2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之统计（二）

第31页（共31页）2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之统计（二）一．选择题（共5小题）1．（2022•甲卷）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差2．（2022•天津）将1916年到2015年的全球年平均气温（单位：℃），共100个数据，分成6组[13.55，13.75），[13.75，13.95），[13.95，14.15），[14.15，14.35），[14.35，14.55），[14.55，14.75]，并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的有（）A．22年 B．23年 C．25年 D．35年3．（2022•乙卷）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4 B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8 C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4 D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.64．（2021•天津）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）A．20 B．40 C．64 D．805．（2021•甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间二．多选题（共2小题）（多选）6．（2021•新高考Ⅱ）下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的有（）A．样本x1，x2，…，xn的标准差 B．样本x1，x2，…，xn的中位数 C．样本x1，x2，…，xn的极差 D．样本x1，x2，…，xn的平均数（多选）7．（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同三．解答题（共8小题）8．（2023•新高考Ⅱ）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；（2）设函数f（c）＝p（c）+q（c）．当c∈[95，105]，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值．9．（2023•甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表；＜m≥m对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：K2=nP（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63510．（2022•新高考Ⅰ）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)P(B|（ⅰ）证明：R=P(A（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|B）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2=n(P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82811．（2022•甲卷）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2=nP（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63512．（2022•新高考Ⅱ）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率；（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）．13．（2022•乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得i=110xi2＝0.038，i=110yi2＝1.6158，i=1（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r=i=1n(14．（2021•乙卷）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s12和（1）求x，y，s12，（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y-x≥15．（2021•甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2=n(P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之统计（二）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）题号12345答案BBCDC二．多选题（共2小题）题号67答案ACCD一．选择题（共5小题）1．（2022•甲卷）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【考点】用样本估计总体的离散程度参数；频率分布直方图；用样本估计总体的集中趋势参数．【专题】数形结合；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D．【解答】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%）/2＝72.5%，故A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：110（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故B对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%﹣80%＝20%，讲座前正确率的极差为：95%﹣60%＝35%，∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（2022•天津）将1916年到2015年的全球年平均气温（单位：℃），共100个数据，分成6组[13.55，13.75），[13.75，13.95），[13.95，14.15），[14.15，14.35），[14.35，14.55），[14.55，14.75]，并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的有（）A．22年 B．23年 C．25年 D．35年【考点】频率分布直方图的应用．【专题】数形结合；定义法；概率与统计；数据分析．【答案】B【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出[14.35，14.75]的频率，进而可求出结果．【解答】解：根据频率分布直方图可得，[14.35，14.75]频率为0.5×0.2+0.65×0.2＝0.23，所以全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的有100×0.23＝23年．故选：B．【点评】本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（2022•乙卷）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4 B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8 C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4 D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【考点】茎叶图．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解；数据分析．【答案】C【分析】根据茎叶图逐项分析即可得出答案．【解答】解：由茎叶图可知，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4，选项由茎叶图可知，乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8，选项B说法正确；甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为616=3乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为1316=0.8125＞故选：C．【点评】本题考查茎叶图，考查对数据的分析处理能力，属于基础题．4．（2021•天津）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）A．20 B．40 C．64 D．80【考点】频率分布直方图的应用．【专题】计算题；数形结合；演绎法；概率与统计；数据分析．【答案】D【分析】由频率分布直方图先求频率，再求频数，即评分在区间[82，86）内的影视作品数量即可．【解答】解：由频率分布直方图知，评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，故选：D．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用及频率的定义与应用，属于基础题．5．（2021•甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【考点】频率分布直方图的应用．【专题】整体思想；数形结合法；概率与统计；数据分析．【答案】C【分析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项A，B，D，利用平均值的计算方法，即可判断选项C．【解答】解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为（0.02+0.04）×1＝0.06＝6%，故选项A正确；对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为（0.04+0.02×3）×1＝0.1＝10%，故选项B正确；对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5万元，故选项C错误；对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为（0.1+0.14+0.2+0.2）×1＝0.64＞0.5，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确．故选：C．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法以及平均数的计算方法，属于基础题．二．多选题（共2小题）（多选）6．（2021•新高考Ⅱ）下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的有（）A．样本x1，x2，…，xn的标准差 B．样本x1，x2，…，xn的中位数 C．样本x1，x2，…，xn的极差 D．样本x1，x2，…，xn的平均数【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑思维．【答案】AC【分析】利用中位数、标准差、极差、平均数的定义以及含义分析求解即可．【解答】解：中位数是反应数据的变化，方差是反应数据与均值之间的偏离程度，极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，平均数是反应数据的平均水平，故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．故选：AC．【点评】本题考查了中位数、标准差、极差、平均数的定义以及含义，属于基础题．（多选）7．（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数据分析．【答案】CD【分析】利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可．【解答】解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；对于C，∵标准差D（yi）＝D（xi+c）＝D（xi），∴两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；对于D，∵yi＝xi+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，x的极差为xmax﹣xmin，y的极差为（xmax+c）﹣（xmin+c）＝xmax﹣xmin，∴两组样本数据的样本极差相同，故D正确．故选：CD．【点评】本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础知识，是基础题．三．解答题（共8小题）8．（2023•新高考Ⅱ）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；（2）设函数f（c）＝p（c）+q（c）．当c∈[95，105]，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值．【考点】频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据已知条件，列出等式，即可求解；（2）根据已知条件，分c∈[95，100]，（100，105]两种情况，依次求出函数，即可求解．【解答】解：（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，则（c﹣95）•0.002＝0.5%，解得c＝97.5；q（c）＝0.01×2.5+5×0.002＝0.035＝3.5%；（2）当c∈[95，100]时，f（c）＝p（c）+q（c）＝（c﹣95）•0.002+（100﹣c）•0.01+5×0.002＝﹣0.008c+0.82≥0.02，当c∈（100，105]时，f（c）＝p（c）+q（c）＝5×0.002+（c﹣100）•0.012+（105﹣c）•0.002＝0.01c﹣0.98＞0.02，故f（c）=-所以f（c）的最小值为0.02．【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．9．（2023•甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表；＜m≥m对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：K2=nP（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【考点】独立性检验．【专题】应用题；对应思想；数学模型法；概率与统计；数据分析．【答案】（1）19.8．（2）（i）中位数是23.4；列联表是＜m≥m合计对照组61420试验组14620合计202040（ii）有95%的把握认为有差异．【分析】（1）根据平均数的定义计算即可．（2）（i）把两组数据合在一起，按从小到大排列后求中位数m，填写列联表即可；（ii）根据列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论．【解答】解：（1）根据题意，计算试验组样本平均数为x=120×（7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+（2）（i）由题意知，这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数，因为原数据的第11位数据是18.8，后续依次为19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，…，所以第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以这组数据的中位数是m=12×（23.2+23.6填写列联表如下：＜m≥m合计对照组61420试验组14620合计202040（ii）根据列联表中数据，计算K2=40×(6×6-14×14)220×20×20×20所以有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了平均数与中位数的计算问题，是基础题．10．（2022•新高考Ⅰ）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)P(B|（ⅰ）证明：R=P(A（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|B）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2=n(P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【考点】独立性检验；条件概率．【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计；运算求解；数据分析．【答案】见试题解答内容【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论．（2）（i）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．【解答】解：（1）补充列联表为：不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2=200×(40×90-10×60)2100×100×50×150所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．（2）（i）证明：R=P(B|A)P(B（ⅱ）利用调查数据，P（A|B）=40100=25，P(A|B)=10100=110，P（A|B）＝1﹣P（A|B）=35所以R=25【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．11．（2022•甲卷）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2=nP（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【考点】独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题设数据直接计算即可；（2）由题设数据代入公式直接计算即可得出结论．【解答】解：（1）A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故A公司准点的概率为240260B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故B公司准点的概率为210240（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，A公司共260辆，B公司共240辆，∴K2∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．【点评】本题考查概率计算以及独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题．12．（2022•新高考Ⅱ）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率；（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）．【考点】频率分布直方图的应用．【专题】计算题；数形结合；综合法；概率与统计；运算求解；数据分析．【答案】（1）47.9岁；（2）0.89；（3）0.0014．【分析】（1）利用平均数公式求解即可．（2）利用频率分布直方图求出频率，进而得到概率．（3）利用条件概率公式计算即可．【解答】解：（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：x=5×0.001×10+15×0.002×10+25×0.012×10+35×0.017×10+45×0.023×10+55×0.020×10+65×0.017×10+75×0.006×10+85×0.002×10＝47.9（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的频率为：（0.012+0.017+0.023+0.020+0.017）×10＝0.89，∴估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率为0.89．（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间[40，50）为事件B，此人患这种疾病为事件C，则P（C|B）=P(【点评】本题考查频率分布直方图求平均数、频率，考查条件概率计算公式，属于基础题．13．（2022•乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得i=110xi2＝0.038，i=110yi2＝1.6158，i=1（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r=i=1n(【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】对应思想；概率与统计；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可．【解答】解：（1）设这种树木平均一棵的根部横截面积为x，平均一棵的材积量为y，则根据题中数据得：x=0.610=0.06m2，y（2）由题可知，r=i=1（3）设总根部面积和X，总材积量为Y，则XY=xy，故Y=0.39【点评】本题考查线性回归方程，属于中档题．14．（2021•乙卷）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s12和（1）求x，y，s12，（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y-x≥【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．【专题】转化思想；定义法；概率与统计；运算求解；数据分析．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；（2）比较y-x与2【解答】解：（1）由题中的数据可得，x=110×（y=110×（s12=110×[（9.8﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.9﹣10）2++（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.7﹣10）2]＝0.036；s22=110×[（10.1﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2+（10.0﹣10.3）2++（10.3﹣10.3）2+（10.6﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2]＝0.04；（2）y-x=10.3-10=0.3因为(y所以y-x＞故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【点评】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．15．（2021•甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2=n(P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【考点】独立性检验．【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）34，35；（2）有99%的把握【分析】（1）根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；（2）根据2×2列联表，求出K2，再将K2的值与6.635比较，即可得出结论；【解答】解：（1）由题意可得，甲机床、乙机床生产总数均为200件，因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为150200因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为120200（2）根据2×2列联表，可得K2==400(150×80-50×120)2270×130×200×200所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．【点评】本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题．

考点卡片1．条件概率【知识点的认识】1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．（3）条件概率的求法：①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）=【解题方法点拨】典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是29解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，事件“a+b为偶数”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P=故答案为：2典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是2（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴随机变量ξ的分布列为：ξ0123P12414112414数学期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P2．频率分布直方图【知识点的认识】1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．2．频率分布直方图的特征①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．3．频率分布直方图求数据①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．【解题方法点拨】绘制频率分布直方图的步骤：3．频率分布直方图的应用【知识点的认识】﹣应用：用于数据的分布可视化，帮助分析数据集中趋势、离散程度等．【解题方法点拨】﹣分析：通过直方图观察数据的分布特征，识别数据的集中区域和离散程度．【命题方向】﹣重点考察如何解读频率分布直方图及其对数据分析的贡献．4．茎叶图【知识点的认识】1．茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶图．例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50得分表示成茎叶图如下：2．茎叶图的优缺点：优点：（1）所有信息都可以从茎叶图上得到（2）茎叶图便于记录和表示缺点：分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便．【解题方法点拨】茎叶图的制作步骤：（1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分（2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列（3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧第1步中，①如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9．②如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123，茎：1，叶：23．对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体现几次．