第四节　数列求和 2026年高三数学第一轮总复习

数列求和第四节课程内容要求1.掌握等差数列、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法.CONTENTS目录123考法研透——方向不对·努力白费思维激活——灵活不足·难得高分课时跟踪检测考法研透—方向不对·努力白费01方法一分组转化法求和

分组转化法求和的常见类型方法技巧提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.1.已知在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+2-an=2-2(-1)n，n∈N*，则S2025的值为

(

)A.2026×1014-1

B.1013×2025C.2025×1014-1

D.2025×1014针对训练√解析：由递推公式，可得，当n为奇数时，an+2-an=4，数列{an}的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列;当n为偶数时，an+2-an=0，数列{an}的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列，∴S2

025=(a1+a3+…+a2

025)+(a2+a4+…+a2

024)=2

025×1

014-1.

方法二裂项相消法求和

1.用裂项法求和的裂项原则及规律方法技巧裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项2.几种常见的裂项方式数列(n为正整数)裂项方式

针对训练

[典例]

(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通项公式;[解]

因为4Sn=3an+4

①，所以当n≥2时，4Sn-1=3an-1+4

②，当n≥2时，①-②得4an=3an-3an-1，即an=-3an-1.当n=1时，由4Sn=3an+4得4a1=3a1+4，所以a1=4≠0.所以数列{an}是以4为首项，-3为公比的等比数列，所以an=4×(-3)n-1.方法三错位相减法求和

错位相减法求和的基本步骤方法技巧设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.(1)求{an}的公比;(2)若a1=1，求数列{nan}的前n项和.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由题设得2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2，所以q2+q-2=0，解得q=-2或q=1(舍去).故{an}的公比为-2.针对训练

思维激活—灵活不足·难得高分02分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.引起分类讨论的原因主要是以下几方面：(1)问题所涉及的数学概念是分类进行定义的.这种分类讨论称为概念型.(2)问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的.如等比数列的前n项和的公式，分q=1和q≠1两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型.拓展深化•练创新思维——分类讨论思想在数列中的应用

03课时跟踪检测1.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2，n∈N*)，a1=1，a2=2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2025=

(

)A.3

B.2C.4

D.0解析：∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2

025=337×0+a2023+a2

024+a2

025=a1+a2+a3=1+2+1=4.故选C.√一、综合练——练思维敏锐度2.在数列{an}中，若an+1+(-1)nan=2n-1，则数列{an}的前12项和等于

(

)A.76

B.78C.80

D.82解析：由已知an+1+(-1)nan=2n-1，得an+2+(-1)n+1an+1=2n+1，得an+2+an=(-1)n(2n-1)+(2n+1)，取n=1，5，9及n=2，6，10，结果分别相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=78.故选B.√

√

2.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为

;如果对折n次，那么

=

dm2.

3.由整数构成的等差数列{an}满足a3=5，a1a2=2a4.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}的通项公式为bn=2n，将数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时