北京市初中数学试卷二元一次方程组易错压轴解答题题分类汇编

北京市初中数学试卷二元一次方程组易错压轴解答题题分类汇编一、二元一次方程组易错压轴解答题1．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和辆B型车装满货物一次可运货11吨某公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且每辆车恰好装满货物．根据以上信息解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该公司设计共有几种租车方案？2．已知关于x，y的方程满足方程组．（1）若x﹣y=2，求m的值；（2）若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子|m﹣3|+|m﹣4|；（3）在（2）的条件下求s=2x﹣3y+m的最小值及最大值．3．文雅书店出售A，B两种书籍，已知A书籍单售为每本50元，B书籍单售为每本30元，整套(A，B各一本)出售为每套70元。（1）小明购买了A，B两种书籍共20本，且购买的B书籍数量比A书籍数量的2倍少4本。①小明购买了A，B两种书籍各多少本？②小明至少需要花费多少钱？（2）如果小刚花了600元购买A，B两种书籍，其中A书籍购买了8本，那么有哪几种购买方案？其中哪一种方案最划算？4．在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B(b，0)，a、b满足方程组，C为y轴正半轴上一点，且.（1）求A、B、C三点的坐标；（2）是否存在点D（t，-t）使？若存在，请求出D点坐标；若不存在，请说明理由.（3）已知E(-2，-4)，若坐标轴上存在一点P，使，请求出P的坐标.5．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有220人，在乙处植树的有96人.（1）若要使甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，应从乙处调多少人去甲处?（2）为了尽快完成植树任务，现调m人去两处支援，其中，若要使甲处植树的人数仍然是乙处植树人数的3倍，则应调往甲，乙两处各多少人?6．已知关于x，y的二元一次方程组（a为实数）．（1）若方程组的解始终满足y=a+1，求a的值．（2）己知方程组的解也是方程bx+3y=1(b为实数，b≠0且b≠-6)的解．①探究实数a，b满足的关系式．②若a，b都是整数，求b的最大值和最小值．7．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元(进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台?（3）在(2)的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标?若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由。8．对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”：a※b＝a+kb，a*b＝ka+b（其中k为常数，且k≠0），若对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），有点P′的坐标（a※b，a*b）与之对应，则称点P的“k衍生点”为点P′．例如：P（1，3）的“2衍生点”为P′（1+2×3，2×1+3），即P′（7，5）．（1）点P（﹣1，5）的“3衍生点”的坐标为________；（2）若点P的“5衍生点”P的坐标为（9，﹣3），求点P的坐标；（3）若点P的“k衍生点”为点P′，且直线PP′平行于y轴，线段PP′的长度为线段OP长度的3倍，求k的值．9．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（a，3），B（b，6），C（m+6，1），且a，b满足（1）请用含m的式子表示A，B两点的坐标；（2）如图，点A在第二象限，点B在第一象限，连接A、B、C、O四点；①若点B到y轴的距离不小于点A到y轴距离的2倍，试求m的取值范围；②若三角形AOC的面积等于三角形ABC面积的，求实数m的值.10．如图，已知和的度数满足方程组，且.（1）分别求和的度数；（2）请判断与的位置关系，并说明理由；（3）求的度数。11．已知为三个非负数，且满足（1）用含的代数式分别表示得（2）若求S的最小值和最大值.12．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题：（1）填空：①下列两位数：，，中，“迥异数”为________．②计算：________，________．（2）如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且；另一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”和．（3）如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，另一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且满足，请直接写出满足条件的所有的值________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二元一次方程组易错压轴解答题1．（1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨根据题意，得：{2x+y=10x+2y=11，解方程组得：{x=3y=4，答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一解析：（1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨根据题意，得：，解方程组得：，答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨.（2）解：根据题意，得：∴，∵a，b都是正整数∴，，∴共有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车1辆；方案二：A型车9辆，B型车1辆；方案三：A型车9辆，B型车1辆；【解析】【分析】（1）此题关键的已知条件：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和辆B型车装满货物一次可运货11吨，这就是两个等量关系，设未知数，列方程组求出方程组的解即可。（2）此题等量关系为：租用A型车的数量×1辆A型车一次运货的数量+租用B型车的数量×1辆B型车一次运货的数量=31，列出关于a，b的二元一次方程，求出此二元一次方程的整数解，即可得到租车的方案。2．（1）解：，①﹣②×2得：﹣x=﹣m+3，即x=m﹣3，把x=m﹣3代入②得：2m﹣6+y=m﹣1，即y=﹣m+5，把x=m﹣3，y=﹣m+5代入x﹣y=2中，得：m﹣3+m﹣5=解析：（1）解：，①﹣②×2得：﹣x=﹣m+3，即x=m﹣3，把x=m﹣3代入②得：2m﹣6+y=m﹣1，即y=﹣m+5，把x=m﹣3，y=﹣m+5代入x﹣y=2中，得：m﹣3+m﹣5=2，即m=5；（2）解：由题意得：，解得：3≤m≤5，当3≤m≤4时，m﹣3≥0，m﹣4≤0，则原式=m﹣3+4﹣m=1；当4<m≤5m﹣3≥0，m﹣4≥0，则原式=m﹣3+m﹣4=2m﹣7；（3）解：根据题意得：s=2m﹣6+3m﹣15+m=6m﹣21，∵3≤m≤5，∴当m=3时，s=﹣3；m=5时，s=9，则s的最小值为﹣3，最大值为9．【解析】【分析】（1）把m看做已知数表示出方程组的解，得到x与y，代入x-y=2求出m的值即可；（2）根据x，y为非负数求出m的范围，判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（3）把表示出的x与y代入s，利用一次函数性质求出最大值与最小值即可．3．（1）解：①设小明购买了A书籍x本、B书籍y本，则由题意得：{x+y=20y=2x-4得：{x=8y=12答：小明购买了A书籍8本、B书籍12本②花费最少的方案为：购买8套书籍解析：（1）解：①设小明购买了A书籍x本、B书籍y本，则由题意得：得：答：小明购买了A书籍8本、B书籍12本②花费最少的方案为：购买8套书籍和4本B书籍，即：8×70+4×30=680(元)答：至少需要花费680元（2）解：设单独购买A书籍a本，B书籍b本，整套购买c套，则50a+30b+70c=600①c=8-a②将②代入①，整理得：a=b-2，∵a，b均为正整数，且a≤8，∴，，∴有三种购买方案：方案一：单买A书籍1本，单买B书籍2本，整套买7套，共得A书籍8本，B书籍9本；方案二：单买A书籍4本，单买B书籍4本，整套买4套，共得A书籍8本，B书籍8本；方案三：单买A书籍7本，单买B书籍6本，整套买1套，共得A书籍8本，B书籍7本。其中方案一最划算【解析】【分析】（1）①设小明购买了A书籍x本、B书籍y本，根据小明购买A类书籍的数量+购买B类书籍的数量=20本，及购买的B书籍数量=A书籍数量的2倍-4本列出方程组，求解即可；②根据题干提供的信息可知，A,B两类书籍成套购买更划算，根据①的计算结果可得购买8套书籍和4本B书籍即是花费最少的购书方案，进而根据有理数的混合运算即可解决问题；（2）设单独购买A书籍a本，B书籍b本，整套购买c套，根据单独购买A类书籍的a本费用+单独购买B类书籍b本的费用+整套购买c套的费用=600及A书籍购买了8本列出方程组，求出该方程组的正整数解即可解决问题.4．（1）解：方程组{a+b=-2a-b=-4，解得：{a=-3b=1，∴A（-3，0），B（1，0），∵c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6，∴12AB×OC=6，解得OC解析：（1）解：方程组，解得：，∴A（-3，0），B（1，0），∵c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6，∴AB×OC=6，解得OC=3，∴C（0，3）；（2）解：∵D（t，-t），且S△PAB=S△ABC，∴×4×|t|＝×6，解得t=±1，∴D（1，-1）或（-1，1）；（3）解：如图，∵，E（-2，-4），设点P坐标为（m，0），当点P在x轴上时，，解得m=±3，∴点P的坐标为（3，0）或（-3，0）；当点P在y轴上时，，解得m=±6，∴点P的坐标为（0，6）或（0，-6）；综上：坐标轴上存在点P，坐标为（3，0）或（-3，0）或（0，6）或（0，-6）；【解析】【分析】（1）解出方程组即可得到点A，B的坐标，利用S△ABC=6，求出点C的坐标；（2）利用求出点D的坐标即可；（3）设点P（m，0），分点P在x轴和在y轴两种情况讨论，结合点E坐标和△ABC的面积分别求出点P坐标.5．（1）解：设应从乙处调x人到甲处，则乙处剩下（96-x）人，列方程得：解得：x=17（2）解：设调往甲处y人，甲处现有（220+y）人，则调往乙处（m-y）人，乙处现有（96+解析：（1）解：设应从乙处调x人到甲处，则乙处剩下（96-x）人，列方程得：解得：x=17（2）解：设调往甲处y人，甲处现有（220+y）人，则调往乙处（m-y）人，乙处现有（96+m-y）人，由此可得方程：∴∴∵，y<m,m，y均为整数当m=91时：（舍去）当m=92时：当m=93时：（舍去）当m=94时：（舍去）当m=95时：（舍去）当m=96时：当m=97时：（舍去）当m=98时：（舍去）当m=99时：（舍去）综上所述：当m=92时：则应调往甲处各86人，乙处6人当m=96时：则应调往甲处各89人，乙处7人答：（1）应从乙处调7人去甲处；（2）当m=92时：则应调往甲处各86人，乙处6人当m=96时：则应调往甲处各89人，乙处7人【解析】【分析】（1）设应从乙处调x人到甲处，则乙处剩下（96-x）人，根据甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍得出方程，求出x的值；（2）设调往甲处y人，甲处现有（220+y）人，则调往乙处（m-y）人，乙处现有（96+m-y）人，此时甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，由此可得方程：.解此方程后即得调往乙处的人数，进而求出调往甲处多少人.6．（1）解：将方程组②-①，得3y=6a-3∴y=2a-1∵y=a+1∴2a-1=a+1∴a=2（2）解：①将y=2a-1代入方程①，可得x=a+2∴方程组的解为{x=a+2y=解析：（1）解：将方程组②-①，得3y=6a-3∴y=2a-1∵y=a+1∴2a-1=a+1∴a=2（2）解：①将y=2a-1代入方程①，可得x=a+2∴方程组的解为∵方程组的解也是方程bx+3y=1的解∴b(a+2)+3(2a-1)=1∴ab+6a+2b=4②由ab+6a+2b=4可得b=∴b=∵a，b都是整数∴a+2=±1，±2，±4，±8，±16∴当a+2=1时，b有最大值10；当a+2=-1时，b有最小值-22【解析】【分析】（1）把a看成已知数，解关于x、y的方程组，解得y用a来表示，再将已知式y=a+1代入解得a的值即可。（2）①将y=2a-1代入方程①，使x也用a来表示，

将x、y的值代入bx+3y=1中，则a、b的关系式可求。

②要求b的最大值和最小值，将a、b的关系式变形，使b用a来表示，因为a、b都是整数，根据整数的特点，把b的关系式变形，使分子不含有字母，以便取整数。列出所有符合条件的a+2值，找出b的最大值和最小值即可。7．（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得：{3x+4y=12005x+6y=1900解得{x=200y=150答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别解析：（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得：解得答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元（2）解：设釆购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(50-a)台依题意得：160a+120(50-a)≤7500，解得：a≤37答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元（3）解：根据题意得：(200-160)a+(150-120)(50-a)>1850解得：a>35，∵a≤37，且a应为整数，∴在(2)的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：当a=36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当a=37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台【解析】【分析】

（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据第一周和第二周的销售情况分别列方程，组成二元一次方程组，解出x、y值即可。（销售收入=A种型号的销售数量×A种型号的单价+B种型号的销售数量×B种型号的单价）；（2）设釆购A种型号电风扇a台，根据购买金额不超过7500元列一元一次不等式，解不等式，在a的取值范围内取最大整数即可。（购买金额=A种型号的进价×A种型号的数量+B种型号的进价×B种型号的数量）；（3）根据超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元列一元一次不等式，解不等式，求出a的范围，结合题（2）的a的范围，得出a的可能取值，根据a的取值分别列出可行方案。

8．（1）（14，2）（2）解：设P（x，y）依题意，得方程组．解得{x=-1y=2．∴点P（﹣1，2）（3）解：设P（a，b），则P′的坐标为（a+kb，ka+b）．∵解析：（1）（14，2）（2）解：设P（x，y）依题意，得方程组．解得．∴点P（﹣1，2）（3）解：设P（a，b），则P′的坐标为（a+kb，ka+b）．∵PP′平行于y轴∴a＝a+kb，即kb＝0，又∵k≠0，∴b＝0．∴点P的坐标为（a，0），点P'的坐标为（a，ka），∴线段PP′的长度为|ka|．∴线段OP的长为|a|．根据题意，有|PP′|＝3|OP|，∴|ka|＝3|a|．∴k＝±3．【解析】【解答】解：（1）点P（﹣1，5）的“3衍生点”P′的坐标为（﹣1+3X5，﹣1X3+5），即（14，2），故答案为：（14，2）；【分析】（1）根据定义的两种新运算的计算方法求得P（1,3）的3衍生点坐标即可；（2）设P的坐标为（x,y）,根据本题定义的两种新运算方法分别列式，组成方程组，求得x、y,得到P点坐标；（3）设P（a，b），由新运算方法得到P′的坐标为（a+kb，ka+b）

，由PP'∥y轴，则此两点的横坐标相等，据此列式，求得b=0,将b值代入P、P'点坐标，把PP’的长度用含a的代数式表示，再求得OP的长度表达式，根据|PP′|＝3|OP|列式求出k值即可。9．（1）解：，②×3-①得，7a=7m，解得，a=m，把a=m代入①得，b=m+4，则A点的坐标为（m，3），B点的坐标为（m+4，6）；（2）解：①∵点A在第二象限，点B在第解析：（1）解：，②×3-①得，7a=7m，解得，a=m，把a=m代入①得，b=m+4，则A点的坐标为（m，3），B点的坐标为（m+4，6）；（2）解：①∵点A在第二象限，点B在第一象限，∴m＜0，m+4＞0，解得，-4＜m＜0，由题意得，m+4≥-2m，解得，m≥-，则-≤m＜0；②△AOC的面积=×（1+3）×（m+6-m）-×（-m）×3-×（m+6）×1=m+9，△ABC的面积=×（3+5）×（m+6-m）-×（m+4-m）×3-×（m+6-m-4）×5=13，由题意得，m+9=×13，解得，m=-.【解析】【分析】（1）解二元一次方程组求出a，b的值，即可用含m的式子表示A，B两点的坐标；（2）①根据点的坐标性质、结合题意列出不等式，计算即可；②分别求出△ABC的面积和△AOC的面积，根据题意列方程，解方程得到答案.10．（1）解：解方程组，①-②得：，解得：把代入②得：解得：；（2）解：AB//CD，理由：∵，，，(同旁内角互补，两直线平行解析：（1）解：解方程组，①-②得：，解得：把代入②得：解得：；（2）解：，理由：∵，，，(同旁内角互补，两直线平行)，又，；（3）解：，.【解析】【分析】（1）利用加减消元法，通过解二元一次方程组可求出和的度数；（2）利用求得的和的度数可得到，于是根据平行线的判定可判断AB∥EF，然后利用平行的传递性可得到AB∥CD；（3）先根据垂直的定义得到，再根据平行线的性质计算的度数.11．（1）z-10|-2z+40（2）解：∵x=z-10，y=-2z+40；∴S=3（z-