2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之排列与组合

第14页（共14页）2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之排列与组合一．选择题（共7小题）1．（2024•台湾）想在5×5的棋盘上摆放4个相同的西洋棋的城堡棋子．由于城堡会将同一行或是同一列的棋子吃掉，故摆放时规定每一行与每一列最多只能摆放一个城堡．在第一列的第一、三、五格（如图示画叉的格子）不摆放的情况下，试问共有多少种摆放方式？（）A．216 B．240 C．288 D．312 E．3602．（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）A．C40045⋅C20015种C．C40030⋅C200303．（2023•甲卷）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A．120 B．60 C．40 D．304．（2023•乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种5．（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种6．（2021•乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种7．（2020•山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种 B．90种 C．60种 D．30种二．填空题（共6小题）8．（2022•上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为.（用数字作答）9．（2025•上海）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有种．10．（2024•新高考Ⅱ）在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是．11．（2024•全国）用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有个．12．（2024•上海）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．13．（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．

2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之排列与组合参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案DDBCBCC一．选择题（共7小题）1．（2024•台湾）想在5×5的棋盘上摆放4个相同的西洋棋的城堡棋子．由于城堡会将同一行或是同一列的棋子吃掉，故摆放时规定每一行与每一列最多只能摆放一个城堡．在第一列的第一、三、五格（如图示画叉的格子）不摆放的情况下，试问共有多少种摆放方式？（）A．216 B．240 C．288 D．312 E．360【考点】其他排列形式及其计算．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】D【分析】根据分类加法计数原理结合排列公式求解即可．【解答】解：在第一行摆放城堡有2×4×A4不在第一行摆放有A54故共有192+120＝312种摆法．故选：D．【点评】本题考查分类加法计数原理的应用，考查排列问题，是中档题．2．（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）A．C40045⋅C20015种C．C40030⋅C20030【考点】排列组合的综合应用．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】根据分层抽样先进行计算，然后利用组合公式进行求解即可．【解答】解：∵初中部和高中部分别有400和200名学生，∴人数比例为400：200＝2：1，则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，则有C40040故选：D．【点评】本题主要考查分层抽样以及简单的计数问题，利用组合公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．3．（2023•甲卷）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A．120 B．60 C．40 D．30【考点】排列组合的综合应用．【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】B【分析】先选连续参加两天服务的人，再分别给星期六，星期日选人，然后根据分步乘法计数原理计算即可．【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有C51然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有C41根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．故选：B．【点评】本题考查了排列组合简单计数问题，属于基础题．4．（2023•乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种【考点】排列组合的综合应用．【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】C【分析】根据排列组合数公式，即可求解．【解答】解：根据题意可得满足题意的选法种数为：C61故选：C．【点评】本题考查排列组合问题，属基础题．5．（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【考点】部分元素相邻的排列问题．【专题】计算题；整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】B【分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A22甲站在两端的情况有C21∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48﹣24＝24种，故选：B．【点评】本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题．6．（2021•乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种【考点】简单排列问题．【专题】转化思想；转化法；排列组合；运算求解．【答案】C【分析】5名志愿者先选2人一组，然后4组全排列即可．【解答】解：5名志愿者选2个1组，有C52种方法，然后4组进行全排列，有共有C52故选：C．【点评】本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题．7．（2020•山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种 B．90种 C．60种 D．30种【考点】排列组合的综合应用．【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】C【分析】让场馆去挑人，甲场馆从6人中挑一人有：C61=6种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有：C52【解答】解：因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，甲场馆从6人中挑一人有：C61乙场馆从余下的5人中挑2人有：C52余下的3人去丙场馆；故共有：6×10＝60种安排方法；故选：C．【点评】本题考查排列组合知识的应用，考查运算求解能力，是基础题．二．填空题（共6小题）8．（2022•上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为17.（用数字作答）【考点】数字问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】17．【分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有2A33＝12种情况，即有12个符合题意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6﹣1＝5个比2134大的四位数，故有12+5＝17个比2134大的四位数，故答案为：17．【点评】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．9．（2025•上海）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有288种．【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．【专题】对应思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】288．【分析】先安排特殊位置，再安排剩下元素，最后由分步乘法计算原理即可求得．【解答】解：先选2个家长排在队列的头和尾的排法数为：A4剩下的家长和儿童全排的排法种数为：A4由分步乘法计算原理可得，不同的排列个数有12×24＝288种．故答案为：288．【点评】本题考查部分元素有限制的排列问题，属于基础题．10．（2024•新高考Ⅱ）在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有24种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是112．【考点】排列组合的综合应用．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】利用排列数公式能求出选法总数，在所有符合上述要求的选法中，分析各选项的数据，能求出选中方格的4个数之和的最大值．【解答】解：在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有A44每种选法可标记为{a，b，c，d}，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有可能的结果为：（11，22，33，44），（11，22，34，43），（11，22，33，44），（11，22，34，42），（11，24，33，43），（11，24，33，42），（12，21，33，44），（12，21，34，43），（12，22，31，44），（12，22，34，40），（12，24，31，43），（12，34，33，40），（13，21，33，44），（13，21，34，42），（13，22，31，44），（13，22，34，40），（13，24，31，42），（13，24，33，40），（15，21，33，43），（15，21，33，42），（15，22，31，43），（15，22，33，40），（15，22，31，42），（15，22，33，40），在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和最大的是（15，21，33，43），最大值是：15+21+33+43＝112．故答案为：24；112．【点评】本题考查排列数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（2024•全国）用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有280个．【考点】简单排列问题．【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】280．【分析】根据排列数公式，先排个位，再排其余，即可求解．【解答】解：∵1，2，…，9这9个数字中奇数共有5个，∴用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有A51故答案为：280．【点评】本题考查排列数公式的应用，属基础题．12．（2024•上海）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值329．【考点】排列组合的综合应用．【专题】转化思想；转化法；排列组合；运算求解．【答案】329．【分析】根据已知条件，结合组合数、排列数公式，并分类讨论，即可求解．【解答】解：由题可知，集合A中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数，先研究集合中无重复数字的三位偶数：（1）若个位为0，这样的偶数有P9（2）若个位不为0，这样的偶数有C4所以集合元素个数最大值为256+72+1＝329种．故答案为：329．【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，属于中档题．13．（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种（用数字作答）．【考点】排列组合的综合应用．【专题】分类讨论；定义法；排列组合；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】利用分类计数原理进行计算即可．【解答】解：若选2门，则只能各选1门，有C4如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，则有C41C4综上共有16+48＝64种不同的方案．故答案为：64．【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．

考点卡片1．数字问题【知识点的认识】﹣数字问题涉及数字的排列组合、数字的特性以及数位的安排．例如：求解由数字构成的不同整数的数量、分析某一数字在特定数位上的可能性、或求解满足特定条件的整数个数．﹣数字问题通常涉及到计数原理在数字排列中的应用，以及整数的分配与组合．【解题方法点拨】﹣首先分析题目中的数字特性，如数字的范围、允许的重复次数等．﹣使用排列数或组合数来计算数字的不同排列组合方式，必要时采用分类讨论的方式处理特殊情况．﹣在涉及限制条件（如某些数位必须满足特定要求）时，先处理限制条件，再进行组合计算．【命题方向】﹣典型的数字问题命题包括：计算由给定数字组成的不同整数的数量，或者确定某一数位上特定数字出现的频率．﹣可能涉及到数字排列的特殊情况，如求解满足某些数位条件的整数个数，或计算某些数字在排列中的特定组合数量．﹣在更复杂的问题中，可能需要结合多种计数方法，如递推公式或生成函数来处理数字的排列组合．2．简单排列问题【知识点的认识】﹣简单排列问题通常涉及无任何限制条件的排列情况．n个不同元素的全排列总数为An﹣该类问题通常是排列问题的基础，强调对基本排列公式的理解与应用．【解题方法点拨】﹣直接应用排列公式进行计算．对于全排列问题，计算阶乘即可得到排列数．﹣在计算过程中，注意排列数中的阶乘表示法，并理解排列的意义．﹣对于涉及排列的实际问题，可以通过具体化问题，将其转化为排列数计算．【命题方向】﹣基本排列问题的命题常见于简单元素排列的计算，如全排列数的求解、特定位置的排列数计算．﹣可能涉及对排列数公式的直接应用，以及对排列问题的基础性理解与操作．3．部分位置的元素有限制的排列问题【知识点的认识】﹣部分位置的元素排列受限是指在排列问题中，某些元素只能出现在特定位置或区域．例如：特定元素只能出现在排列的前几位或某些位置．﹣这种问题通常要求考生在处理排列时，先考虑限制条件，再进行一般排列．【解题方法点拨】﹣处理此类问题时，首先对有限制的部分进行排列，将有限制的元素排好位置，然后对剩余元素进行排列组合．﹣使用乘法原理，将有限制的排列与剩余元素的排列相乘得到总数．﹣对于较复杂的限制条件，可能需要分类讨论，并对每种情况进行单独计算．【命题方向】﹣常考察在特定位置或区域内元素的排列，如规定某些元素必须在前几位，或必须固定在某些位置的排列问题．﹣命题可能涉及多重限制条件的综合分析，要求考生灵活运用排列数公式．4．部分元素相邻的排列问题【知识点的认识】﹣部分元素相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须相邻排列．例如：在排列中，两个或多个元素必须排在一起．﹣这类问题通常通过将相邻元素视为一个整体来简化排列．【解题方法点拨】﹣通过将相邻的元素看作一个整体，然后对这个整体和其他元素一起进行排列．最后，再对这个整体内部的元素进行排列．﹣使用乘法原理，将整体的排列与内部元素的排列相乘，得到总的排列数．﹣对于涉及多个相邻元素的问题，可以进行多重整体处理，逐层递进排列．【命题方向】﹣常见命题方向包括要求特定元素相邻的排列问题，或多组元素必须相邻排列的情况．﹣题目可能涉及多个相邻条件的处理，要求考生灵活应用相邻元素排列的策略．5．其他排列形式及其计算【知识点的认识】﹣其他排列形式包括环形排列、多重排列等特殊形式的排列问题．环形排列是一种特殊排列，因首尾相连，所以排列数与线性排列不同．﹣多重排列指存在相同元素的排列问题，计算时需要考虑重复元素的排列数量．【解题方法点拨】﹣在环形排列中，n个元素的环形排列数为(n-1)!﹣在处理多重排列时，使用多重排列公式n!n1!n2!⋯nk!﹣对于涉及多个重复元素的排列问题，可能需要结合分步排列与组合计算．【命题方向】﹣可能要求考生计算环形排列、对称排列或存在重复元素的排列问题．﹣命题可能涉及复杂排列形式的组合，如同时涉及环形排列和多重排列的问题，或要求证明特定排列形式的规律．6．排列组合的综合应用【知识点的认识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问