2026年高考数学一轮复习 直线与方程（含解析）

高考数学一轮复习直线与方程一．选择题（共8小题）1．（2025春•商丘期末）若直线l的一个方向向量为(1，−3)，则直线l的倾斜角A．π3 B．5π6 C．π62．（2025春•安徽月考）直线l经过点(−3，0)，倾斜角是直线x＝﹣1的倾斜角的13A．x−3y+3=0C．3x−y+3=0 D．3．（2025春•宁波期末）已知直线l过点P（2，2）且倾斜角为135°，则点Q（﹣2，0）到直线l的距离为（）A．2 B．22 C．32 4．（2025春•盐城期末）直线x−3A．2π3 B．5π6 C．π35．（2025春•长沙期中）已知直线mx+3y+m﹣1＝0与直线x+（m+2）y+2m﹣2＝0平行，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．1或﹣3 D．﹣1或36．（2025•包头模拟）已知直线l：2x﹣y＝0的一个方向向量为a→，向量b→=(m，−4)，若a→与A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．87．（2025•杨浦区校级模拟）“m＝﹣4”是“直线l1：（m﹣2）x﹣3y﹣1＝0与直线l2：mx+（m+2）y+1＝0相互平行”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件8．（2025春•新乡期中）若直线l1：x﹣y+1＝0与l2：x﹣（2+a）y+1＝0互相垂直，则a＝（）A．0 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣2二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•河南模拟）已知△OAB为等腰直角三角形，O为坐标原点，点A在第一象限，点B在第四象限，∠AOB=π2，若直线OA，OB，AB的斜率都存在，记直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，kA．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2 C．k1＞k3＞k2 D．k3＞k2＞k1（多选）10．（2024秋•温州期末）已知直线l1：x+（1+a）y＝2﹣a与l2：2ax+4y＝﹣16，则下列说法正确的是（）A．若a＝1时，则l1∥l2 B．若a＝﹣2时，则l1与l2重合 C．若a=−23时，则l1⊥lD．若a＝0时，则l1与l2交于点（6，﹣4）（多选）11．（2025•湖北模拟）已知直线l1：ax﹣y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，a∈R，以下结论正确的是（）A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直 B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0） C．不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y＝0对称 D．如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是2（多选）12．（2025春•北仑区校级期中）直线l：xsinθ﹣y+3＝0（θ∈R）的倾斜角可以为（）A．5π6 B．3π4 C．π3三．填空题（共4小题）13．（2024秋•中山区校级期末）平面直角坐标系内点A（m+1，﹣3m﹣1），B（﹣2，m+2），m＞0，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为．14．（2025春•宝山区校级月考）直线2x+y+5＝0在x轴上的截距是．15．（2025春•长宁区校级期末）若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，那么a的值等于．16．（2025•湖北模拟）直线l1：x﹣y+1＝0与直线l2：3四．解答题（共4小题）17．（2025春•嘉定区校级期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，AB∥CD，记AC，BD相交于点M．（1）试用MA→、MB→表示（2）证明：E，M，F三点共线．18．（2025春•北仑区校级期中）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（﹣4，2）．（1）若AC边上的高BE所在的直线方程为x﹣3y+10＝0，求边AC所在的直线方程；（2）若AB边上的中线CF所在直线方程为x+2y﹣5＝0，∠B的平分线BD所在的直线方程为y＝2x，求边BC所在的直线方程．19．（2025春•宝山区校级期中）已知点P（1，2），直线l：2x﹣y﹣1＝0．（1）求经过点P且与直线l平行的直线的方程；（2）求经过点P且与直线l垂直的直线的方程．20．（2024秋•宁城县期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，0），B（4，2），C（1，3）．（1）求过点C且与直线AB平行的直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．

高考数学一轮复习直线与方程参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025春•商丘期末）若直线l的一个方向向量为(1，−3)，则直线l的倾斜角A．π3 B．5π6 C．π6【考点】直线的倾斜角．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即得．【解答】解：由题可得直线l的斜率为k=−所以直线l的倾斜角为2π3故选：D．【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．2．（2025春•安徽月考）直线l经过点(−3，0)，倾斜角是直线x＝﹣1的倾斜角的13A．x−3y+3=0C．3x−y+3=0 D．【考点】直线的点斜式方程；直线的斜率．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】A【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程．【解答】解：因为直线x＝﹣1的倾斜角为90°，又直线l的倾斜角是直线x＝﹣1的倾斜角的13所以直线l的方程为y−0=tan30°[x−(−3)]，即故选：A．【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．3．（2025春•宁波期末）已知直线l过点P（2，2）且倾斜角为135°，则点Q（﹣2，0）到直线l的距离为（）A．2 B．22 C．32 【考点】点到直线的距离公式．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】C【分析】先求出直线l的方程，然后结合点到直线的距离公式即可求解．【解答】解：因为直线l过点P（2，2）且倾斜角为135°，则直线l的方程为y﹣2＝﹣（x﹣2），即x+y﹣4＝0，点Q（﹣2，0）到直线l的距离d=|−2−4|2=故选：C．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式，属于基础题．4．（2025春•盐城期末）直线x−3A．2π3 B．5π6 C．π3【考点】直线的倾斜角．【专题】方程思想；分析法；直线与圆．【答案】D【分析】求出直线的斜率，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算即可得到所求值．【解答】解：直线x−3y+1＝0的斜率为k=设倾斜角为α，可得tanα=3由0≤α＜π，且α≠π可得α=π故选：D．【点评】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题．5．（2025春•长沙期中）已知直线mx+3y+m﹣1＝0与直线x+（m+2）y+2m﹣2＝0平行，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．1或﹣3 D．﹣1或3【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】根据两条直线平行列出方程，再代入验证即可．【解答】解：因为直线mx+3y+m﹣1＝0与直线x+（m+2）y+2m﹣2＝0平行，所以1×3＝m（m+2），解得m＝1或m＝﹣3；当m＝﹣3时，两条直线为：3x﹣3y+4＝0，x﹣y﹣8＝0两条直线平行，当m＝1时，两条直线为：x+3y＝0，x+3y＝0两条直线重合，舍去．故选：B．【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．6．（2025•包头模拟）已知直线l：2x﹣y＝0的一个方向向量为a→，向量b→=(m，−4)，若a→与A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8【考点】平面中直线的方向向量和法向量；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】先求得a→【解答】解：由已知可得a→因为a→与b→是共线向量，所以1×（﹣4）﹣2m＝0，所以故选：A．【点评】本题考查直线的方向向量，向量共线的坐标运算，属于基础题．7．（2025•杨浦区校级模拟）“m＝﹣4”是“直线l1：（m﹣2）x﹣3y﹣1＝0与直线l2：mx+（m+2）y+1＝0相互平行”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】C【分析】根据直线平行的条件建立方程求出m，再检验即可得解．【解答】解：若直线l1：（m﹣2）x﹣3y﹣1＝0与直线l2：mx+（m+2）y+1＝0相互平行，则（m﹣2）×（m+2）＝m×（﹣3），且﹣3×1≠﹣1×（m+2），即m2+3m﹣4＝0，且m≠1，解得m＝﹣4，所以“m＝﹣4”是“直线l1：（m﹣2）x﹣3y﹣1＝0与直线l2：mx+（m+2）y+1＝0相互平行”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．8．（2025春•新乡期中）若直线l1：x﹣y+1＝0与l2：x﹣（2+a）y+1＝0互相垂直，则a＝（）A．0 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣2【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】由两条直线垂直的充要条件，可得a的值．【解答】解：因为直线l1：x﹣y+1＝0与l2：x﹣（2+a）y+1＝0互相垂直，所以1×1+（﹣1）×[﹣（2+a）]＝0，解得a＝﹣3．故选：B．【点评】本题考查两条直线垂直的充要条件的应用，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•河南模拟）已知△OAB为等腰直角三角形，O为坐标原点，点A在第一象限，点B在第四象限，∠AOB=π2，若直线OA，OB，AB的斜率都存在，记直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，kA．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2 C．k1＞k3＞k2 D．k3＞k2＞k1【考点】直线的斜率．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】AB【分析】由题意，分两种情况讨论，结合斜率与夹角关系判断各项的正误，可得答案．【解答】解：根据题意，有如下两种情况：①当π4＜∠AOx＜π2时，k1＞1＞0＞k2②当0＜∠AOx＜π4时，k3＞1＞k1＞0＞k对照各项，可知AB两项符合题意．故选：AB．【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角，考查了概念的理解能力，属于基础题．（多选）10．（2024秋•温州期末）已知直线l1：x+（1+a）y＝2﹣a与l2：2ax+4y＝﹣16，则下列说法正确的是（）A．若a＝1时，则l1∥l2 B．若a＝﹣2时，则l1与l2重合 C．若a=−23时，则l1⊥lD．若a＝0时，则l1与l2交于点（6，﹣4）【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；两条直线的交点坐标；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】ABCD【分析】由a的值，分别求出两条直线的方程，逐一判断所给命题的真假．【解答】解：直线l1：x+（1+a）y＝2﹣a与l2：2ax+4y＝﹣16，A中，当a＝1时，直线l1：x+2y＝1与l2：x+2y＝﹣8，可得两条直线斜率相同，在y轴上的截距不同，可得两条直线平行，所以A正确；B中，当a＝﹣2时，直线l1：x﹣y＝4与l2：x﹣y＝4，则这两条直线重合，所以B正确；C中，当a=−23时，直线l1：x+13y=83与l2：−13x+D中，若a＝0时，直线l1：x+y＝2与l2：y＝﹣4，联立y=−4x+y=2，可得x＝6，y即两条直线的交点为（6，﹣4），所以D正确．故选：ABCD．【点评】本题考查两条直线平行，垂直的性质的应用，两条直线交点的求法，属于基础题．（多选）11．（2025•湖北模拟）已知直线l1：ax﹣y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，a∈R，以下结论正确的是（）A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直 B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0） C．不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y＝0对称 D．如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是2【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】ABD【分析】对于A，利用两条直线垂直的充要条件，即可求解，对于B，求出两条直线恒过的定点坐标，即可求解，对于C，利用点关于直线的对称点，即可求解，对于D，先求出两条直线的交点M的坐标，再结合两点之间的距离公式，即可求解．【解答】解：对于A，∵直线l1：ax﹣y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，又∵a×1+（﹣1）×a＝0，∴无论a为何值，l1与l2都互相垂直，故A正确，对于B，直线l1：ax﹣y+1＝0，当x＝0时，y＝1，则直线l1恒过定点（0，1），直线l2：x+ay+1＝0，当y＝0时，x＝﹣1，则直线l2恒过定点（﹣1，0），故B正确，对于C，设直线l1：ax﹣y+1＝0上任意一点P（x，y），则点P关于直线x+y＝0的对称性点为P'（﹣y，﹣x），将点P'（﹣y，﹣x）代入直线l2：x+ay+1＝0，可得ax+y﹣1＝0，与点P在直线l1上矛盾，对于D，联立方程组ax−y+1=0x+ay+1=0，解得x=故M（−a−1a则|MO|=(所以|MO|的最大值是2，故D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查了直线与直线的位置关系，动直线恒过定点问题，直线与直线垂直的充要条件的应用，直线关于直线的对称性问题，属于中档题．（多选）12．（2025春•北仑区校级期中）直线l：xsinθ﹣y+3＝0（θ∈R）的倾斜角可以为（）A．5π6 B．3π4 C．π3【考点】直线的倾斜角．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】ABD【分析】由题易知k＝sinθ∈[﹣1，1]，结合倾斜角与斜率的关系可得的倾斜角的范围．【解答】解：将直线l整理为：y＝sinθx+3，假设直线l的倾斜角为α，则α∈[0，π），则k＝tanα＝sinθ∈[﹣1，1]，当k∈[﹣1，0）时，则α∈[3π4，π当k∈[0，1]时，则α∈[0，π4故选：ABD．【点评】本题考查直线的倾斜角的范围的求法，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2024秋•中山区校级期末）平面直角坐标系内点A（m+1，﹣3m﹣1），B（﹣2，m+2），m＞0，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为（2，﹣5）．【考点】三点共线．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（2，﹣5）．【分析】首先根据三点共线可得以kOA＝kOB，进而求得m的值，可求AB→【解答】解：因为A（m+1，﹣3m﹣1），B（﹣2，m+2），又因为O、A、B三点共线，所以kOA＝kOB，即−3m−1m+1即（m+1）（m+2）＝2（3m+1），整理可得m2﹣3m＝0，m＞0，解得m＝3，即A（4，﹣10），B（﹣2，5），所以AB→可得OA→=(4，−10)，设线段AB上靠近点A的三等分点为C，则OC→可得C（2，﹣5）．故答案为：（2，﹣5）．【点评】本题考查用斜率相等表示三点共线及三等分点的坐标的求法，属于基础题．14．（2025春•宝山区校级月考）直线2x+y+5＝0在x轴上的截距是−52【考点】直线的截距式方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】−5【分析】令y＝0即可求解．【解答】解：直线2x+y+5＝0，令y＝0可得x=−5故答案为：−5【点评】本题主要考查直线的性质，属于基础题．15．（2025春•长宁区校级期末）若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，那么a的值等于﹣2．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．【解答】解：直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a×1+2×1＝0，解得a＝﹣2故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．16．（2025•湖北模拟）直线l1：x﹣y+1＝0与直线l2：3【考点】两直线的夹角与到角问题．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】15°．【分析】结合直线的夹角公式即可求解．【解答】解：设直线l1：x﹣y+1＝0与直线l2：3则tanα=|3−1|则α＝15°．故答案为：15°．【点评】本题主要考查了直线的夹角公式，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•嘉定区校级期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，AB∥CD，记AC，BD相交于点M．（1）试用MA→、MB→表示（2）证明：E，M，F三点共线．【考点】三点共线．【答案】（1）ME→（2）证明见解析．【分析】（1）结合向量的线性运算法则，即可求解；（2）结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：（1）因为E为AB的中点，所以AE→则ME故ME→（2）证明：设AB＝kCD（k≠0），又因为AB∥CD，所以AM→=kMC由（1）知ME→同理MF→其中12所以ME→=−kMF→，故E，【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．18．（2025春•北仑区校级期中）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（﹣4，2）．（1）若AC边上的高BE所在的直线方程为x﹣3y+10＝0，求边AC所在的直线方程；（2）若AB边上的中线CF所在直线方程为x+2y﹣5＝0，∠B的平分线BD所在的直线方程为y＝2x，求边BC所在的直线方程．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用垂直关系得到直线AC的斜率，再利用点斜式求解即可；（2）设点B坐标，利用已知信息求得点B坐标，再求点A关于直线BD的对称点，由两点式可求直线方程．【解答】解：（1）若AC边上的高BE所在的直线方程为x﹣3y+10＝0，则kBE=13因A（﹣4，2），则直线AC的方程为y﹣2＝﹣3（x+4），即y＝﹣3x﹣10．（2）设点B（a，b），顶点A（﹣4，2）．则线段AB的中点为(a−4将其代入CF所在直线方程x+2y﹣5＝0中，得a+2b＝10，将点B代入BD所在的直线方程y＝2x中，得b＝2a，解得a＝2，b＝4，即B（2，4），设点A关于直线y＝2x对称得点A′（m，n），则n−2m+4=−12n+2因B、C、A′三点共线，则kBC直线BC所在的直线方程为y﹣4＝﹣3（x﹣2），即y＝﹣3x+10．【