2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之三角函数（二）

第30页（共30页）2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之三角函数（二）一．选择题（共9小题）1．（2023•新高考Ⅰ）已知sin（α﹣β）=13，cosαsinβ=16，则cos（2A．79 B．19 C．-192．（2023•新高考Ⅱ）已知α为锐角，cosα=1+54，则A．3-58 B．-1+58 C．3．（2023•乙卷）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间（π6，2π3）单调递增，直线x=π6和x=2π3为函数y＝A．-32 B．-12 C．14．（2023•甲卷）“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（）A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件5．（2023•全国）已知函数f(A．(-3B．(-1C．(310D．(36．（2023•乙卷）已知等差数列{an}的公差为2π3，集合S＝{cosan|n∈N*}，若S＝{a，b}，则A．﹣1 B．-12 C．0 D7．（2023•天津）函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，且f（x）的一个周期为4，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）＝sin（π2x） B．f（x）＝cos（π2xC．f（x）＝sin（π4x） D．f（x）＝cos（π48．（2023•甲卷）已知f（x）为函数y=cos(2x+π6)向左平移π6个A．1 B．2 C．3 D．49．（2023•上海）已知a∈R，记y＝sinx在[a，2a]的最小值为sa，在[2a，3a]的最小值为ta，则下列情况不可能的是（）A．sa＞0，ta＞0 B．sa＜0，ta＜0 C．sa＞0，ta＜0 D．sa＜0，ta＞0二．多选题（共1小题）（多选）10．（2024•新高考Ⅱ）对于函数f（x）＝sin2x和g(A．f（x）与g（x）有相同零点 B．f（x）与g（x）有相同最大值 C．f（x）与g（x）有相同的最小正周期 D．f（x）与g（x）的图像有相同的对称轴三．填空题（共8小题）11．（2024•甲卷）函数f（x）＝sinx-3cosx在[0，π]上的最大值是12．（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈[π6，π3]，则cos13．（2023•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y=12与曲线y＝f（x）的两个交点，若|AB|=π6，则f（π）＝14．（2023•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是．15．（2023•全国）已知sin2θ=-13，若π4＜θ16．（2023•北京）已知命题p：若α，β为第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝，β＝．17．（2023•上海）已知tanα＝3，则tan2α＝．18．（2023•乙卷）若θ∈（0，π2），tanθ=13，则sinθ﹣cosθ＝四．解答题（共2小题）19．（2024•上海）已知f（x）＝sin（ωx+π3），ω＞（1）设ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0，π]的值域；（2）a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期为π，若在x∈[π，a]上恰有3个零点，求a的取值范围．20．（2024•天津）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=916，b＝5，（1）求a的值；（2）求sinA的值；（3）求cos（B﹣2A）的值．

2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之三角函数（二）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）题号123456789答案BDDBABBCD二．多选题（共1小题）题号10答案BC一．选择题（共9小题）1．（2023•新高考Ⅰ）已知sin（α﹣β）=13，cosαsinβ=16，则cos（2A．79 B．19 C．-19【考点】两角和与差的三角函数．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】B【分析】由已知结合和差角公式先求出sinαcosβ，再求出sin（α+β），然后结合二倍角公式可求．【解答】解：因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα=13，cosαsinβ所以sinαcosβ=1所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα=1则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×4故选：B．【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．2．（2023•新高考Ⅱ）已知α为锐角，cosα=1+54，则A．3-58 B．-1+58 C．【考点】半角的三角函数；二倍角的三角函数．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】D【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及角α的取值范围，即可求解．【解答】解：cosα=1+则cosα=1-故2sin2α2=1﹣∵α为锐角，∴sinα∴sinα2故选：D．【点评】本题主要考查半角的三角函数，属于基础题．3．（2023•乙卷）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间（π6，2π3）单调递增，直线x=π6和x=2π3为函数y＝A．-32 B．-12 C．1【考点】正弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】D【分析】先根据题意建立方程求出参数，再计算，即可得解．【解答】解：根据题意可知T2∴T＝π，取ω＞0，∴ω=2π又根据“五点法”可得2×π6+φ∴φ=-5π6+2∴f（x）＝sin（2x-5π6+2kπ）＝sin∴f（-5π12）＝sin（-5π6-5故选：D．【点评】本题考查三角函数的性质，方程思想，属基础题．4．（2023•甲卷）“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（）A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件【考点】同角三角函数间的基本关系；充分条件与必要条件．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；简易逻辑；运算求解．【答案】B【分析】利用同角三角函数基本关系式，结合充要条件判断即可．【解答】解：sin2α+sin2β＝1，可知sinα＝±cosβ，可得sinα±cosβ＝0，所以“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查同角三角函数基本关系式以及充要条件的应用，是基础题．5．（2023•全国）已知函数f(A．(-3B．(-1C．(310D．(3【考点】正弦函数的单调性．【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】A【分析】根据已知条件，结合正弦函数的单调性，即可求解．【解答】解：f(令-π2+2kπ≤2πx-π5≤π当k＝0时，-3故f（x）在（-320，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．6．（2023•乙卷）已知等差数列{an}的公差为2π3，集合S＝{cosan|n∈N*}，若S＝{a，b}，则A．﹣1 B．-12 C．0 D【考点】三角函数的周期性．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；解三角形；运算求解．【答案】B【分析】根据等差数列的通项公式，三角函数的周期性，特值法，即可求解．【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，又公差为2π∴an∴cosan=cos又根据题意可知S集合中仅有两个元素，∴可利用对称性，对an取特值，如a1＝0，a2=2π3，a3=4π3代入集合S中计算易得：ab=-故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，三角函数的周期性，特值法，属中档题．7．（2023•天津）函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，且f（x）的一个周期为4，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）＝sin（π2x） B．f（x）＝cos（π2xC．f（x）＝sin（π4x） D．f（x）＝cos（π4【考点】余弦函数的对称性；正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学抽象．【答案】B【分析】由已知结合正弦函数及余弦函数的对称性及周期公式分别检验各选项即可判断．【解答】解：A：若f（x）＝sin（π2x），则T=2令π2x=π2+kπ，k∈Z，则x＝1+2k，kB：若f（x）＝cos（π2x），则T=2令π2x=kπ，k∈Z，则x＝2k，k故x＝2是一条对称轴，B符合题意；C：f（x）＝sin（π4x），则T=D：f（x）＝cos（π4x），则T=故选：B．【点评】本题主要考查了正弦及余弦函数的对称性及周期性，属于基础题．8．（2023•甲卷）已知f（x）为函数y=cos(2x+π6)向左平移π6个A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】C【分析】由题意，利用函数y＝Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：把函数y=左平移π6个函数f（x）＝cos（2x+π2）＝﹣sin2x的而直线y=12x-12=12（且直线还经过点（3π4，（-π4，0＜3π﹣1＜-π+4故y＝f（x）与y=12故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．9．（2023•上海）已知a∈R，记y＝sinx在[a，2a]的最小值为sa，在[2a，3a]的最小值为ta，则下列情况不可能的是（）A．sa＞0，ta＞0 B．sa＜0，ta＜0 C．sa＞0，ta＜0 D．sa＜0，ta＞0【考点】三角函数的最值；正弦函数的图象．【专题】整体思想；试验法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】D【分析】由题意可知a＞0，对a分别求值，排除ABC，即可得答案．【解答】解：由给定区间可知，a＞0．区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同．取a=π6，则[a，2a]＝[π6，π3]，区间[2a，3a]＝[π3，π2]，可知sa取a=5π12，则[a，2a]＝[5π12，5π6]，区间[2a，3a]＝[5π6，5π4]，可知s取a=7π6，则[a，2a]＝[7π6，7π3]，区间[2a，3a]＝[7π3，7π2]，可知s结合选项可得，不可能的是sa＜0，ta＞0．故选：D．【点评】本题考查正弦函数的图象与三角函数的最值，训练了排除法的应用，取特值是关键，是中档题．二．多选题（共1小题）（多选）10．（2024•新高考Ⅱ）对于函数f（x）＝sin2x和g(A．f（x）与g（x）有相同零点 B．f（x）与g（x）有相同最大值 C．f（x）与g（x）有相同的最小正周期 D．f（x）与g（x）的图像有相同的对称轴【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．【答案】BC【分析】根据零点的定义，三角函数的单调性、周期性、对称性逐项判断即可．【解答】解：对于A，令f（x）＝sin2x＝0，解得x=kπ2，k∈Z，即为f（令g（x）＝sin(2x-π4)=0，解得x=kπ2+π故f（x），g（x）零点不同，f（0）＝0，g（0）=-22对于B，f（x）∈[﹣1，1]，g（x）∈[﹣1，1]，两函数值域相同，故B正确；对于C，显然两函数最小正周期都为π，故C正确；对于D，由2x＝kπ+π2，k∈Z得，函数f（x）的对称轴是x=kπ2+由2x-π4=kπ+π2，k∈Z得，函数g（x）的对称轴是x=3故选：BC．【点评】本题主要考查三角函数的周期性、对称性、单调性，属于基础题．三．填空题（共8小题）11．（2024•甲卷）函数f（x）＝sinx-3cosx在[0，π]上的最大值是2【考点】三角函数的最值．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】将函数化简为正弦型函数，结合给定的范围，根据正弦函数的单调性判断即可．【解答】解：f（x）＝sinx-3cosx=2sin（x∈[0，π]，x-π3∈[-π3所以当x-π3=π2，x=f（x）max＝f（5π6）＝故答案为：2．【点评】本题考查三角函数的最值问题，属于简单题．12．（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈[π6，π3]，则cos【考点】两角和与差的三角函数．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】先求出β的范围，再结合余弦函数的单调性，即可求解．【解答】解：α与β的终边关于原点对称可得，α+π+2kπ＝β，k∈Z，cosβ＝cos（α+π+2kπ）＝﹣cosα，α∈[π6，π3]，所以cosβ∈[-32，-故当α=π3，β＝2kπ+4π3，k∈Z故答案为：-1【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．13．（2023•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y=12与曲线y＝f（x）的两个交点，若|AB|=π6，则f（π）＝【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】数形结合；分析法；三角函数的图象与性质；数学建模．【答案】见试题解答内容【分析】由A，B两点的位置入手，结合整体代换思想，先确定ω，再根据图象的位置，找出合乎条件的一个φ值，即可求解．【解答】解：由题意：设A（x1，12），B（x1+π6由y＝sin（ωx+φ）的图象可知：f（x1）＝sin（ωx1+φ）=12，故f（x2）＝sin[ω(x1+π6两式相减得：π6由图可知：T＜2π3-0＜2T，即∵ω＝4+12（k2﹣k1），k2﹣k1∈Z∴ω＝4，∴f（x）＝sin（4x+φ），又f（2π3）＝sin（8π3+φ）＝0，∴8π3+φ即φ=-8π3+kπ，k∈Z，∵f（0）＝∴当k＝2时，φ=-∴f∴f（π）＝sin（4π-2π3故答案为：-3【点评】本题主要考查根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象确定解析式的方法，属中档题．14．（2023•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是[2，3）．【考点】三角函数的周期性．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】利用余弦函数的周期，结合函数的零点个数，列出不等式求解即可．【解答】解：x∈[0，2π]，函数的周期为2πω（ω＞0），cosωx﹣1＝0，可得cosωx＝函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，可得2⋅2πω≤所以2≤ω＜3．故答案为：[2，3）．【点评】本题考查三角函数的周期的应用，函数的零点的应用，是基础题．15．（2023•全国）已知sin2θ=-13，若π4＜θ＜3π【考点】同角三角函数间的基本关系；二倍角的三角函数．【专题】计算题；整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】﹣3﹣22．【分析】利用二倍角公式得到sinθ＞0，cosθ＜0，则π2＜θ＜3π4，【解答】解：∵π4＜θ＜3π4，且sin2θ=2sinθcosθ∴π2＜θ＜3π∵sin2∴2sinθcosθ解得tanθ＝﹣3﹣22或﹣3+22（舍）．故答案为：﹣3﹣22．【点评】本题考查了三角函数的求值问题，属于中档题．16．（2023•北京）已知命题p：若α，β为第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝9π4（答案不唯一），β＝π4（答案不【考点】正弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；简易逻辑；逻辑思维．【答案】9π4（答案不唯一）；π4【分析】根据题意，举反例，即可得解．【解答】解：取α=π4+2则α＞β，但tanα＝tanβ，不满足tanα＞tanβ，∴命题p为假命题，∴能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α=9π4故答案为：9π4（答案不唯一）；π4【点评】本题考查命题的真假判断，属基础题．17．（2023•上海）已知tanα＝3，则tan2α＝-34【考点】求二倍角的三角函数值．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用正切函数的二倍角公式求解．【解答】解：∵tanα＝3，∴tan2α=2故答案为：-3【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．18．（2023•乙卷）若θ∈（0，π2），tanθ=13，则sinθ﹣cosθ＝-【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值；运算求解．【答案】-10【分析】根据三角函数的坐标定义，利用坐标法进行求解即可．【解答】解：∵θ∈（0，π2），tanθ=∴令x＝3，y＝1，设θ终边上一点的坐标P（3，1），则r＝|OP|=3则sinθ﹣cosθ=1故答案为：-10【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用坐标法进行求解是解决本题的关键，是基础题．四．解答题（共2小题）19．（2024•上海）已知f（x）＝sin（ωx+π3），ω＞（1）设ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0，π]的值域；（2）a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期为π，若在x∈[π，a]上恰有3个零点，求a的取值范围．【考点】三角函数的周期性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】（1）[-32，1]．（2）[7π【分析】（1）由题意，根据正弦函数的单调性，求出函数的最值，可得结论．（2）由题意，根据正弦函数的周期性和零点，求出a的取值范围．【解答】解：（1）当ω＝1时，f（x）＝sin（ωx+π3）＝sin（x因为x∈[0，π]，所以令t=根据y＝f（t）＝sint在[π3，所以函数的最大值为sinπ2=1，最小值为sin4π因此函数的值域为[-32，（2）由题知T=2πω=π，所以ω＝2，f（x）＝当f（x）＝0时，2x+π当k＝3时，x=4π3＞因此，a的取值范围为[7π3，【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．20．（2024•天津）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=916，b＝5，（1）求a的值；（2）求sinA的值；（3）求cos（B﹣2A）的值．【考点】两角和与差的三角函数；正弦定理；余弦定理．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）4；（2）74；（3）57【分析】（1）设a＝2k，则c＝3k，k＞0，利用余弦定理能求出a；（2）由同角三角函数关系式，先求出sinB．再由正弦定理求出sinA．（3）利用二倍角公式求出sin2A，再由同角三角函数关系式求出cos2A，利用两角差三角函数能求出cos（B﹣2A）．【解答】解：（1）在△ABC中，cosB=916，b＝设a＝2k，则c＝3k，k＞0，∴cosB=9解得k＝2，∴a＝2k＝4；（2）由（1）得a＝4，c＝6，sinB=1-(由正弦定理得asinA=b解得sinA=7（3）∵a＜b，sinA=74＜22=sinπ∴sin2A＝2sinAcosA＝2×7cos2A=1-(∴cos（B﹣2A）＝cosBcos2A+sinBsin2A=9=57【点评】本题考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函数关系式、两角差三角函数等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

考点卡片1．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为2π|ω|，y＝tan（ωx+φ）的③利用图象．图象重复的x的长度．3．正弦函数的图象【知识点的认识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（2kπ-π2，2kπ（k∈Z）；递减区间：（2kπ+π2，2kπ（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ-π2，kπ（k∈Z）最值x＝2kπ+π2（k∈Z）时，ymax＝x＝2kπ-π2（k∈ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+π2，k对称中心：（kπ+π2，0）（k∈对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（kπ2，0）（k∈Z无对称轴周期2π2ππ4．正弦函数的单调性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．5．正弦函数的奇偶性和对称性【知识点的认识】正弦函数的对称性正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+π2，k∈【解题方法点拨】例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝x=kπ2解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x=2而函数y＝sint的对称轴为t则2x-π4=kπ+则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x故答案为x=这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x-π【命题方向】这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．6．余弦函数的对称性【知识点的认识】余弦函数的对称性余弦函数y＝cosx是定义域为R的偶函数，也是周期函数，其对称轴为x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函数在对称轴上的值为最值，也可以看做是y轴平移kπ个单位后依然还是对称轴．【解题方法点拨】例：（中，三角函数的对称性）若函数y=cos(ωx+π3)（ω＞解：因为y＝cosx的图象相邻两条对称轴距离为π，要使y=cos(ωx+π3)的这里面应用了余弦函数的对称轴之间的间隔为半个周期的性质，从而转化为求周期的问题．【命题方向】这是个很基本的考点，也比较容易，但也非常重要，希望大家能够掌握．7．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的认识】函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T42．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为|φ|ω，而不是|8．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【知识点的认识】根据图象确定解析式的方法：在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A=M-m2，k=M+m2，ω9．三角函数的最值【知识点的认识】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【解题方法点拨】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝32+22cos（2x解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x=1-cos2x2-sin2x2=32+22cos故答案为：32+22cos（这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t=∴当t=1而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．【命题方向】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．10．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sin3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=2【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“kπ2±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α11．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα12．二倍角的三角函数【知识点的认识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α=2【解题方法点拨】例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是π．解：∵y＝sin2x+2sinxcosx=1-cos＝sin2x-12cos2=52sin（2x+φ）+12，（∴其周期T=2π故答案为：π．这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．【命题方向】本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．13．求二倍角的三角函数值【知识点的认识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α=2【解题方法点拨】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2αtan2﹣将具体角度值代入公式，求解二倍角的三角函数值．﹣验证计算结果的正确性．【命题方向】常见题型包括利用二倍角公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．已知tanα2=22，则解：因为tanα所以tanα=故答案为：2214．半角的三角函数【知识点的认识】半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tanα2=sinα2【解题方法点拨】例：函数y=sinx(1+tanx⋅tanx2解：∵y=sinx＝sinx+tanx（1﹣cosx）＝sinx+tanx﹣sinx＝tanx∴T＝π故答案为：π这个题的解题关键就是正切函数半角的转化，所用的公式就是这里列出来的上面一种，像这个问题的思路其实是简单的，就是化简，化成一个单独的三角函数，而且只能是把tanx化成正余弦函数．【命题方向】正切函数与正余弦函数之间的关系大家都比较了解，但半角的正切函数与正余弦关系也很重要，它是正切函数转化为正余弦函数的一个桥梁，所以大家一定要记住，并清楚它的推导．15．三角函数的恒等变换及化简求值【知识点的认识】三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．公式①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（π2+x）＝sin（π2-②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（π2-x）＝③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（π2-x）＝cot④余切函数有y＝cot（π2-x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cot【解题方法点拨】例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于解：sin60°=32，cos(-∴原式=3先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．【命题方向】本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．16．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形