广东省深圳市南山区2018届高三上学期期末教学质量监测

广东省深圳市南山区2018届高三上学期期末教学质量监测（文科数学）一、选择题1.已知集合(A={x|x^22x3lt0})，(B={x|y=ln(2x)})，则(AcapB=())A.((1,3))B.((1,3])C.((1,2))D.((1,2])答案：C分析：解不等式(x^22x3lt0)，即((x3)(x+1)lt0)，得(1ltxlt3)，所以(A={x|1ltxlt3})。对于集合(B)，由(2xgt0)得(xlt2)，即(B={x|xlt2})，则(AcapB={x|1ltxlt2})。2.若复数(z)满足((1+i)z=2i)（(i)为虚数单位），则(overline{z}=())A.(1+i)B.(1i)C.(1+i)D.(1i)答案：B分析：由((1+i)z=2i)，得(z=frac{2i}{1+i}=frac{2i(1i)}{(1+i)(1i)}=frac{2i2i^2}{2}=frac{2+2i}{2}=1+i)，共轭复数(overline{z}=1i)。3.已知向量(overrightarrow{a}=(1,m))，(overrightarrow{b}=(3,2))，且((overrightarrow{a}+overrightarrow{b})perpoverrightarrow{b})，则(m=())A.(8)B.(6)C.(6)D.(8)答案：D分析：(overrightarrow{a}+overrightarrow{b}=(4,m2))，因为((overrightarrow{a}+overrightarrow{b})perpoverrightarrow{b})，所以((overrightarrow{a}+overrightarrow{b})cdotoverrightarrow{b}=4times3+(m2)times(2)=0)，即(122m+4=0)，解得(m=8)。4.已知(tanalpha=2)，则(frac{sinalpha+cosalpha}{sinalphacosalpha}=())A.(3)B.(3)C.(frac{1}{3})D.(frac{1}{3})答案：A分析：将(frac{sinalpha+cosalpha}{sinalphacosalpha})分子分母同时除以(cosalpha)，得到(frac{tanalpha+1}{tanalpha1})，把(tanalpha=2)代入得(frac{2+1}{21}=3)。5.执行如图所示的程序框图，若输入的(x=0)，(y=1)，(n=1)，则输出的(p)的值为（本题无图形，按逻辑分析）：程序逻辑：当(nleqslant3)时进行循环，每次循环(p=x+y)，(x=y)，(y=p)，(n=n+1)。第一次循环：(n=1)，(p=0+1=1)，(x=1)，(y=1)，(n=2)；第二次循环：(p=1+1=2)，(x=1)，(y=2)，(n=3)；第三次循环：(p=1+2=3)，(x=2)，(y=3)，(n=4)，此时(ngt3)，输出(p=3)。6.已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_3+a_4+a_5=12)，则(S_7)的值为(())A.(28)B.(36)C.(42)D.(48)答案：A分析：因为({a_n})是等差数列，(a_3+a_4+a_5=3a_4=12)，所以(a_4=4)。根据等差数列前(n)项和公式(S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2})，则(S_7=frac{7(a_1+a_7)}{2}=7a_4=28)。7.设(m)，(n)是两条不同的直线，(alpha)，(beta)是两个不同的平面，下列命题中正确的是(())A.若(alphaperpbeta)，(msubsetalpha)，(nsubsetbeta)，则(mperpn)B.若(alphaparallelbeta)，(msubsetalpha)，(nsubsetbeta)，则(mparalleln)C.若(mperpn)，(msubsetalpha)，(nsubsetbeta)，则(alphaperpbeta)D.若(mperpalpha)，(mparalleln)，(nparallelbeta)，则(alphaperpbeta)答案：D分析：A选项，(alphaperpbeta)，(msubsetalpha)，(nsubsetbeta)，(m)与(n)可能平行、相交或异面，A错误；B选项，(alphaparallelbeta)，(msubsetalpha)，(nsubsetbeta)，(m)与(n)可能平行或异面，B错误；C选项，(mperpn)，(msubsetalpha)，(nsubsetbeta)，不能得出(alphaperpbeta)，C错误；D选项，因为(mperpalpha)，(mparalleln)，所以(nperpalpha)，又(nparallelbeta)，则存在直线(lsubsetbeta)，使(nparallell)，所以(lperpalpha)，根据面面垂直判定定理可得(alphaperpbeta)，D正确。8.函数(f(x)=frac{lnx}{x})的图象大致是（本题无图形，分析函数性质）：函数(f(x)=frac{lnx}{x})定义域为((0,+infty))，(f^prime(x)=frac{frac{1}{x}cdotxlnx}{x^2}=frac{1lnx}{x^2})。令(f^prime(x)=0)，即(1lnx=0)，解得(x=e)。当(0ltxlte)时，(f^prime(x)gt0)，(f(x))单调递增；当(xgte)时，(f^prime(x)lt0)，(f(x))单调递减。且(xto0^+)时，(f(x)toinfty)，(xto+infty)时，(f(x)to0)。9.已知(x)，(y)满足约束条件(begin{cases}x+ygeqslant2xyleqslant2yleqslant2end{cases})，则目标函数(z=2xy)的最大值为(())A.(2)B.(4)C.(6)D.(8)答案：C分析：画出可行域（根据约束条件画出区域），目标函数(z=2xy)可化为(y=2xz)，(z)是直线(y=2xz)在(y)轴上的截距。联立(begin{cases}xy=2y=2end{cases})，解得(begin{cases}x=4y=2end{cases})。把((4,2))代入(z=2xy)得(z_{max}=2times42=6)。10.已知双曲线(frac{x^2}{a^2}frac{y^2}{b^2}=1(agt0,bgt0))的一条渐近线方程为(y=frac{sqrt{5}}{2}x)，且与椭圆(frac{x^2}{12}+frac{y^2}{3}=1)有公共焦点，则双曲线的方程为(())A.(frac{x^2}{8}frac{y^2}{10}=1)B.(frac{x^2}{4}frac{y^2}{5}=1)C.(frac{x^2}{5}frac{y^2}{4}=1)D.(frac{x^2}{4}frac{y^2}{3}=1)答案：B分析：椭圆(frac{x^2}{12}+frac{y^2}{3}=1)的焦点坐标为((pm3,0))，所以双曲线中(c=3)。双曲线渐近线方程(y=frac{b}{a}x)，已知一条渐近线方程为(y=frac{sqrt{5}}{2}x)，即(frac{b}{a}=frac{sqrt{5}}{2})，又(c^2=a^2+b^2=9)，联立(begin{cases}frac{b}{a}=frac{sqrt{5}}{2}a^2+b^2=9end{cases})，解得(a^2=4)，(b^2=5)，双曲线方程为(frac{x^2}{4}frac{y^2}{5}=1)。11.已知函数(f(x)=Asin(omegax+varphi)(Agt0,omegagt0,|varphi|ltfrac{pi}{2}))的部分图象（本题无图形，按后续条件分析）过点((frac{pi}{12},0))，((frac{7pi}{12},0))，且在(x=frac{pi}{3})处取得最值，则(omega)的值可能为(())A.(3)B.(4)C.(5)D.(6)答案：C分析：函数(f(x))的两个零点(frac{pi}{12})，(frac{7pi}{12})，则半周期(frac{T}{2}=frac{7pi}{12}frac{pi}{12}=frac{pi}{2})，(T=pi)，(omega=frac{2pi}{T}=2)，但根据在(x=frac{pi}{3})处取得最值，(omegatimesfrac{pi}{3}+varphi=kpi+frac{pi}{2},kinZ)，且(frac{7pi}{12}frac{pi}{12}=frac{nT}{2},ninN^)，(T=frac{pi}{n})，(omega=2n)。又因为(frac{pi}{3}frac{pi}{12}=frac{pi}{4})，(frac{T}{4}+kcdotfrac{T}{2}=frac{pi}{4})，(T=frac{pi}{1+2k})，(omega=2+4k)，当(k=1)时，(omega=5)。12.已知函数(f(x)=begin{cases}2^x,xlt0log_2(xa),xgeqslant0end{cases})，若(f(1)=f(1))，则实数(a)的值为(())A.(1sqrt{2})B.(sqrt{2}1)C.(1)D.(sqrt{2})答案：B分析：(f(1)=2^{1}=frac{1}{2})，(f(1)=log_2(1a))，因为(f(1)=f(1))，所以(log_2(1a)=frac{1}{2})，即(1a=sqrt{2})，(a=1sqrt{2})，又因为对数中(1agt0)，所以(alt1)，(a=1sqrt{2})符合。二、填空题13.已知幂函数(y=f(x))的图象过点((2,sqrt{2}))，则(f(9)=)____。答案：(3)分析：设幂函数(f(x)=x^{alpha})，因为图象过点((2,sqrt{2}))，所以(2^{alpha}=sqrt{2}=2^{frac{1}{2}})，则(alpha=frac{1}{2})，(f(x)=x^{frac{1}{2}})，(f(9)=9^{frac{1}{2}}=3)。14.曲线(y=x^32x+1)在点((1,0))处的切线方程为____。答案：(xy1=0)分析：(y^prime=3x^22)，当(x=1)时，(y^prime=3times1^22=1)，即切线斜率(k=1)，由点斜式可得切线方程为(y0=1times(x1))，即(xy1=0)。15.已知抛物线(y^2=4x)的焦点为(F)，准线为(l)，过(F)且斜率为(sqrt{3})的直线与抛物线在(x)轴上方的部分相交于点(A)，(AKperpl)，垂足为(K)，则(triangleAKF)的面积是____。答案：(4sqrt{3})分析：抛物线(y^2=4x)焦点(F(1,0))，准线(l:x=1)。过(F)且斜率为(sqrt{3})的直线方程为(y=sqrt{3}(x1))，联立(begin{cases}y^2=4xy=sqrt{3}(x1)end{cases})，消去(y)得([sqrt{3}(x1)]^2=4x)，(3x^26x+3=4x)，(3x^210x+3=0)，((3x1)(x3)=0)，解得(x_1=frac{1}{3})，(x_2=3)。因为点(A)在(x)轴上方，所以(A(3,2sqrt{3}))，(K(1,2sqrt{3}))，(|AK|=4)，(F)到(AK)的距离为(2sqrt{3})，则(S_{triangleAKF}=frac{1}{2}times4times2sqrt{3}=4sqrt{3})。16.已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1(ninN^))，则数列({a_n})的通项公式(a_n=)____。答案：(2^n1)分析：由(a_{n+1}=2a_n+1)得(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，又(a_1+1=2)，所以数列({a_n+1})是以(2)为首项，(2)为公比的等比数列，则(a_n+1=2times2^{n1}=2^n)，(a_n=2^n1)。三、解答题17.（本题满分12分）在(triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所对的边分别为(a)，(b)，(c)，已知(b=2)，(c=3)，(cosA=frac{1}{3})。（1）求(a)的值；（2）求(sin(2A+frac{pi}{6}))的值。答案：（1）根据余弦定理(a^2=b^2+c^22bccosA)，已知(b=2)，(c=3)，(cosA=frac{1}{3})，则(a^2=2^2+3^22times2times3timesfrac{1}{3}=4+94=9)，所以(a=3)。（2）因为(cosA=frac{1}{3})，(Ain(0,pi))，所以(sinA=sqrt{1cos^{2}A}=sqrt{1(frac{1}{3})^2}=frac{2sqrt{2}}{3})。(sin2A=2sinAcosA=2timesfrac{2sqrt{2}}{3}timesfrac{1}{3}=frac{4sqrt{2}}{9})，(cos2A=2cos^{2}A1=2times(frac{1}{3})^21=frac{7}{9})。(sin(2A+frac{pi}{6})=sin2Acosfrac{pi}{6}+cos2Asinfrac{pi}{6}=frac{4sqrt{2}}{9}timesfrac{sqrt{3}}{2}+(frac{7}{9})timesfrac{1}{2}=frac{4sqrt{6}7}{18})。18.（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从(A)，(B)两地区分别随机调查了(20)个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：(A)地区：(62)(73)(81)(92)(95)(85)(74)(64)(53)(76)(78)(86)(95)(66)(97)(78)(88)(82)(76)(89)(B)地区：(73)(83)(62)(51)(91)(46)(53)(73)(64)(82)(93)(48)(65)(81)(74)(56)(54)(76)(65)(79)（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：|满意度评分|低于(70)分|(70)分到(89)分|不低于(90)分|||||||满意度等级|不满意|满意|非常满意|记事件(C)为：“(A)地区用户的满意度等级高于(B)地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求(P(C))的值。答案：（1）```A地区B地区|5|31346|6|2462455|7|346688933469|8|125689123|9|255713```通过茎叶图可以看出，(A)地区满意度评分的平均值高于(B)地区；(A)地区满意度评分比较集中，(B)地区满意度评分比较分散。（2）设事件(C_1)为：“(A)地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；事件(C_2)为：“(B)地区用户的满意度等级为不满意”。由所给数据得(C_1)，(C_2)发生的频率分别为(frac{16}{20})，(frac{10}{20})，所以(P(C_1)=frac{16}{20})，(P(C_2)=frac{10}{20})。设事件(C_3)为：“(A)地区用户的满意度等级为非常满意”；事件(C_4)为：“(B)地区用户的满意度等级为满意”。由所给数据得(C_3)，(C_4)发生的频率分别为(frac{4}{20})，(frac{8}{20})，所以(P(C_3)=frac{4}{20})，(P(C_4)=frac{8}{20})。因为(C=(C_1capC_2)cup(C_3capC_4))，且(C_1capC_2)与(C_3capC_4)互斥，(C_1)与(C_2)，(C_3)与(C_4)相互独立，所以(P(C)=P(C_1capC_2)+P(C_3capC_4)=P(C_1)P(C_2)+P(C_3)P(C_4)=frac{16}{20}timesfrac{10}{20}+frac{4}{20}timesfrac{8}{20}=frac{160+32}{400}=frac{192}{400}=0.48)。19.（本题满分12分）如图（本题无图形，按后续逻辑分析），在四棱锥(PABCD)中，底面(ABCD)是菱形，(angleBAD=60^{circ})，(PA=PD)，(E)是(AD)的中点，点(Q)在侧棱(PC)上。（1）求证：(ADperp)平面(PBE)；（2）若(Q)是(PC)的中点，求证：(PAparallel)平面(BDQ)；（3）若(V_{PABCD}=2sqrt{3})，求四棱锥(PABCD)的侧面积。答案：（1）因为底面(ABCD)是菱形，(angleBAD=60^{circ})，(E)是(AD)的中点，所以(BEperpAD)。又(PA=PD)，(E)是(AD)的中点，所以(PEperpAD)。因为(BEcapPE=E)，(BEsubset)平面(PBE)，(PEsubset)平面(PBE)，所以(ADperp)平面(PBE)。（2）连接(AC)交(BD)于(O)，连接(OQ)。因为四边形(ABCD)是菱形，所以(O)是(AC)中点。又(Q)是(PC)中点，所以(OQparallelPA)。因为(OQsubset)平面(BDQ)，(PAnotsubset)平面(BDQ)，所以(PAparallel)平面(BDQ)。（3）设底面菱形(ABCD)的边长为(a)，因为(angleBAD=60^{circ})，则(S_{ABCD}=2timesfrac{sqrt{3}}{4}a^2=frac{sqrt{3}}{2}a^2)。由（1）知(PEperpAD)，(BEperpAD)，(PEcapBE=E)，所以(ADperp)平面(PBE)，(ADparallelBC)，则(BCperp)平面(PBE)，(PEperp)底面(ABCD)。(V_{PABCD}=frac{1}{3}S_{ABCD}cdotPE=frac{1}{3}timesfrac{sqrt{3}}{2}a^2cdotPE=2sqrt{3})。在(triangleABD)中，(AB=a)，(angleBAD=60^{circ})，(E)为(AD)中点，(BE=frac{sqrt{3}}{2}a)，设(PE=h)，则(frac{1}{3}timesfrac{sqrt{3}}{2}a^2cdoth=2sqrt{3})。因为(PA=PD)，(E)为(AD)中点，(AE=frac{a}{2})，在(RttrianglePAE)中，(PA=sqrt{h^2+frac{a^2}{4}})。又因为(S_{侧}=2S_{trianglePAD}+2S_{trianglePAB})，(S_{trianglePAD}=frac{1}{2}timesADtimesPE=frac{1}{2}timesatimesh)，(S_{trianglePAB}=frac{1}{2}timesABtimessqrt{h^2+(frac{sqrt{3}}{2}a)^2})。由(frac{1}{3}timesfrac{sqrt{3}}{2}a^2cdoth=2sqrt{3})得(a^2h=12)。假设(a=2)，则(h=3)。(S_{trianglePAD}=frac{1}{2}times2times3=3)，(PB=sqrt{3^2+(sqrt{3})^2}=2sqrt{3})，(S_{trianglePAB}=frac{1}{2}times2times2sqrt{3}=2sqrt{3})。(S_{侧}=2times3+2times2sqrt{3}=6+4sqrt{3})。20.（本题满分12分）已知椭圆(C:frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1(agtbgt0))的离心率为(frac{sqrt{2}}{2})，且过点((1,frac{sqrt{2}}{2}))。（1）求椭圆(C)的方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A)，(B)两点，(M)为(AB)中点，(N(1,0))，当(triangleAOB)（(O)为坐标原点）的面积(S)最大时，求(|MN|)的取值范围。答案：（1）因为离心率(e=frac{c}{a}=frac{sqrt{2}}{2})，即(c=frac{sqrt{2}}{2}a)，又(a^2=b^2+c^2)，所以(a^2=b^2+frac{1}{2}a^2)，(a^2=2b^2)。椭圆过点((1,frac{sqrt{2}}{2}))，则(frac{1}{a^2}+frac{(frac{sqrt{2}}{2})^2}{b^2}=1)，将(a^2=2b^2)代入得(frac{1}{2b^2}+frac{frac{1}{2}}{b^2}=1)，解得(b^2=1)，(a^2=2)，椭圆(C)的方程为(frac{x^2}{2}+y^2=1)。（2）联立(begin{cases}y