重难点解析江苏省兴化市中考数学真题分类（勾股定理）汇编重点解析练习题（含答案解析）

江苏省兴化市中考数学真题分类（勾股定理）汇编重点解析考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（

）A． B．C． D．2、勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（

）A． B． C． D．3、已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（

）A．5 B．25 C． D．5或4、如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（）A． B． C． D．5、下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（

）A．4，8，7 B．2，2，2 C．2，2，4 D．13，12，56、如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（

）A． B． C． D．7、如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（

）.A． B． C．3 D．第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．2、在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）到原点的距离是_____．3、一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米4、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为_____尺．5、如图，在中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则DF的长为_________．6、附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：________．7、我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为__________．8、《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思为：今有墙高1丈，倚木杆于墙，使木之上端与墙平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．问木杆是多长？（1丈=10尺）设木杆长为x尺根据题意，可列方程为______．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？2、如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB的长；(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．3、在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．4、如图，，两个工厂位于一段直线形河道的异侧，工厂至河道的距离为，工厂至河道的距离为，经测量河道上、两地间的距离为，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂．(1)设，请用的代数式表示的长______；（结果保留根号）(2)为了使，两厂到污水处理厂的排污管道之和最短，请在图中画出污水厂位置，并求出排污管道最短长度？(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你求出的最小值为多少？5、如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？6、如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．7、如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm．(1)判断△BCD的形状，并说明理由；(2)求△ABC的周长．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】由题意根据图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理，分别分析即可得出答案【详解】解：A、不能利用图形面积证明勾股定理；B、根据面积得到；C、根据面积得到，整理得；D、根据面积得到，整理得.故选：A.【考点】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握利用图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理.2、B【解析】【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．【详解】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选B.【考点】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．3、D【解析】【分析】分情况讨论：①当边长为4的边作斜边时；②当边长为4的边作直角边时，利用勾股定理分别求解即可．【详解】解：当边长为4的边作斜边时，第三条边的长度为；当边长为4的边作直角边时，第三条边的长度为；综上分析可知，这个三角形的第三条边的长为5或，故D正确．故选：D．【考点】本题主要考查了勾股定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键．4、C【解析】【分析】先求出△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．【详解】解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝8，∴S△ADE＝16，由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝16，∠BFD＝90°，∴•（AF+DF）•BF＝16，∴•（6+DF）×4＝16，∴DF＝2，∴DB＝，设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，∴h＝4×2，∴h＝，∴点F到BC的距离为．故选：C【考点】此题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．5、D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，看较小的两边的平方和是否等于最大的边的平方即可进行判断.【详解】A、42+72≠82，故不能构成直角三角形；B、22+22≠22，故不能构成直角三角形；C、2+2=4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；D、52+122=132，故能构成直角三角形，故选D．【考点】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即若三角形的三边符合a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．6、B【解析】【分析】由已知证得，进而确定三个内角的大小，求得，进而可得到答案．【详解】解：∵∴∴又∵∴∴∵在等腰直角三角形中∴∴∴∵∴故选：B．【考点】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键．7、D【解析】【分析】由折叠的性质可得DN=CN，根据勾股定理可求DN的长，即可得出结果．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC-CN=6-DN，在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，∴DN2=（6-DN）2+4，∴DN=，∴CN=DN=，故选：D．【考点】本题考查了翻折变换、折叠的性质、勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．二、填空题1、【解析】【分析】少走的距离是AC+BC-AB，在直角△ABC中根据勾股定理求得AB的长即可．【详解】解：如图，∵在中，，∴米，则少走的距离为：米，∵步为米，∴少走了步．故答案为：．【考点】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，掌握勾股定理是解题的关键．2、【解析】【分析】根据两点的距离公式计算求解即可．【详解】解：由题意知点（3，﹣2）到原点的距离为故答案为：．【考点】本题考查了用勾股定理求解两点的距离公式．解题的关键在于熟练掌握距离公式：、两点间的距离公式为．3、8【解析】【分析】先设水深x米，则AB=x，则有BD=AD+AB=x+2，由题条件有BD=BC=x+2，又根据芦节直立水面可知BD⊥AC，则在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出x．【详解】解：设水深x米，则AB=x，则有：BD=AD+AB=x+2，即有：BD=BC=x+2，根据芦节直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，则在直角△ABC中：，即：，解得x=8，即水深8米，故答案为8．【考点】本题考查了勾股定理的应用，从现实图形中抽象出勾股定理这一模型是解答本题的关键．4、13【解析】【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度（尺，答：芦苇长13尺．故答案为：13．【考点】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．5、【解析】【分析】根据折叠的性质可得，，从而得出相应角相等，再根据角之间的关系得出，从而得出为等腰直角三角形，再根据勾股定理求出的长度，利用三角形的面积公式求出的长度，再求出、的长度，最后求出的长度．【详解】解：∵边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，∴，∴，，，∵边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，∴，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．【考点】本题主要考查了图形的翻折变化，勾股定理的运用，等腰直角三角形的判定，根据折叠的性质求得相应的角是解答本题的关键．6、11，60，61【解析】【分析】由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2，知第5组第一个数是11，第二、第三个数相差为1，设第二个数为x，则第三个数为，由勾股定理得：，计算求解即可．【详解】解：由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2，∴知第5组第一个数是11，第二、第三个数相差为1，设第二个数为x，则第三个数为，由勾股定理得：，解得x＝60，∴第5组数是：11、60、61故答案为：11、60、61．【考点】本题考查了数字类规律，勾股定理等知识．解题的关键在于推导规律．7、x2−（x−3）2＝82【解析】【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．【详解】解：设绳索长为x尺，根据题意得：x2−（x−3）2＝82，故答案为：x2−（x−3）2＝82．【考点】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．8、102+（x-1）2=x2【解析】【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x-1）尺，根据勾股定理可列出方程．【详解】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x-1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴102+（x-1）2=x2，故答案为：102+（x-1）2=x2．【考点】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．三、解答题1、E应建在距A点15km处【解析】【分析】设，则，根据勾股定理求得和，再根据列式计算即可；【详解】设，则，由勾股定理得：在中，，在中，，由题意可知：，所以：，解得：．所以，E应建在距A点15km处．【考点】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键．2、(1)⊙M与x轴相切，理由见解析(2)6(3)【解析】【分析】（1）连接CM，证CM⊥x即可得出结论；（2）过点M作MN⊥AB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；（3）连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所以OB=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，即可求得CD，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，从而得出点D坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可．(1)解：⊙M与x轴相切，理由如下：连接CM，如图，∵MC=MA，∴∠MCA=∠MAC，∵AC平分∠OAM，∴∠MAC=∠OAC，∴∠MCA=∠OAC，∵∠OAC+∠ACO=90°，∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，∵MC是⊙M的半径，点C在x轴上，∴⊙M与x轴相切；(2)解：如图，过点M作MN⊥AB于N，由（1）知，∠MCO=90°，∵MN⊥AB于N，∴∠MNO=90°，AB=2AN，∵∠CON=90°，∴∠CMN=90°，∴四边形OCMN是矩形，∴MN=OC，ON=CM=5，∵OA+OC=6，设AN=x，

∴OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得x2+(1+x)2=52，解得：x1=3，x2=-4（不符合题意，舍去），∴AN=3，∴AB=2AN=6；(3)解：如图，连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，∴OB=8，C（4，0）在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，得BC=，∵BD是⊙M的直径，∴∠BCD=90°，BD=10，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，得CD=，即CD2=20，在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD2=CD2-CP2=20-CP2，在Rt△MPD中，由勾股定理，得PD2=MD2-MP2=MD2-（MC-CP）2=52-（5-CP）2=10CP-CP2，∴20-CP2=10CP-CP2，

∴CP=2，∴PD2=20-CP2=20-4=16，∴PD=4，即D点横坐标为OC+PD=4+4=8，∴D（8,-2），设直线CD解析式为y=kx+b，把C（4,0），D（8,-2）代入，得，解得：，∴直线CD的解析式为：．【考点】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握直线与圆相切的判定、待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．3、（1）是，理由见解析；（2）2.5米．【解析】【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得Rt△CHB是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，在Rt△ACH中，根据勾股定理列方程求得x即可．【详解】（1）∵，即，∴Rt△CHB是直角三角形，即CH⊥BH，∴CH是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，∵在Rt△ACH，∴，即，解得x＝2.5，∴原来的路线AC的长为2.5米．【考点】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键．4、(1)+；(2)污水厂位置见解析，排污管道最短长度为10km；(3)13【解析】【分析】（1）依据ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用x表示出AE＋BE的长；（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长；（3）根据AE＋BE＝＋＝AB＝10，可猜想所求代数式的值为13．(1)解：在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE＝，BE＝，∴AE+BE＝+；(2)解：根据两点之间线段最短可知，连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置，如图：过点B作BF⊥AC于F，则有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1，∴AF＝AC＋CF＝6，在Rt△ABF中，BA＝＝＝10，∴排污管道最短长度10km；(3)解：根据以上推理，可作出下图：设ED＝x，AC＝3，DB＝2，CD＝12．当A、E、B共线时求出AB的值即为原式最小值．当A、E、B共