不等式及其解集讲义人教版数学七年级下册

11.1.1不等式及其解集讲义人教版（2024）初中数学七年级下册一、知识点回顾1.1不等式的定义

用符号>（大于）、<（小于）、≥（大于或等于）、≤（小于或等于）连接的式子称为不等式。

特征：表示两个量之间的大小关系。

示例：

3x+21.2不等式的解与解集

1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值。

例如：x=3是2x>4的解，因为2×3=6>4。

1.3解集的表示方法

1.不等式表示法：直接写出解的范围，如x≥−1。

2.数轴表示法：

空心圆圈∘：表示不包含该点（如x>2）。

实心圆圈•：表示包含该点（如x≥二、重难点讲解2.1不等式与方程的区别

本质区别：

方程表示相等关系，解通常是有限个值；

不等式表示不等关系，解通常是无限个值（解集）。

示例对比：

方程2x=6的解是x=3；

不等式2.2解集的无限性与数轴表示

难点：理解解集的无限性，并正确用数轴表示。

关键方法：

1.确定边界点（如x=2）；

2.判断是否包含边界点（选择空心或实心）；

3.根据不等号方向画箭头。

2.3验证解的正确性

步骤：将数值代入不等式，检验是否成立。

示例：判断x=03三、易错点与解题方法3.1常见易错点

1.符号方向混淆：

例如：解集为x<5，但在数轴上向右画箭头。

2.边界点处理错误：

例如：x≥3误用空心圆圈表示。

3.漏解或多解：

例如：解2x>3.2解题技巧与方法

1.分步验证法：

写出解集后，任选解集内、外的值代入验证。

示例：解集x≤4，验证x=4（成立）和x=5（不成立）。

2.数轴绘制规范：

步骤：

1.画数轴并标出原点、单位长度；

2.标出边界点；

3.根据符号画圆圈和箭头。

4.语言描述转换：

将实际问题中的语言转化为不等式。

示例：

“a至少为5”→a≥【分层作业】【基础版】一、选择1.(单选)对于不等式4x+7（x2）＞8不是它的解的是（

）A.5B.4C.3D.22.(单选)14.不是下列哪个不等式的解（

）A.B.C.D.3.(单选)下列说法中，正确的是（

）A.是不等式的一个解B.是不等式的解集C.不等式的解集是D.是不等式的解集4.(单选)下列不等式的解集中，不包括的是（

）A.B.C.D.5.(单选)下面各数中，是不等式的解的是（

）．A.B.C.D.6.(单选)关于x的不等式x－a≥1.若x＝1是不等式的解，x＝－1不是不等式的解，则a的范围为（

）A.－2≤a≤0B.－2＜a＜0C.－2≤a＜0D.－2＜a≤07.(单选)下列说法中正确的是（）A.是不等式的一个解B.是不等式的解集C.是不等式的唯一解D.不是不等式的解8.(单选)定义新运算“”，规定：．若关于的不等式的解集为，则的值为（

）A.2B.1C.D.二、填空1.若不等式组无解，则的取值范围是

2.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为

．3.如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为

．4.已知x=4是不等式ax3a1＜0的解，x=2不是不等式ax3a1＜0的解，则实数a的取值范围是

．5.已知对，，且，则

.6.当=

时，不等式永远成立．7.请写出适合不等式的一组整数解

．8.已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，那么的取值范围是

．三、解答1.下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）：维生素的含量维生素的含量成本654现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？

2.解不等式组，请按下列步骤完成解答．(1)解不等式①得

．(2)解不等式②得

．(3)把不等式的解集在数轴上表示出来；(4)原不等式组的解集是

．3.新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题：(1)的“青一区间”是

；的“青一区间”是

．(2)若无理数（a为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值；(3)实数x，y，m满足关系式：求m的算术平方根的“青一区间”．4.由于小于6的每一个数都是不等式x－1<6的解，所以这个不等式的解集是x＜6.这种说法对不对？5.小光在一条东西方向的马路上行走，向东走5米记作米．(1)则向西走米记作___________米；(2)小光从出发点出发，前4次行走依次记作，，，（单位：米），则他第5次需要向___________走___________米，才能恰好回到出发点；(3)小光从出发点出发，将连续的4次行走依次记作，，，（单位：米）．如果此时他位于出发点西侧，则的取值范围是___________．此时小光共行走了多少米？（用含m的代数式表示，并化简）6.若一元一次不等式（组）①的解都是一元一次不等式（组）②的解，则称一元一次不等式（组）②是一元一次不等式（组）①的覆盖不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的覆盖不等式．根据以上信息，回答问题：(1)请你判断：不等式_______不等式的覆盖不等式（填“是”或者“不是”）；(2)若关于x的不等式是的覆盖不等式，且也是关于x的不等式的覆盖不等式，求a的值；(3)若关于x的不等式组是关于x的不等式组的覆盖不等式，求出m的取值范围．7.如图1，在平面直角坐标系中点，，点C在∠AOB的平分线上，且点C到x轴、y轴的距离均为6．(1)直接写出点C的坐标：_________；(2)直线轴且过点，P为l上一动点，设，若，求m的取值范围．(3)如图2，E为y轴上一点（点E在点B的上方），过点A作交CO延长线于点F，BD平分∠EBC，延长DB交CF于点Q，探究∠F与∠CQD的数量关系，并证明你的结论．8.不等式的解集x<3与x≤3有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来．9.试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：（1）是不等式的一个解；（2），，0都是不等式的解；（3）不等式的正整数解只有1，2，3；（4）不等式的非正整数解只有，，0；（5）不等式的解中不含0．10.下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？(1)；(2)．11.求证：当时，一定比小．12.设A＝（3x2﹣2）﹣2（x2+x﹣1）．（1）当x＝2时，求A的值；（2）若A的值为正，请写出满足条件的x的值：（写出一个即可）．

【进阶版】一、选择1.(单选)已知关于的不等式的解集为，则下列关于的不等式中，解集为的是（

）．A.B.C.D.2.(单选)如果，那么不等式组的解集是（

）A.B.C.D.无解3.(单选)若，且，则的值可能是（

）．A.B.C.D.4.(单选)已知关于的不等式，可化为，试化简，正确的结果是（

）．A.B.C.D.5.(单选)下列各数中，是不等式的解的是（

）．A.B.C.D.6.(单选)已知，则不等式的解集是（

）．A.B.C.D.7.(单选)若，且，则的取值范围（

）．A.B.C.D.8.(单选)下列方程或不等式的解法正确的是（

）．A.由，得B.由，得C.由，得D.由，得二、填空1.已知，且，则的取值范围是

．2.若关于的不等式解集为，化简

．3.满足的的最小正整数为

．4.若，且，则的取值范围为

．5.若表示负数，则需要满足的条件为

．6.当时，把、、按从小到大的顺序排列

．7.若不等式的解集为，则，满足的条件是

．8.利用不等式的性质，用“”或“”号填空：若，则

．三、解答1.求不等式的负整数解．2.【发现问题】已知，求的值．方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值．方法二：将①②，求出的值．【提出问题】怎样才能得到方法二呢？【分析问题】为了得到方法二，可以将①②，可得．令等式左边，比较系数可得，求得．【解决问题】(1)请你选择一种方法，求的值．(2)对于方程组，利用方法二的思路，求的值．(3)【迁移应用】已知，求的范围．3.先阅读下例，再解答问题，例：解不等式．解：把不等式进行整理，得，即，则有①或②解不等式组①得．解不等式组②知其无解，故原不等式的解集为，请根据以上解不等式的思想解不等式．4.先阅读，理解下面例题，再按要求解答例题：解一元二次不等式，解：∵，∴，由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②，解不等式组①得，，解不等式组②得，，故不等式的解集为或．问题：求分式不等式的解集．5.分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①或②解不等式组①得，解不等式组②得．所以原不等式的解集为或．请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．6.将下列不等式化成””或””的形式：(1)．(2)．7.先阅读理解下面的例题，再按要求完成下列问题．例题：解不等式．解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有或．解不等式组，得．解不等式组，得．所以不等式的解集为或．请你根据上面的解法，求不等式的解集．8.若，且、均为正整数，求的最小值．If,alsoandarepositiveintegers,findtheminimumvalueof.9.把下列不等式化成或的形式．(1)．(2)．(3)．10.先阅读下例，在解答问题．例：解不等式．解：移项，通分，得，整理，即①或②，不等式组①的解集，不等式组②无解，所以原不等式的解集为．请根据以上解不等式思想解不等式．11