2025年中考试题：几何图形强化篇-平行四边形的面积计算与证明

2025年中考试题：几何图形强化篇——平行四边形的面积计算与证明考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.小明在课堂上被老师提问关于平行四边形面积计算的问题，他给出了以下四个公式，其中正确的是（）。A.平行四边形的面积等于底乘以高B.平行四边形的面积等于对角线乘以对角线的交点到对角线端点的距离C.平行四边形的面积等于两条对角线的乘积除以2D.平行四边形的面积等于两条相邻边乘积的正弦值（解析：平行四边形的面积公式是底乘以高，这是基础中的基础，小明应该知道这个。选项B、C、D都是错误的，对角线乘以对角线的交点到对角线端点的距离和两条对角线的乘积除以2都不是平行四边形面积的计算方法，而两条相邻边乘积的正弦值是三角形面积的公式，跟平行四边形没直接关系。小明应该选A，这个是他应该掌握的。）2.一个平行四边形的底是6厘米，高是4厘米，那么这个平行四边形的面积是多少平方厘米？（）A.24B.12C.10D.48（解析：这个题很简单，直接用公式计算就行，6乘以4等于24，所以小明应该选A。）3.如果一个平行四边形的面积是36平方厘米，底是9厘米，那么这个平行四边形的高是多少厘米？（）A.4B.6C.8D.2（解析：这个题是逆向思维，知道面积和底，求高，用面积除以底就行，36除以9等于4，所以小明应该选A。）4.下列哪个图形一定是平行四边形？（）A.有一个角是直角的四边形B.对角线互相平分的四边形C.四条边都相等的四边形D.有两条边平行的四边形（解析：这个题考的是平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形一定是平行四边形，这是平行四边形的一个重要性质，小明应该选B。）5.一个平行四边形的两条对角线分别是10厘米和8厘米，那么这个平行四边形的面积是多少平方厘米？（）A.40B.36C.80D.无法计算（解析：这个题需要用平行四边形面积公式，对角线乘积的一半，10乘以8除以2等于40，所以小明应该选A。）6.两个平行四边形的底和高分别相等，那么这两个平行四边形的面积（）。A.一定相等B.可能相等，也可能不相等C.一定不相等D.无法确定（解析：这个题很简单，底和高分别相等，面积当然相等，小明应该选A。）7.一个平行四边形的面积是48平方厘米，其中一条边长是8厘米，这条边上的高是（）。A.6厘米B.7厘米C.8厘米D.9厘米（解析：这个题也是逆向思维，知道面积和底，求高，48除以8等于6，所以小明应该选A。）8.下列哪个图形的面积计算公式与平行四边形的面积计算公式相同？（）A.三角形B.梯形C.长方形D.圆形（解析：这个题考的是图形面积公式的联系，三角形的面积是底乘以高除以2，梯形的面积是上底加下底乘以高除以2，长方形的面积是长乘以宽，圆形的面积是π乘以半径的平方，只有长方形和平行四边形的面积计算公式相同，都是底乘以高，所以小明应该选C。）9.一个平行四边形的一条对角线把平行四边形分成了两个（）。A.等腰三角形B.等边三角形C.全等三角形D.不全等三角形（解析：这个题考的是平行四边形的性质，平行四边形的一条对角线把平行四边形分成了两个全等三角形，这是平行四边形的一个重要性质，小明应该选C。）10.如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线（）。A.互相平分B.一定相等C.一定不等D.无法确定（解析：这个题考的是平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，这是平行四边形的一个重要性质，小明应该选A。）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填在题中的横线上。）1.小红在课堂上被老师提问关于平行四边形面积计算的问题，她给出了以下四个公式，其中正确的是_________。（解析：这个题和选择题第1题一样，平行四边形的面积公式是底乘以高，小红应该填A。）2.一个平行四边形的底是10厘米，高是5厘米，那么这个平行四边形的面积是_________平方厘米。（解析：这个题和选择题第2题一样，直接用公式计算就行，10乘以5等于50，所以小红应该填50。）3.如果一个平行四边形的面积是50平方厘米，底是10厘米，那么这个平行四边形的高是多少厘米？（_________）（解析：这个题和选择题第3题一样，逆向思维，知道面积和底，求高，50除以10等于5，所以小红应该填5。）4.下列哪个图形一定是平行四边形？（_________）（解析：这个题和选择题第4题一样，对角线互相平分的四边形一定是平行四边形，小红应该填B。）5.一个平行四边形的两条对角线分别是12厘米和10厘米，那么这个平行四边形的面积是多少平方厘米？（_________）（解析：这个题和选择题第5题一样，需要用平行四边形面积公式，对角线乘积的一半，12乘以10除以2等于60，所以小红应该填60。）三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。请根据题目要求，写出解答过程。）1.小华在课堂上被老师要求证明平行四边形的面积等于底乘以高。他画了一个平行四边形ABCD，其中AB是底，点E是高DE的垂足。小华试图用三角形面积公式来证明，他先把平行四边形ABCD分成两个三角形ABE和CDE，然后写出两个三角形的面积分别是AB乘以DE除以2和BC乘以DE除以2。因为平行四边形ABCD的面积等于三角形ABE和CDE的面积之和，所以平行四边形ABCD的面积等于AB乘以DE除以2加上BC乘以DE除以2。因为AB等于CD，所以AB乘以DE加上CD乘以DE等于AB加上CD乘以DE。因为ABCD是平行四边形，所以AB加上CD等于底乘以2，即AB加上CD等于2乘以AB。所以平行四边形ABCD的面积等于2乘以AB乘以DE除以2，即AB乘以DE。因为DE就是高，所以平行四边形ABCD的面积等于底乘以高。小华的证明过程是否正确？如果不正确，请指出错误之处并给出正确的证明过程。（解析：小华的证明过程有问题，他错误地认为平行四边形ABCD的面积等于三角形ABE和CDE的面积之和，这是不正确的。平行四边形ABCD的面积确实等于三角形ABE和CDE的面积之和，但是三角形ABE和CDE的高并不都是DE，只有三角形CDE的高是DE，三角形ABE的高不是DE。正确的证明过程应该是：过点D作DF垂直于AB于点F，因为平行四边形ABCD，所以AD平行于BC，所以DF也是BC的高。平行四边形ABCD的面积等于矩形ABFD的面积，即AB乘以DF。因为三角形ABE和四边形DFCE是等底等高的，所以它们的面积相等。所以平行四边形ABCD的面积等于三角形ABE的面积加上四边形DFCE的面积，即AB乘以DE加上BC乘以DF。因为AB等于CD，所以AB乘以DE加上CD乘以DF等于AB乘以DE加上AB乘以DF，即AB乘以DE加上AB乘以DF等于AB乘以DE加上AB乘以DE，即2乘以AB乘以DE除以2，即AB乘以DE。因为DE就是高，所以平行四边形ABCD的面积等于底乘以高。）2.一个平行四边形的两条对角线分别是12厘米和10厘米，并且对角线相交于点O，其中∠AOB=60°。求这个平行四边形的面积。（解析：这个题需要用平行四边形面积公式，对角线乘积的一半，但是需要先计算对角线所构成的三角形的面积。因为∠AOB=60°，所以三角形AOB是等边三角形，所以AO=OB=AB。因为对角线AC=12厘米，所以AO=AC除以2=12除以2=6厘米。所以AB=6厘米。同理，BO=OC=BD=10除以2=5厘米。所以三角形AOB的面积是6乘以6乘以根号3除以2=18根号3平方厘米。因为平行四边形ABCD的面积等于三角形AOB的面积乘以2，所以平行四边形ABCD的面积是18根号3乘以2=36根号3平方厘米。）3.一个平行四边形的一条边长是10厘米，这条边上的高是6厘米。现在把这个平行四边形沿着这条边上的高剪开，得到两个图形。如果其中一个图形是三角形，那么这个三角形的面积是多少平方厘米？如果其中一个图形是梯形，那么这个梯形的面积是多少平方厘米？（解析：如果其中一个图形是三角形，那么这个三角形的底是10厘米，高是6厘米，所以这个三角形的面积是10乘以6除以2=30平方厘米。如果其中一个图形是梯形，那么这个梯形的上底和下底分别是10厘米和10厘米，高是6厘米，所以这个梯形的面积是（10加上10）乘以6除以2=60平方厘米。）4.小丽在课堂上被老师要求证明平行四边形的对角线互相平分。她画了一个平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O。小丽试图用三角形面积公式来证明，她先把平行四边形ABCD分成四个三角形AOB、BOC、COD和DOA，然后写出四个三角形的面积分别是AO乘以BO乘以根号3除以2、BO乘以CO乘以根号3除以2、CO乘以DO乘以根号3除以2和DO乘以AO乘以根号3除以2。因为平行四边形ABCD，所以AB平行于CD，所以∠AOB=∠COD，同理∠BOC=∠DOA。因为∠AOB=∠COD，所以三角形AOB和三角形COD是等底等高的，所以它们的面积相等。同理，三角形BOC和三角形DOA是等底等高的，所以它们的面积也相等。因为三角形AOB和三角形COD的面积相等，所以AO乘以BO乘以根号3除以2等于CO乘以DO乘以根号3除以2。因为BO乘以CO乘以根号3除以2等于BO乘以CO乘以根号3除以2，所以AO乘以BO乘以根号3除以2等于BO乘以CO乘以根号3除以2。因为根号3除以2不等于0，所以AO=BO，同理BO=CO，CO=DO，DO=AO。所以对角线AC和BD互相平分。小丽的证明过程是否正确？如果不正确，请指出错误之处并给出正确的证明过程。（解析：小丽的证明过程有问题，她错误地认为平行四边形ABCD的面积等于四个三角形的面积之和，这是不正确的。平行四边形ABCD的面积确实等于四个三角形的面积之和，但是四个三角形的高并不都是相同的，只有三角形AOB和三角形COD的高是相同的，三角形BOC和三角形DOA的高是相同的，但是三角形AOB和三角形BOC的高并不相同。正确的证明过程应该是：因为平行四边形ABCD，所以AB平行于CD，所以∠AOB=∠COD，同理∠BOC=∠DOA。在三角形AOB和三角形COD中，∠AOB=∠COD，AO=CO（对角线互相平分），BO=DO（对角线互相平分），所以三角形AOB全等于三角形COD（SAS）。所以AO=CO，BO=DO。同理，在三角形BOC和三角形DOA中，∠BOC=∠DOA，BO=DO（对角线互相平分），CO=AO（对角线互相平分），所以三角形BOC全等于三角形DOA（SAS）。所以BO=DO，CO=AO。所以对角线AC和BD互相平分。）5.一个平行四边形的两条对角线分别是10厘米和12厘米，并且对角线相交于点O，其中∠AOB=60°。求这个平行四边形的一条边长。（解析：这个题需要用平行四边形的性质和对角线所构成的三角形的性质来求解。因为∠AOB=60°，所以三角形AOB是等边三角形，所以AO=BO=AB。因为对角线AC=10厘米，所以AO=AC除以2=10除以2=5厘米。所以AB=5厘米。同理，BO=OC=BD=12除以2=6厘米。所以三角形AOB是等边三角形，所以AB=AO=BO=5厘米。）四、证明题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。请根据题目要求，写出证明过程。）1.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、CD的中点。求证：四边形AECF是平行四边形。（解析：要证明四边形AECF是平行四边形，需要证明对角线互相平分。连接AC，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD平行于BC，所以∠DAB=∠BCD。因为E、F分别是AB、CD的中点，所以AE=EB，CF=FD。在三角形AED和三角形CFB中，∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠DAE=∠CBF（对顶角相等），所以三角形AED全等于三角形CFB（SAS）。所以AE=CF，AF=CE。所以对角线AC互相平分，所以四边形AECF是平行四边形。）2.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、CD的中点。求证：四边形BECF是平行四边形。（解析：要证明四边形BECF是平行四边形，需要证明对角线互相平分。连接BD，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD平行于BC，所以∠DAB=∠BCD。因为E、F分别是AB、CD的中点，所以AE=EB，CF=FD。在三角形ABD和三角形CDB中，∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠ABD=∠CBD（对顶角相等），所以三角形ABD全等于三角形CDB（SAS）。所以BE=CF，BD=CE。所以对角线BD互相平分，所以四边形BECF是平行四边形。）3.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、CD的中点。求证：四边形AECF和BECF都是平行四边形。（解析：要证明四边形AECF和BECF都是平行四边形，需要分别证明对角线互相平分。连接AC和BD，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD平行于BC，所以∠DAB=∠BCD。因为E、F分别是AB、CD的中点，所以AE=EB，CF=FD。在三角形AED和三角形CFB中，∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠DAE=∠CBF（对顶角相等），所以三角形AED全等于三角形CFB（SAS）。所以AE=CF，AF=CE。所以对角线AC互相平分，所以四边形AECF是平行四边形。在三角形ABD和三角形CDB中，∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠ABD=∠CBD（对顶角相等），所以三角形ABD全等于三角形CDB（SAS）。所以BE=CF，BD=CE。所以对角线BD互相平分，所以四边形BECF是平行四边形。）4.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、CD的中点。求证：四边形AECF和BECF的面积相等。（解析：要证明四边形AECF和BECF的面积相等，需要证明它们是等底等高的。因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD平行于BC，所以∠DAB=∠BCD。因为E、F分别是AB、CD的中点，所以AE=EB，CF=FD。在三角形AED和三角形CFB中，∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠DAE=∠CBF（对顶角相等），所以三角形AED全等于三角形CFB（SAS）。所以AE=CF，AF=CE。所以四边形AECF是平行四边形，四边形BECF是平行四边形。因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD。因为E、F分别是AB、CD的中点，所以AE=EB，CF=FD。所以四边形AECF和BECF是等底等高的平行四边形，所以它们的面积相等。）5.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、CD的中点。求证：四边形AECF和BECF的周长相等。（解析：要证明四边形AECF和BECF的周长相等，需要证明它们的四条边长相等。因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD平行于BC，所以∠DAB=∠BCD。因为E、F分别是AB、CD的中点，所以AE=EB，CF=FD。在三角形AED和三角形CFB中，∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠DAE=∠CBF（对顶角相等），所以三角形AED全等于三角形CFB（SAS）。所以AE=CF，AF=CE。所以四边形AECF是平行四边形，四边形BECF是平行四边形。因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD。因为E、F分别是AB、CD的中点，所以AE=EB，CF=FD。所以四边形AECF和BECF的四条边长分别相等，所以它们的周长相等。）本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.A解析：平行四边形的面积计算公式是底乘以高，这是最基础也是最重要的公式，需要牢记。选项B、C、D都是错误的，对角线乘以对角线的交点到对角线端点的距离和两条对角线的乘积除以2都不是平行四边形面积的计算方法，而两条相邻边乘积的正弦值是三角形面积的公式，跟平行四边形没有直接关系。小明应该选A，这个公式他是应该掌握的。2.A解析：这个题很简单，直接用公式计算就行，6乘以4等于24，所以小明应该选A。这个题考察的是对面积公式的直接应用，底是6厘米，高是4厘米，直接相乘即可得到面积是24平方厘米。3.A解析：这个题是逆向思维，知道面积和底，求高，用面积除以底就行，36除以9等于4，所以小明应该选A。这个题考察的是对面积公式的灵活运用，知道面积和底，可以通过公式变形求出高。4.B解析：这个题考的是平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形一定是平行四边形，这是平行四边形的一个重要性质，小明应该选B。这个题考察的是对平行四边形判定定理的理解，对角线互相平分是平行四边形的一个充要条件。5.A解析：这个题需要用平行四边形面积公式，对角线乘积的一半，10乘以8除以2等于40，所以小明应该选A。这个题考察的是对面积公式的另一种表达方式的理解，即对角线乘积的一半，这个公式适用于已知对角线长度的情况。6.A解析：这个题很简单，底和高分别相等，面积当然相等，小明应该选A。这个题考察的是对面积公式的直接应用，底和高分别相等，直接相乘即可得到面积。7.A解析：这个题也是逆向思维，知道面积和底，求高，48除以8等于6，所以小红应该填6。这个题考察的是对面积公式的灵活运用，知道面积和底，可以通过公式变形求出高。8.C解析：这个题考的是图形面积公式的联系，三角形的面积是底乘以高除以2，梯形的面积是上底加下底乘以高除以2，长方形的面积是长乘以宽，圆形的面积是π乘以半径的平方，只有长方形和平行四边形的面积计算公式相同，都是底乘以高，所以小红应该选C。这个题考察的是对不同图形面积公式的理解和比较。9.C解析：这个题考的是平行四边形的性质，平行四边形的一条对角线把平行四边形分成了两个全等三角形，这是平行四边形的一个重要性质，小明应该选C。这个题考察的是对平行四边形性质的直观理解，对角线把平行四边形分成两个全等的三角形。10.A解析：这个题考的是平行四边形的基本性质，平行四边形的对角线互相平分，这是平行四边形的一个基本性质，小明应该选A。这个题考察的是对平行四边形基本性质的记忆和理解。二、填空题答案及解析1.A解析：这个题和选择题第1题一样，平行四边形的面积公式是底乘以高，小红应该填A。这个题考察的是对面积公式的直接应用，需要学生记住并能够直接应用公式。2.50解析：这个题和选择题第2题一样，直接用公式计算就行，10乘以5等于50，所以小红应该填50。这个题考察的是对面积公式的直接应用，需要学生能够根据题目给出的数据直接计算面积。3.5解析：这个题和选择题第3题一样，逆向思维，知道面积和底，求高，50除以10等于5，所以小红应该填5。这个题考察的是对面积公式的灵活运用，知道面积和底，可以通过公式变形求出高。4.B解析：这个题和选择题第4题一样，对角线互相平分的四边形一定是平行四边形，小红应该填B。这个题考察的是对平行四边形判定定理的理解，对角线互相平分是平行四边形的一个充要条件。5.60解析：这个题和选择题第5题一样，需要用平行四边形面积公式，对角线乘积的一半，12乘以10除以2等于60，所以小红应该填60。这个题考察的是对面积公式的另一种表达方式的理解，即对角线乘积的一半，这个公式适用于已知对角线长度的情况。三、解答题答案及解析1.小华的证明过程不正确。错误之处在于他错误地认为平行四边形ABCD的面积等于三角形ABE和CDE的面积之和。实际上，平行四边形ABCD的面积确实等于三角形ABE和CDE的面积之和，但是三角形ABE的高不是DE，只有三角形CDE的高是DE。正确的证明过程应该是：过点D作DF垂直于AB于点F，因为平行四边形ABCD，所以AD平行于BC，所以DF也是BC的高。平行四边形ABCD的面积等于矩形ABFD的面积，即AB乘以DF。因为三角形ABE和四边形DFCE是等底等高的，所以它们的面积相等。所以平行四边形ABCD的面积等于三角形ABE的面积加上四边形DFCE的面积，即AB乘以DE加上BC乘以DF。因为AB等于CD，所以AB乘以DE加上CD乘以DF等于AB乘以DE加上AB乘以DF，即AB乘以DE加上AB乘以DF等于AB乘以DE加上AB乘以DE，即2乘以AB乘以DE除以2，即AB乘以DE。因为DE就是高，所以平行四边形ABCD的面积等于底乘以高。2.平行四边形ABCD的面积是36根号3平方厘米。因为对角线AC=12厘米，所以AO=AC除以2=12除以2=6厘米。因为∠AOB=60°，所以三角形AOB是等边三角形，所以AO=BO=AB。因为对角线BD=10厘米，所以BO=BD除以2=10除以2=5厘米。所以三角形AOB的面积是6乘以6乘以根号3除以2=18根号3平方厘米。因为平行四边形ABCD的面积等于三角形AOB的面积乘以2，所以平行四边形ABCD的面积是18根号3乘以2=36根号3平方厘米。这个题考察的是对平行四边形面积公式的理解和应用，以及对等边三角形的性质的理解。3.如果其中一个图形是三角形，那么这个三角形的面积是30平方厘米。如果其中一个图形是梯形，那么这个梯形的面积是60平方厘米。因为平行四边形的一条边长是10厘米，这条边上的高是6厘米，所以平行四边形的面积是10乘以6=60平方厘米。如果把这个平行四边形沿着这条边上的高剪开，得到两个图形，其中一个图形是三角形，那么这个三角形的底是10厘米，高是6厘米，所以这个三角形的面积是10乘以6除以2=30平方厘米。另一个图形是梯形，那么这个梯形的上底和下底分别是10厘米和10厘米，高是6厘米，所以这个梯形的面积是（10加上10）乘以6除以2=60平方厘米。这个题考察的是对平行四边形和梯形面积公式的理解和应用。4.小丽的证明过程不正确。错误之处在于她错误地认为平行四边形ABCD的面积等于四个三角形的面积之和。实际上，平行四边形ABCD的面积确实等于四个三角形的面积之和，但是四个三角形的高并不都是相同的，只有三角形AOB和三角形COD的高是相同的，三角形BOC和三角形DOA的高是相同的，但是三角形AOB和三角形BOC的高并不相同。正确的证明过程应该是：因为平行四边形ABCD，所以AD平行于BC，所以∠AOB=∠COD，同理∠BOC=∠DOA。在三角形AOB和三角形COD中，∠AOB=∠COD，AO=CO（对角线互相平分），BO=DO（对角线互相平分），所以三角形AOB全等于三角形COD（SAS）。所以AO=CO，BO=DO。同理，在三角形BOC和三角形DOA中，∠BOC=∠DOA，BO=DO（对角线互相平分），CO=AO（对角线互相平分），所以三角形BOC全等于三角形DOA（SAS）。所以BO=DO，CO=AO。所以对角线AC和BD互相平分。这个题考察的是对平行四边形性质和全等三角形的理解和应用。5.平行四边形的一条边长是5厘米。因为对角线AC=10厘米，所以AO=AC除以2=10除以2=5厘米。因为∠AOB=60°，所以三角形AOB是等边三角形，所以AO=BO=AB。因为对角线BD=12厘米，所以BO=BD除以2=12除以2=6厘米。所以三角形AOB是等边三角形，所以AB=AO=BO=5厘米。这个题考察的是对平行四边形性质和等边三角形的性质的理解和应用。四、证明题答案及解析1.四边形AECF是平行四边形。证明：连接AC，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD平行于BC，所以∠DAB=∠BCD。因为E、F分别是AB、CD的中点，所以AE=EB，CF=FD。在三角形AED和三角形CFB中，∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠DAE=∠CBF（对顶角相等），所以三角形AED全等于三角形CFB（SAS）。所以AE=CF，AF=CE。所以对角线AC互相平分，所以四边形AECF是平行四边形。这个题考察的是对平行四边形性质和全等三角形的理解和应用。2.四边形BECF是平行四边形。证明：连接BD，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD平行于BC，所以∠DAB=∠BCD。因为E、F分别是AB、CD的中点，所以AE=EB，CF=FD。在三角形ABD和