心考点四：函数与导数

核心考点五：圆锥曲线

【真题回归】

1.（2022.全国.统考高考真题）已知双曲线C$-1=1（。＞0力＞0）的右焦点为尸（2,0）,渐近线方程为

a'lr

y=±V3x.

（1）求。的方程；

（2）过产的直线与C的两条渐近线分别交于A,8两点，点?（内/）,。伍，％）在C上，且

内＞占＞0,y＞0.过P且斜率为-G的直线与过Q且斜率为6的直线交于点M.从下面①②③中选取两个

作为条件，证明另外一个成立：

①M在4/6上；@PQ//AB；③|A%|=M3|.

注；若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【脩析】（1）右焦点为尸（2,0）,，c=2,・・•渐近线方程为），=±6r,・・・g=G,・・.b=Ga,・•・

c2=a2+b2=4fl2=4*.*.«=!＞b—百.

・・・C的方程为：x2-^=l；

3

（2）由已知得在线PQ的斜率存在且不为零，在线48的斜率不为零，

若诜由①②椎③或诜由②③推①：由②成立可知直线AA的斜率存在且不为零：

若选①③推②，则M为线段A8的中点，假若直线48的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知”在x轴

上,即为焦点F,此时由对称性可知P、。关于“轴对称,与从而7=£,已知不符;

总之，直线AB的斜率存在且不为零.

设直线AB的斜率为k，直线AB方程为y=k（x-2）.

则条件①M在人B上，等价于兄二攵（鹏一2）=心，（）=公优一2）；

两渐近线的方程合并为3x2-/=0.

联立消去），并化简整理得：-3卜2-4公工+4公=0

设4（芍），3）,8（卬），4）,线段中点为川（/,八）,则/=空=走,外八由-2）=言,

/KDKD

设例（x（P）'o）,

则条件③14M|=忸M等价于（/_曰）2+（%-%）2=（%-%）2+（%->4）2，

移项并利用平方差公式整理得：

（七一七）［2/一（玉+Z）］+（M—北）［2%-（％+乂）］=°，

12%-（3+七）］+三学■［2%-（%+月）］=。，即玉-玉+左（%-%）=°，

七一9

Hnf8k2

即事+孰=”-7;

k-3

由题意知直线PM的斜率为-百，直线QM的斜率为6,

•••由X一%=《（凡一%），必一）’0=6（々一小），

・•・K_必=飞（X+W.2%）,

所以直线PQ的斜率〃?="①=—,

X,-X2Jtj-x2

直.线PM:y=-x/3（x-x0）+No，即）'=%+瓜^-\f3x,

代入双曲线的方程3/-9一3=0,即（6x+丁）（6-y）=3中,

得：（为+^b）［26¥-（yo+6b）］=3,

解得，的横坐标：否=或）,:&+%+"%）,

・••条件②PQI/AB等价于m=koky0=3.”,

综上所述：

条件①M在45上，等价于小=廿小"）；

条件②PQ//AB等价于ky°=3.；

条件③|二忸叫等价于入。+1=;

KD

选①②推③：

2k2,8k*./卡>

由①②解得:/=淳二+-0=4%=PT3…③成立；

选①③推②:

2k2,6k?

由①③解得:犷-，

・・・妙0=3/，.•.②成立；

选②③推①：

6Z26

由②③解得：x=-2—,ky=-—,Ax-2=p—,

0K—3QAr—D0•>一。

.,.如0=公（/-2）,・••①成立.

2.（2022・北京・统考高考真题）如图，在三棱柱ABC-4,用G中，侧面BCC石为正方形，平面8。。谯_1.平

面AB与4，AB=BC=2,M,N分别为入片,AC的中点.

⑴求证：MN〃平面BCCM；

⑵再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面8MN所成角的正弦值.

条件①：AB工MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第•个解答计分.

【解析】（1）取A6的中点为K，连接“KNK,

由三棱柱A8C-A4G可得四边形A3sA为平行四边形,

而8也=MR,BK=KA,则MK//BB、,

而MKa平面BCC4，8B|U平面BCG四，故MK〃平面BCCe,

而。'=24,8犬二必，则眯〃/?。，同理可得NK〃平面BCC圈,

而NKAMK=K,NK、MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面BCGB-而MNu平面MKN,故MN〃平面BCCR,

(2)因为侧面8CG4为止方形，故CZ_L84，

而C8u平面8CG4,平面c叫q1平面ABB.A.,

平面C8BCc平面ABBX\=8反，故C8_L平面484A，

因为NKHBC,故NK_L平面勺4,

因为A3u平面故NKA.AB,

若选①，则A8J.MN,而NK_L4B,NK[}MN=N,

故,仍上平面MNK,而MKu平面MNK,故人4_LMK，

所以4818与，而C8J.BB-CBcAB=B,故平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则WO,O,O)，A(O2O),N(1,1,O),M(O,1,2),

故丽=(020),丽=(LLO),丽=(0,L2),

设平面BNM的法向量为〃=(x,yz),

则]"•馨=?’从而出二°八，取z=-l，则;?=(-2.2.-1),

设直线人8与平面所成的角为夕，则

sin0=|cos^Ah4月)=-1.

若选②，因为NK//BC,故NKJL平面48勺4，而KMu平面MKN.

故NKtKM,而B】M=BK=l,NK=l,故B、M=NK,

而43=MK=2,MB=MN.故aBB、M=MKN,

所以N8gM=/MKN=90。，故A4_L8反，

而CB1BB],CBCAB=B,故平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3(0,0,0),A(020),N(l,l,0),M((U2),

故函=(020),82=(1/,0),8例=(0,1,2),

设平面BNM的法向总为7=(x,y,z),

则?鬻=，，从而[叱=°,取z=-l,则|=(-2,2,-1),

n-BM=0[y+2z=0'7

设直线AA与平面用VM所成的角为6,则

sin0-卜0$(〃,A矶=g.

z

3.(2021.全国.统考高考真题)已知函数/(幻="-1育-。/+£

(1)讨论了(X)的单调性；

(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(%)只有一个零点

©—<«<—,b>2a；

22

@0<a<—,b<2a.

2

【解析】⑴由函数的解析式可得：/(x)=Md-2"),

当〃W0时，若x«f,0),则止(力<0,/(力单调递减,

若工«0,田)，则/'(x)>0J(x)单调递增；

当0<〃<g时，若xe(-o)』n(2a)j,则/'(力>0,/(力单调递增,

若x«ln(2a),0),则尸(x)<0J(x)单调递减，

若xe(0,+00),则尸(x)>0J(x)单调递增；

当。裳时,r(x"0J(x)在R上单调递增；

当时，若/w(F,0),则/'㈤>0,/3单调递增，

若xe(0,In(2a)),则/'(x)<0J("单调递减，

若x«ln(2a),y),则>f(x)>OJ(x)单调递增；

(2)若选择条件①：

1£,

2-2故则〃>2〃>L/(0)=〃-l>0,

而函数在区间(TAO)上单调递增，故函数在区间(-8,。)上有一个零点.

/(In(2a))=2a[ln(2a)—l]-4[lni：2a)]~+b

>2/[ln(24)-l]_a[ln(2a)]~+2a

=为ln(2a)-a(ln(2a)丁

=aIn(2a)[2_In(2〃)],

由于*，1<2.4/,故aln(2a)[2—ln(2a)]N0,

结合函数的单调性可知函数在区间(0,+e)上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

若选择条件②：

由于0<〃<g,故勿<1,则〃0)二力-1W加一1<0,

当Z>N0时，°2>4,4〃<2,/(2)=e2-4</+/?>0,

而函数在区间(。,+8)上单调递增，故函数在区间(0,也)上有一个零点.

当。<0时，构造函数〃(x)=e'—%—1,则“'(力="一1,

当X«YO,0)时,“'(x)vO,H(x)单调递减,

当)«0,+co)时,H'(x)>0,H(x)单调递增,

注意到“(0)=0,故”(620恒成立，从而有：6、。+1，此时：

/(x)=(x-\)ex-cue-b>(x-l)(.v+\)-ax2+b=(l-6/)x2+(/?-]),

当工时，(l-6/)r+(^-l)>0,

取％=后［+1，则/U)>。，

即：〃0)<0JJ三+1>0,

而函数在区间(0,+力)上单调递增，故函数在区间(0,+8)上有一个零点.

f(ln(2a))=2a[ln(2a)—l]-a[lni：2a)]2+匕

<2r/[ln(2a)_l]_4[ln(2a)]"+2a

=2filn(2a)-a[ln(2a)}

=aIn(2a)[2-In(2a)],

由于0<a<g,故aln（2a）［2-vO,

结合函数的单调性可知函数在区间（-8,0）上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

4.（2021・北京•统考高考真题）在“BC中，c=2〃cos8,C=y.

（1）求NB；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求8c边

上中线的长.

条件①：c=@;

条件②：&4BC的周长为4+26；

条件③：△ABC的面积为空；

4

【解析】（1）,/c=2/?cosB,则由正弦定理可得sinC=2sin3cosB,

「.sin23=siW邛，vC=y,28€（0弓）,

：.2B="解得4

36

丛

（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得;=吗=孑=6，

bsinB£

2

与c=&矛盾，故这样的不存在；

若选择②：由（1）可得A=J，

设“8。的外接圆半径为R，

则由正弦定理可得a=b=2/?sin-=R,

6

c=2/Csin—=V3/?.

3

则周长a+A+c=2R+6R=4+2>/L

解得7?=2,则a=2,c=2G,

由余弦定理可得3c边上的中线的长度为：

《2国+俨一2x26xlxc吟=近；

若选择③：由（1）可得A=J,即。=〃,

6

则Su'aOsinC：」/x正=,解得a=

—2224

则由余弦定理可得8C边上的中线的长度为：

Ic/a£/~右G后

J/?+-I-2xx—xcos—=J3+—+。3x—=-----

Y⑴23Y422

5.(2021•全国•统考高考真题)已知数列｛〃“｝的各项均为正数，汜S“为｛〃”｝的前〃项和，从下面①②③中

选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛q｝是等差数列：②数列｛心；｝是等差数列；③％=36.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【解析】选①②作条件证明③：

【方法一]:待定系数法+。0与S”关系式

设g=a，?+b(a>0),则S”=(an+b)2,

当〃=1时.〃]=.、=(〃+/?)"：

22

当〃22时，atl=Slt-5d_!=(an+b)-(an-a+b)=a(2an-a+2f7)；

因为｛《｝也是等差数列，所以(4+。)2=4(24-〃+2〃)，解得6=0；

所以q=/(2〃-1),〃]=/,故%=34=3%.

【方法二]:待定系数法

设等差数列｛4｝的公差为d,等差数列｛四｝的公差为4，

则底=直+(〃一1)4,将s”=〃4+^^d代入£=国+(，?一1)4，

化简得5犷+”1-+(2飙"4一2dj)〃+(J1-dj对于W〃wN+恒成立.

d=2d；,

则有，2%-4=4M一，解得&=",d=24.所以％=3al.

施-4=0,

选①③作条件证明②：

因为%=3%,｛《,｝是等差数列，

所以公差”=2q,

所以S“=叫+"，；1)"=,即，

因为7^7-£=苑5+1)-血〃=用，

所以｛后｝是等差数列.

选②③作条件证明①：

［方法一］:定义法

设、瓦=an+b(a>0),则S“=(an+，

当〃=1时，a1=£=(a+b)~；

2

当〃22时，an=Sn-5d_!=(an+b)-(an-a+b)~=a(2iin-a+2f?)；

因为巴=3q,所以a(3a+处)-3(a+b『，解得〃-0或〃=一号；

当3=0时，""/9二/⑵一)，当〃22时，=2/满足等差数列的定义，此时｛q｝为等差数列；

当3=时，=an+b=an-^a,点=一g<。不合题意，舍去.

JJJ

综上可知也｝为等差数列.

［方法二］【最优解】：求解通项公式

因为%=3%,所以6=如，6="+兄=20,因为｛6｝也为等差数列，所以公差

4=7^-7^=也，所以#^=向+(〃-1)4=入河，故50=〃"，当〃22时，

=S“-S,”］-1)~%=(2〃-1)4,当〃=1时，满足上式，故｛qj的通项公式为。“=伽-1)4，所

以明=(2〃-3)4,%-峭=2%,符合题意.

【方法技巧与总结】

1、灵活选用条件，“牵手”解题经验

对于试题中提供的选择条件，应该逐一分析条件考查的知识内容，并结合自身的知识体系，尽量选择比

较有把握的知识内容，纳入自己熟悉的知识体系中.因此，条件的初始判断分析还是比较重要的，良好的开

端是成功的一半嘛！

2、正确辨析题设，开展合理验证

对于条件组合类问题，初始状态更加的不确定，最关键的步骤在于对选项的条件进行组合后验证，应从

多个角度，考虑多种可能性的组合，这个分析过程对思维的系统性、灵活性、深刻性和创造性的考查提出了

新的要求，所以需要更加细致地完成这个验证过程.

3、全面审视信息，“活”学结合“活”用

数学必备知识是学科理论的基本内容，是考杳学生能力与素养的有效途径和载体，更是今后生活和学

习的基础.数学基础知识是数学核心素养的外显表现，是发展数学核心素养的有效载体.“活”的知识才是能

力，"活''的能力才是素养.我们在学习中要重视对教材内容的理解与掌握，夯实必备知识，并在此基础上活

学活用，提高思维的灵活性，才能更好地应对高考数学中考查的开放性、探究性问题.

【核心考点】

核心考点一：三角函数与解三角形

【典型例题】

例1.(2022•全国•高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=cosx(2\/3sinx+cosx)-sin^.

(1)求函数应丫)的单调递增区间和最小正周期；

7T71

(2)若当xe时，关于x的不等式.也求实数机的取值范围.

请选择①恒成立，②有解，两条件中的一个，补全问题(2),并求解.

注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分.

【解析】(1)/(x)=cosx(2x/3sinx+cosx)-siirx=2>/3sinxcos.r+cos:x-sin:x

=sin2x+cos2x=2sin(2x+—).

6

所以函数/*)的最小正周期r二兀.

由-四+2E麴法+22+2E.LGZ,解得一三十反殁!k—+^I.^GZ.

26236

所以函数/(x)的单调增区间为[-3+履?+版WeZ,

36

(2)若选择①

由题意可知,不等式/3).."恒成立,即科JC0血一

因为外，所以

122J366

故当2x+[=2,即V时，/(*取得最小值，且最小值为/停)=-1.

662\LJ

所以〃4,-1,实数加的取值范围为

若选择②

由题意可知，不等式有解,即犯"⑺…

因为所以衿9

122J366

故当2x+[=。即xJ时，/*)取得最大值，且最大值为了偿=2.

626

所以〃4,2,实数/"的取值范围(行,2].

例2.(2022春・重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知a,Ac分别为AABC内角A8,。的对边，若

“BC同时满足下列四个条件中的三个：①a=G；@b=2；③sin8+：inC=乎;④

sinAb-c

2(B-Cy•A•厂】

cos------sinBsinC=—.

I2)4

(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？

(2)请在(1)所有组合中任选一组，求对应的面积.

【解析】(1)对于③，—=—=—；

ab-c2ac=23

对于④，l+8'(BC)-sinBsinC=—=>cos(B-C)-2sin^sinC=-->

24V72

即COS(3+C)=—L,且4+B+C=TT,0<AaC<兀，则从=色，

23

故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①©③，①②④.

(2)选®(gX§)：a=V5力=2,B=与时,

1二3+。2-4

由余弦定理:

2-2y/3c

整理得：4G…。且c＞。，则八型

.•.△A8C的面积为s枷=Lcsin8=3(8—@.

&4八2g

选①@④：a=6*=2,A=1时，

由余弦定理：COSA，2+.―/=L4+C23,

2bc24c

整理得：/-2c+1=0,则c=l>

「.△A8C的面积S.=—Z?csin/\=—.

A/IUBLC22

例3.(2022春浙江•高二期中)c(sinA-sinC)=(a-b)(sinA+sinB),@2bcosA+a=2c,③

拽acsin8=/+c2—A2三个条作中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

3

⑴求角8的大小：

(2)如图所示，当sinA+sinC取得最大值时，若在所在平面内取一点。(。与4在AC两侧)，使得

线段。。=2,。人=1,求△8C。面积的最大值.

【解析】(1)若选①asinA-sinC)=(a-b)(sinA+sin5),

由正弦定理得，c(a-c)=(a-b)(a+b)f整理得/=也

所以cos8="-+c—-3=土=’,乂0＜8＜兀，所以871

laclac23

若选②2Z?CQSA+a=2c,

由余弦定理得力yi+〃=2c,化简得〃+'2-'=加、

口-hi..cr+c2-b~n

所以cosB=--------------,又0＜8＜兀，所以8

2aclac23

若选③竽aC+j"

由氽弦定理得，2叵acsinB=2accosB.

3

化简得tan3=6，又。＜8＜兀，所以8=］；

兀

(2)由(1)得4+。=胃2，故0＜4＜2当71，

所以sin4+sinC=sinA+sin(生一A=-sinA+—cos/\=\/3sin(A+—

I3J22\6,

由^＜4+3〈学，所以当月+E=E即A=W时，sinA+sinC取得最大值方,

666623

令乙4CO=6,N4OC=a,AB=AC=BC=a,

在6人。)中由正弦定理可得，-T—=-：—r»所以sina=asin。，

sinarsine/

由余弦定理可得=2：+『-2x2xlxcosa=5-4cosa，

所以a2cos20=cr(1-sin2夕)=cr-a2sin20

=5-4cosa-sin2a=cos2(z-4cos«+4=(2-cosa)2,

jr

因为D4=l,OC=2,可得0＜。＜一,所以48s6=2-cosa,

2

1.（加工661.ZJ

SC=—x^xzxsin—+8=——acose+-asin夕

a0lC¥Dn2（3J22

=^（2-cosa）+gsina=sin（a-《）+\/5＜l+G,

当且仅当aW即a=§时，等号成立，

326

所以△BCD面积的最大值为JJ+l.

核心考点二：数列

【典型例题】

例4.（2022春・广东•高三校联考阶段练习）已知等差数列｛q｝前〃项和为5.，再从条件①、条件②、条件③

选择一个作为已知，求:

（1）数列｛q｝的通项公式;

（2）设d二岛'（〃wN\求数歹IJ也｝的前，项和Tn.

条件①S2=8.S«=24；条件②生=5吗+%=18；条件③4=3M=48.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解析】（1）设等差数列｛为｝首项可，公差d，

选条件①：由已知邑=8,S,=24得

S,=4+a,=2a.+d=8（a,=3

,解得《，故q=3+（n-l）x2=2〃+l,

S,=4+%+6+/=44+6d=24[d=2

a,=q+d=54=3

选条件②：由已知生=5,6+6=18,得'/3解得个，

%+火=2&+6d=18[d=2

a”=3+(〃-1)x2=2〃+1,

选条件③：由已知4=3,§6=48,则邑="号义=48,所以4+4=26+5d=16,

解得4=2,即q=3+(〃-l)x2=2〃+l,

综上所述，数列｛&｝的通项公式为4=2〃+1

,44I11

(2)由(1)问的结论代入=—71—r=---7；=---77，

an-1(2H+I)-1〃(〃+1)nn+1

mi.，，，11111n

M7；1=Z?I+/?2+^+...+^=1__+___+...+___=__

所以数列｛b„｝的前〃项和（=W.

例5.（2022秋•黑龙江哈尔滨•高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）设数列｛%｝是等比数列，其前〃

项和为工.

（1）从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求｛q｝的通项公式；

①5”=2-4；@S2=2a3+\,5，=6%+1；

⑵在（1）的条件下，若1H求数列出｝的前"项和。

【解析】（1）设等比数列的公比为9，#0,

若选①，q=S[=2-%,q=l,

〃之2时，an=S,-SnA=2-an）=an_i-atl,

可得2%=4T,B=g=q，

所以q=

若选②，S2=2a3+1,=6a4+1,所以4+/=24+L%+%+%=6&+1,

1(iY-1

可得2见+1+见=6q+l,所以。=不，q=l,a=-；

2[2

I1所2+-2"“_1

(2)bn=。3小=Qin-2'"I尹，所以万—一^一万，

所以｛包｝是公比为最首项为!的等比数列,

故工=身泉+…+

IZfZJ

例6.(2022春・福建•高三校联考阶段练习)从①.=＞『；②"=(_])"(凡”+4)；③〃,=一三个

V^n+l+W”an

选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列｛q｝,｛2｝满足为＞。，且6=1,4-a用=〃向%，

,求数列色｝的前〃项和九

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解析】因为4”一%=4+。，。〃＞1,所以」-----=1»

勺+1an

所以Sn=5/2-Jf+5/3—V2+...+J屋+1-&=J/7+1-1,

选②：”,=(一)=(-畔焉

所以5“=卜一升(卜扑…+(7)”小㈠)"

H+l

2"

选③：2=一=〃.2",所以S“=2+2X22+3X23+...+〃.2",

an

234,,+l

25r=2+2x2+3x22,

两式相减,可得s'=〃・2向一（2+22+…+2"）=〃•2'用一2（；）=（n-l）2n+,+2

核心考点三：立体几何

【典型例题】

例7.（2022春•云南楚雄•高三校考阶段练习）在四棱锥尸-A8c。中，PAJ_平面为棱心中点,

PA=AD=CD=ZBC=3tPC=2&,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

条件①：AB=6

条件②：8。〃平面尸40.

D

（1）.求证：BCLCD；

⑵.求直线AE与平面PCO所成角的正弦值.

【解析】（1）如图，连接4C,因A4J_平面A8CO,ACu平面A8C。，则P4_L4C.

又PC=2仆,04=2，则4C=2®.注意到AD=OC=2,则△ADC为等腰宜角三角形，其中

ZACD=-/ADC=~.

4t2

若选条件①，由余弦定理可得，

cosZACB==8+9]5=*,结合/4CB为三角形内角，得NACB=f,又

2AC-BC2x2及x324

^ACD=-,则NBCO=2,BPBC1CD.

42

若选条件②，因8c〃平面B4。，8Cu平面A8CO,平面A8CZ）A平面?AD=A。，

则BC〃AO,又/AOC/，则"8二三，即8CJ_CD.

22

（2）若选条件①，由（1）可得N8CO=NAOC=],则8c〃AD,

故建立以A为坐标原点，如卜图所示空间直角坐标系（X轴所在直线与QC平行）

又出=AD=C£>=2,BC=3,AB=5

则A（0,0,0）,B（2,-1,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,E1,——

r2

则布=（1,一；，1,DP=（0,-2,2）,DC=（2,0,0）.

n-DP=0[2z-2y=0

设平面PC。法向量为G=(x,y,z),___=

n-DC=012戈=°

取7=(0,1,1),又设4E与平面PCD所成角为。.

则sin0"6

即直线AE与平面PCD所成角的正弦值为也

6

若选条件②，Ftl(1)可得8C〃AD,故建立以4为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系(工轴所在直线

与DC平行)

7TTT

因NBCO=—，则NACB=—，

24

则由余弦定理可得.崂=止后

又A4=AO=CD=2,BC=3,

（1

则A（0,0,0）,B（2,-1,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,E

k2

则AE=DP=（0,-2,2）,DC=（2,0,0）.

一/、行•£>户=0（2z-2y=0

设平面PCD法向量为〃=（x,y,z）,则<一={

'>n-DC=0[2x=0

取〃=(0,1,1),又设AE与平面PC。所成角为0,

贝|Jsin夕—cos正

6.

2

即直线AE与平面PCO所成角的正弦值为它

6

例8.（2022春.新疆伊犁.高二校考期中）从①AB_L3C：②直线SC与平面ABC。所成的角为60。；③X

ACD为锐角三角形且三棱锥S-人C。的体积为2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解

答.

如图，在四棱锥S-ABCO中，底面A8CO是菱形，SA_L平面A8CO,E,F分别为AB,SC的中点.

⑴求证：直线炉〃平面S4Q；

（2）若SA=2A/5,AD=2,,求平面SBC与平面SCO所成锐二面角的余弦值.

【解析】（1）取S。的中点M,连接MF,AM.

•・•尸为SC的中点

：,MF//CD,MF=^CD,

•••四边形A8CO是菱形，E为人A的中点，

J.AE//CD,AE=^CDf

：.MF//AE,MF=AE,

•••四边形AEFM为平行四边形，

：,EF//AM,

TER平面S4Z）,AMu平面SAD,

〃平面SAD.

s

(2)选择条件①：

•••%_1平面A8。'。，

・・・SA_L48,SALAD,因为AO〃8cA8_LBC,

所以48J_AZ),

故以A为原点，AB,AD,AS所在直线分别为％、)，、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S：0,0,26)，

/.BC=(0,2,0),SC=(2,2,-275),CD=(-2,0,0),

设平面SBC的法向量为而=(x,y,z),

m-BC=02,y=0

_n谕=(G,01)，

m-SC=02x+2y-2y/3z=0

同理可得，平面SC。的法向量为7=(0,GJ),

m-n11

cos(inji)=

同洞2^2-4,

故平面SBC与平面SCD所成锐二面角的余弦值为!.

连接AC，

平面ABC。,

AZ5C4为直线SC与平面ABC。所成的角，即NSC4=60。,

•:SA=20：.AC=2,

/.△ABC为等边三角形,

取BC的中点M连接AN,

以A为原点，AN,AZ),4s所在直线分别为x、)，、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

A(0,0,0),B(6,-1,0),C(G，I,0),D(0,2,0),S(0,0,)，

BC=(0,2,0),SC—(6，I，・2"),CD=(-73,1,0),

设平面SBC的法向量为m=(x,y,z),

m-BC=02y=0

_=RR=>/H=(2,0,1),

ni-SC=0J3x+y-2j3z=0

同理可得，平面SCO的法向量为〃=，

m-n2+13

cos。〃，力=

|m|*|n|\[5x\f55

故平面S8C与平面SCD所成锐二面角的余弦值为1.

选择条件③:

2x2sin乙M>C、

・皿=那・『^£=Q石x-------------------=2,

2

AsinZ/1DC=—,

2

VZ/lDCe(0,-),AZADC=^~,

23

・XC=2,

•••△ABC为等边三角形,

取BC的中点M连接4M

以A为原点，AN,AD,AS所在直线分别为x、)，、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

A(0,0,0),8(白，-1,0),C(石，1,0),D(0,2,0),S(0,0,2白)，

/.BC=(0,2,0),SC=(G，1，-2G),CD=(-6，1,0),

设平面SBC的法向量为m=(x,y,z),

nrBC=02y=0

=>Sr厂n而=(2,0/)

mSC=0y]3x+y-2>J3z=0

同理可得，平面SCO的法向量为3=(1,行,1),

/.m-n2+13

8式'〃'"=丽=不忑=?

3

故平面SBC与平面SCD所成锐二面角的余弦值为1.

例9.(2022春•四川遂宁•高二遂宁中学校考期中)从①的=2五，②G是的中点，③G是4PBC的内

心.三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答.在四棱锥P-48CD中，底面力8c。是矩

形，底面48cO,且尸。=1,AB=6AO=2,E,尸分别为PC,8。的中点.

(1)判断石尸与平面。AO的位置关系，并证明你的结论；

(2)若G是侧面PBC上的一点，且________,求三棱锥G-OEC的体积.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【解析】(1)EF”平面PAD,理由如下：

如下图所示，连接4C，

因为四边形ABCO为矩形，且点尸为BO的中点，则点尸为AC为中点,

又因为E为PC的中点，所以瓦〃24,

0U平面幺。，夕4＜=平面/”。，・・・历〃平面以。；

(2)•.•四边形ABCD为矩形，则8C_LCD,

:PD1平面ABCD,BCu平面ABCD,：,BC1PD,

丁COP!尸。=。，・•・3C1平面PC。.

•・・£为尸。的中点,则5瓯比=；54囱7,=：。。，。=：＞＜石'1=手.

LI

p

12

选①：BG=2GC»则GeBC,，GC_L平面尸CO,flGC=-BC=—,

33

lz1c5\020

^G-DtC=T5ADtC，G!C=TX—XT=—5

JJ4JIU

选②：・・・G、E分别为P8、PC的中点，.\GE//BC,且GE=g8C=l,

•・・BC/平面尸CO,GEL平面PCD,

”1ca16।G

y-^c=T^cOE=-x—xl=—；

GJDC，•14

选③：设8c的内切圆切PC于点，，连接G”,则G"J_PC,

•・・BC/平面PC。，PCc^F®PCO,・・・BC_LPC,

在平面P8C内，BC工PC,GHLPC,则GH〃BC,.・.G”1平面PC。,

PC=7PD2+CD2=2-PBZPC'+BC?=2五'

由等面积法可得S/,8c=；BCPC=；（PC+BC+PB>GH,

BCPC4

所以，GH=2-72,

BC+PC+PB4+2近

所以，VG_DEC=；S△皿々“二卜手小一码=2,；"

p

核心考点四；函数与导数

【典型例题】

例1（）.（2022•浙江•模拟预测）已知函数/（幻=优'+皿.

⑴若x=l是"X）的极值点，求〃；

（2）若小，为分别是/（力的零点和极值点，证明下面①，②中的一个.

①当a>0时，In^1<XQ-x0+1；②当a<0时，In<2x0-1.

注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分.

【解析】（I）因为/（幻=讹一'+小，所以/（幻=_优'+^^,

XX'

若工=1是函数/*）的极值点，则r⑴=0,r（i）=—。厂+号叱=0,即。=。,

此时/'（%）=］一［：Tnx.

设式x）=l-x2ei-］nx,则8'。）=-2.招-*+/8-*-‘，g'⑴=—2,

x

所以存在〃使得当X£（/%〃）时、g\x）<0,g（x）单调递减，

当工£（/〃/）时，/"（x）=。；〉”,）=0,/（X）单调递增，当时，/，（%）=，（1）<。、'=0,/（x）单调

XXXX

递减，

所以当a=e时，工=1是/（X）的极值点.

（2）选择①：

因为毛，为分别为“X)的零点和极值点，所以/6)=优"+电分=0,。=-£4,

/不

0,、71-lnx.e^l-lnxjev,(lnx,-l)e”n/

/'a)=_ae收+—^=0,a=―--口、所以一〃=--_T2——=--------

N汇N与

当a〉0时，©W?__1=c」*。＜0,则Inx。＜0,ln%v1,即0vx()＜1,0＜为＜e,

小

、333

因为毛一毛+12^，所以当InA<z，即0<王</时，ln$<x；-.%+l成立,

当f«%<e时，若百工叫)，则只需证明lnx°<x：—/,

设小)=9j，贝以，")=2士坐士2

x~X

设4(x)=xlnx-21nx-x+3,

22

则片(x)=Inx--为增函数，且《⑴=