第三单元《长方体和正方体》章节复习巩固数学五年级下册重难点讲义（解析）人教版

20212022学年人教版五年级下册同步重难点讲义精讲精练第三单元长方体和正方体知识点一：长方体和正方体的认识1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。4、长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点，只是正方体的棱长都相等。正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。知识点二：长方体和正方体的表面积1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4底面积（占地面积）＝长×宽侧面积（左面、右面）＝宽×高前（后）面积＝长×高表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×23、正方体公式：棱长和＝棱长×12棱长＝棱长和÷12表面积＝棱长×棱长×6（任意一个面积×6）没盖的表面积＝棱长×棱长×5知识点三：长方体和正方体的体积1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高字母公式：v=abhv=sh3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长4、读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a×a×a）。5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成，，。6、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。8、、体积和容积单位之间的进率：1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米1立方分米＝1升1立方厘米＝1毫升1升＝1000毫升字母表示：1=10001=10001L=1000ml1L=11ml=19、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。考点1：长方体的特征【典例分析01】（2022春•兴仁市校级月考）一个长方体长13厘米，宽8厘米，高6厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（）A．13厘米 B．8厘米 C．7厘米 D．6厘米【思路引导】比较长方体的长、宽、高的大小，切成的正方体棱长最长不能超过它们中最小的数据，据此解答。【完整解答】解：13＞8＞6，所以正方体的棱长最大是6厘米。故选：D。【考察注意点】主要考查把一个长方体切成一个最大的正方体，根据长方体的长、宽、高来确定正方体的最大棱长。【典例分析02】小青过生日了。小亚给小青准备的生日礼物（如图），你知道小亚包扎礼物盒用的丝带有多长吗？【思路引导】根据题意和图形可知，所需丝带的长度等于2条长，2条宽，4条高，再加打结处用的20厘米；由此列式解答。【完整解答】解：8×2+6×2+5×4+20＝16+12+20+20＝68（cm）答：小亚包扎礼物盒用的丝带有68厘米长。【考察注意点】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些棱的长度和。【变式训练11】（2021秋•武山县期末）中秋节，好利来蛋糕房用一根70米长的红丝带包装月饼盒．每个月饼盒要用1.6米长的丝带．这根红丝带最多可以包装多少盒月饼？【思路引导】用丝带的总米数除以包装每盒月饼所用丝带的米数即能求出可包装多少盒．【完整解答】解：70÷1.6＝43.75（盒）43.75取整为43盒．答：这根红丝带最多可以包装43盒月饼．【考察注意点】由于是求具体事物的个数，所以最后应取整．【变式训练12】（2021秋•莱芜区期末）李叔叔用一根52厘米长的铁丝做一个高5厘米的长方体模型，能做成多少种不同的长方体？（长、宽均为整厘米数）请你用合适的方式把所有不同的长方体都列举出来吧!【思路引导】先求长、宽、高的和是多少，52÷4＝13（厘米）；再求长与宽的和是多少，13﹣5＝8（厘米）；计算求出合适的长与宽，据此分析即可。【完整解答】解：52÷4＝13（厘米）13﹣5＝8（厘米）7+1＝8（厘米）6+2＝8（厘米）5+3＝8（厘米）4+4＝8（厘米）所以共四种情况；长宽高分别为：①7cm，1cm，5cm；②6cm，2cm，5cm；③5cm，3cm，5cm；④4cm，4cm，5cm。答：共四种情况；长宽高分别为：①7cm，1cm，5cm；②6cm，2cm，5cm；③5cm，3cm，5cm；④4cm，4cm，5cm。【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及棱长总和公式：（长+宽+高）×4，注意灵活运用。考点2：正方体的特征【典例分析03】（2022春•播州区月考）用一根36cm长的铁丝做一个正方体框架，这个正方体的棱长是_______cm。（）A．3 B．4 C．6 D．12【思路引导】根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，用棱长总和除以12即可。【完整解答】解：36÷12＝3（厘米）答：这个正方体的棱长是3厘米。故选：A。【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及棱长总和公式的灵活运用。【典例分析04】（2021春•德惠市期中）用一根长120厘米的铁丝围成一个正方体框架，棱长最长为（）厘米。A．15 B．20 C．12 D．10【思路引导】根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，用棱长总和除以12即可。【完整解答】解：120÷12＝10（厘米）答：棱长最长为10厘米。故选：D。【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及棱长总和公式的灵活运用。【变式训练21】（2021秋•福绵区期末）一个正方体木箱的棱长是米，将木箱的每条棱钉上木条，一共用9米木条。【思路引导】正方体有12条棱，这些棱都相等，将木箱的每条棱钉上木条，求一共用多少米木条，即是求正方体棱长之和，根据正方体棱长之和＝棱长×12，列式计算即可。【完整解答】解：×12＝9（米）答：一共用9米木条。故答案为：9。【考察注意点】本题主要考查正方体的特征，正方体棱长之和＝棱长×12。【变式训练22】（2022春•播州区月考）蛋糕店用彩带包装一个生日蛋糕盒（如图），包装好后还预留60cm彩带打蝴蝶结，这根彩带一共长多少厘米？【思路引导】根据题意可知：需要彩带的长度＝这个蛋糕盒的两条长+两条宽+4条高+接头处用的60厘米，因为蛋糕盒长、宽、高都相等，是正方体，所以彩带长度＝蛋糕盒的边长×8+接头处用的60厘米，列式计算解答即可。【完整解答】解：45×8+60＝360+60＝420（厘米）答：这根彩带一共长420厘米。【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，解答关键是弄清这个礼品盒是如何捆扎的，需要求哪几条棱的长度和。考点3：表面积的认识【典例分析05】用两个长、宽、高分别是3厘米，2厘米，1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（）平方厘米．A．44 B．40 C．32 D．38【思路引导】要使拼组后的表面积最小，则可以把这两个长方体的最大面（3×2的面）相粘合，这样表面积就比原来的表面积减少了2个最大面的面积，由此利用长方体的表面积公式先求出这两个长方体的表面积之和，再减去两个3×2面的面积即可解答．【完整解答】解：（3×2+3×1+1×2）×2×2﹣3×2×2＝11×4﹣12＝44﹣12＝32（平方厘米），答：表面积最小是32平方厘米．故选：C．【考察注意点】两个相同的长方体拼组大长方体，要使拼组后的表面积最小，则把最大面相粘合．【典例分析06】（2019春•章丘区期末）一个长方体的底是面积为4平方分米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个长方体的侧面积是（）平方分米．A．18 B．48 C．64【思路引导】根据正方形的面积公式：S＝a2，已知长方体的底面是正方形，面积是4平方分米，由此可以求出底面边长，再根据正方形的周长公式：C＝4a，求出底面周长，它的侧面展开图正好是一个正方形，说明这个长方体的底面周长和高相等，把数据代入公式解答即可．【完整解答】解；因为2的平方是4，所以底面边长是2分米，2×4＝8（分米）8×8＝64（平方分米）答：这个长方体的侧面积是64平方分米．故选：C．【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及正方形的面积公式、周长公式的灵活运用．【变式训练31】（2021春•阳信县期末）体积相等的长方体，表面积一定相等．×．（判断对错）【思路引导】若两个长方体形的箱子，它的长5厘米、宽4厘米、高3厘米，另一个的长是12厘米，宽是5厘米，高是1厘米，分别算出它们的体积和表面积进行比较．据此解答．【完整解答】解：长5厘米、宽4厘米、高3厘米长方体的体积是：5×4×3＝60（立方厘米），长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体的表面积是：（5×4+5×3+4×3）×2，＝（20+15+12）×2，＝47×2，＝94（平方厘米）．长12厘米，宽是5厘米，高是1厘米的长方体的体积是：12×5×1＝60（立方厘米），长12厘米，宽是5厘米，高是1厘米的长方体的表面积是：（12×5+5×1+12×1）×2，＝（60+5+12）×2，＝77×2，＝154（平方厘米）．它们的体积相等，表面积不相等．故答案为：×．【考察注意点】本题的关键是通过举例验证体积相等的长方体，它们的表面积不一定相等．【变式训练32】（2020春•汤阴县期中）一种长方体铁皮通风管长3m，管口是边长为2dm的正方形．做20根这样的通风管至少需要多少平方米的铁皮？（接口忽略不计）【思路引导】由于通风管没有底面，所以只求它的侧面积即可，长方体的侧面积＝底面周长×高，据此列式解答．【完整解答】解：2分米＝0.2米0.2×4×3×20＝2.4×20＝48（平方米）答：做20根这样通风管至少要48平方米铁皮．【考察注意点】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么（体积、表面积还是几个面的面积），再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．考点4：体积、容积进率及单位换算【典例分析07】（2021秋•钦北区期末）在横线上填上“＞”“＜”或“＝”。3升2500毫升1001毫升999升360÷6÷3360÷9÷2【思路引导】3升＝3000毫升，3000毫升＞2500毫升；999升＝999000毫升，1001毫升＜999000毫升；360÷6÷3＝360÷（6×3）＝360÷18，360÷9÷2＝360÷（9×2）＝360÷18，360÷6÷3＝360÷9÷2。【完整解答】解：3升＞2500毫升1001毫升＜999升360÷6÷3＝360÷9÷2故答案为：＞，＜，＝。【考察注意点】不同单位的名数的大小比较通常是先化成相同的单位名数，再根据数值的大小进行比较。算式的大小比较通常是口算或估算出结果再根据结果进行比较，或先找规律或性质，然后再根据规律或性质进行比较。【典例分析08】立方米和立方分米单位间的进率是，立方分米和立方厘米单位间的进率是。【思路引导】根据对常用体积（容积）单位的认识，立方米和立方分米单位间的进率是1000，立方分米和立方厘米单位间的进率是1000。【完整解答】解：立方米和立方分米单位间的进率是1000，立方分米和立方厘米单位间的进率是1000。故答案为：1000，1000。【考察注意点】立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）相邻单位之间的进率是1000。【变式训练41】（2021秋•钟楼区校级期末）把一瓶净含量是2升的果汁倒进容量是250毫升的杯子，倒满2杯后，瓶中还剩毫升，剩下的果汁还能再倒满杯。【思路引导】把一瓶净含量是2升的果汁倒进容量是250毫升的杯子，倒满2杯后，倒出果汁的体积是2个500毫升，用乘法可求得倒出的毫升数，把2升化成2000毫升，用2000毫升减倒出的毫升数，就是瓶内剩下的毫升数；再用剩下的毫数除以250毫升。【完整解答】解：2升＝2000毫升2000﹣250×2＝2000﹣500＝1500（毫升）1500÷250＝6（杯）答：瓶中还剩1500毫升，剩下的果汁还能再倒满6杯。故答案为：1500，6。【考察注意点】此题考查了体积（容积）的单位换算、整数除法的应用。【变式训练42】（2021秋•侯马市期末）15升＝15000毫升；5升﹣200毫升＝4800毫升。【思路引导】高级单位升化低级单位毫升乘进率1000；把5升乘进率1000化成5000毫升再计算，只把数值相减，单位不变。【完整解答】解：15升＝15000毫升；5升﹣200毫升＝4800毫升。故答案为：15000，4800。【考察注意点】升与毫升之间的进率是1000，由高级单位化低级单位乘进率，反之，除以进率。不同单位的名数加减计算要先化成相同单位的名数再计算。相同单位的名数相加减，只把数值相加减，单位不变。考点5：长方体和正方体的表面积【典例分析09】（2022春•兴仁市校级月考）商场有一个长方体的柜台，长10米，宽0.6米，高0.9米。这个柜台的占地面积是（）平方米。A．5.4 B．6 C．9 D．0.54【思路引导】根据题意可知，这个柜台的占地面积指的是这个长方体的底面积，根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式解答。【完整解答】解：10×0.6＝6（平方米）答：这个柜台的占地面积是6平方米。故选：B。【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。【典例分析10】（2022春•播州区月考）一个装钙奶饼干的长方体盒子高20厘米，底面是100cm2的正方形，一张商标纸正好贴满盒子四周，这张商标纸至少有_______cm2。（）A．200 B．400 C．800 D．2000【思路引导】根据长方体的侧面积＝底面周长×高，已知长方体盒子的底面是正方形，底面积是100平方厘米，根据正方形的面积公式：S＝a2，据此可以求出底面边长，进而求出这张商标纸的面积。【完整解答】解：因为10的平方是100，所以长方体的底面边长是10厘米，10×4×20＝40×20＝800（平方厘米）答：这张商标纸的至少800平方厘米。故选：C。【考察注意点】此题主要考查正方形的面积公式、长方体的侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是求出长方体的底面边长。【变式训练51】（2022春•兴仁市校级月考）一个长方体，如果高减少2cm就变成了一个正方体，表面积比原来减少72cm2。原来长方体的表面积是多少平方厘米？【思路引导】根据题意可知：一个长方体，如果高减少2cm，就变成一个正方体，说明原来长方体的底面是正方形；又表面积比原来减少了72cm2，表面积减少的是高为2cm的长方体的4个侧面的面积，由此可以求出减少部分的1个侧面的面积，进而求出底面边长和高，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答即可。【完整解答】解：原长方体的底面边长是：72÷4÷2＝18÷2＝9（cm）高是：9+2＝11（cm）（9×9+9×11+9×11）×2＝（81+99+99）×2＝279×2＝558（cm2）答：原来长方体的表面积是558平方厘米。【考察注意点】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，解答的关键是求出原来长方体的底面边长和高。【变式训练52】（2022春•兴仁市校级月考）下面是两个无盖的纸盒，分别求出它们的棱长总和和表面积。（单位：cm）【思路引导】（1）根据长方体的棱长总和＝（a+b+h）×4，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式解答。（2）根据正方体的棱长总和＝棱长×12，无盖正方体的表面积公式：S＝5a2，把数据代入公式解答。【完整解答】解：（1）（13+4+3）×4＝20×4＝80（厘米）13×4+13×3×2+4×3×2＝52+78+24＝154（平方厘米）答：这个长方体的棱长总和是80厘米，表面积是154平方厘米。（2）5×12＝60（厘米）5×5×5＝25×5＝125（平方厘米）答：这个正方体的棱长总和是60厘米，表面积是125平方厘米。【考察注意点】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。考点6：长方体和正方体的体积【典例分析11】（2022春•浠水县校级月考）由一个正方体木块加工成最大的圆柱，它的底面直径是10厘米，这个正方体的体积是（）立方厘米。A．8000 B．4000 C．1000 D．314【思路引导】根据题意可知，把一个正方体加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。【完整解答】解；10×10×10＝1000（立方厘米）答：这个正方体的体积是1000立方厘米。故选：C。【考察注意点】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。【典例分析12】学校运来8.4m3的沙子，铺在一个长6m、宽28dm的沙坑里，可以铺0.5m厚。【思路引导】先把28dm化成2.8m，由长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数据解答即可。【完整解答】解：28dm＝2.8m8.4÷（6×2.8）＝8.4÷16.8＝0.5（m）答：可以铺0.5m厚。故答案为：0.5。【考察注意点】熟练掌握长方体的体积的计算方法是解题的关键，解决此题要注意先统一单位。【变式训练61】（2021秋•泗洪县期末）一根长方体木料，长5米，横截面是一个边长为0.4米的正方形。这根木料横截面的面积是0.16平方米，体积是0.8立方米。【思路引导】由题意可知：横截面是一个正方形，其边长为0.4米，利用正方形的面积公式S＝边长×边长即可求解；再据长方体的体积V＝Sh，即可求出木料的体积。【完整解答】解：0.4×0.4＝0.16（平方米）0.16×5＝0.8（立方米）答：这根木料的横截面面积是0.16平方米，体积是0.8立方米。故答案为：0.16，0.8。【考察注意点】此题主要考查正方形和长方体的体积的计算方法的实际应用。【变式训练62】为了迎接建校95周年，幸福小学五年级学生用棱长4cm的正方体木块拼插积木，在宣传栏旁边搭起一面长8m、宽12cm、高2m的宣传墙，这面墙一共用了多少块积木？【思路引导】长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此分别求出长方体宣传墙的体积和正方体木块的体积，再用长方体的体积除以正方体的体积即可。【完整解答】解：8m＝800cm，2m＝200cm800×12×200÷4³＝9600×200÷64＝1920000÷64＝30000（块）答：这面墙一共用了30000块积木。【考察注意点】熟练掌握长方体、正方体体积的计算方法是解题的关键。考点7：长方体、正方体表面积与体积计算的应用【典例分析13】四张长方形纸的长、宽分别如下，把这四张纸分别以长边为底面周长，短边为高卷成圆柱，体积最大的是（）A． B． C． D．【思路引导】圆柱的体积＝底面积×高，分别求出体积进行比较即可。【完整解答】解：A.π×（24÷π÷2）²×1＝π××1＝（cm³）B.π×（6÷π÷2）²×4＝π××4＝（cm³）C.π×（12÷π÷2）²×2＝π××2＝（cm³）D.π×（8÷π÷2）²×3＝π××3＝（cm³）＞＞＞故选：A。【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征，圆柱体积的计算方法及应用。【典例分析14】（2021秋•伊川县期末）做一个长方体纸盒，需要用多少平方厘米的硬纸板，是求长方体纸盒的（）A．体积 B．容积 C．表面积【思路引导】根据长方体的表面积的意义，长方体的6个面的总面积叫做长方体的表面积。据此解答即可。【完整解答】解：做一个长方体纸盒，需要用多少平方厘米的硬纸板，是求长方体纸盒的表面积。故选：C。【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用。【变式训练71】（2021秋•鹿邑县期末）有一个长方体游泳池，从里面量长50米，宽25米，池深2米。（1）这个游泳池最多能蓄水2500立方米。（2）在游泳池的底面和四壁贴瓷砖，瓷砖是边长0.5米的正方形，一共需要6200块这样的瓷砖。【思路引导】（1）求这个游泳池最多能蓄水多少立方米，就是求这个游泳池的容积，根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。（2）由于游泳池是无盖的，所以贴瓷砖的是游泳池的一个底面和4个侧面，根据长方体的表面积的计算方法求出这5个面的面积，然后用贴瓷砖的面积除以每块瓷砖的面积即可求出所需块数。【完整解答】解：（1）50×25×2＝1250×2＝2500（立方米）答：这个游泳池最多能蓄水2500立方米。（2）[50×25+（50×2+25×2）×2]÷（0.5×0.5）＝[1250+（100+50）×2]÷0.25＝[1250+150×2]÷0.25＝[1250+300]÷0.25＝1550÷0.25＝6200（块）答：一共需要6200块这样的瓷砖。故答案为：2500；6200。【考察注意点】本题主要考查了长方体体积和表面积计算在实际中的运用，要灵活掌握。【变式训练72】（2022春•岷县月考）火柴盒大家一定很熟悉吧，丽丽测得如图这个火柴盒外壳的长是5cm，宽是4cm，高是1.6cm。（1）火柴盒外壳的上、下两个面都贴有商标纸，这两个面的面积和是多少？（2）外壳的前、后两个面上贴的是擦火柴的专用纸，该专用纸的面积共是多少？（3）外壳用硬纸板做成，做这个外壳共需多少硬纸板？（4）外壳的里面是内盒，忽略纸板厚度，做这个内盒要用多少硬纸板？【思路引导】（1）根据长方形的面积公式S＝ab，用（5×4）求出一个面的面积，再乘上2，即可求出这两个面的面积；（2）根据长方形的面积公式S＝ab，用（5×1.6）求出一个面的面积，再乘上2，即可求出专用纸的面积；（3）求这个外壳共需多少硬纸板，就是求上、下两个面、前、后两个面和一个左面的面积和；根据长方体的表面积公式S＝（ab+ah+bh）×2，进行解答即可；（4）求这个内盒共需多少硬纸板，就是求一个底面、前、后两个面和左右两个米的面积和；根据长方体的表面积公式S＝（ab+ah+bh）×2，进行解答即可。【完整解答】解：（1）5×4×2＝20×2＝40（平方厘米）答：这两个面的面积和是40平方厘米。（2）5×1.6×2＝8×2＝16（平方厘米）答：专用纸的面积共是16平方厘米。（3）5×4×2+5×1.6×2＝40+16＝56（平方厘米）答：做这个外壳共需56平方厘米硬纸板。（4）5×4+5×1.6×2+4×1.6×2＝20+16+12.8＝48.8（平方厘米）答：做这个内盒要用48.8平方厘米硬纸板。【考察注意点】解答此题的关键是弄清楚：内盒和外盒各由哪些面组成，然后运用长方体表面积公式即可得解。基础练一．选择题1．（2022春•成武县校级月考）这个长方体上有（）种不同的长方形。A．2 B．3 C．6【思路引导】长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，左右面相等，上下面相等，前后面相等，因此长方体上有3种不同的长方形。【完整解答】解：这个长方体上有3种不同的长方形，上下面相等的长方形，左右面相等的长方形，前后面相等的长方形。故选：B。2．（2022春•兴化市月考）把一个半径和高都是1分米的圆柱沿底面半径平均分成若干等份，切开拼成一个近似的长方体，表面积增加（）平方分米。A．2 B．3.14 C．4 D．4.14【思路引导】切开后拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了2个以圆柱的底面半径为宽，高为长的长方形的面积，由此解答即可。【完整解答】解：1×1×2＝2（平方分米）答：表面积增加2平方分米。故选：A。3．（2021秋•合山市期末）下面说法正确的是（）A．1000毫升水比10升水多 B．1430毫升油比1升油少 C．毫升是比升小的容量单位【思路引导】1升＝1000毫升，据此进率利用单位之间的换算方法，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率。【完整解答】解：10升＝10000毫升，因此10升大于1000毫升，原题说法错误；1升＝1000毫升，1430毫升比1升多，原题说法错误；升是比毫升大的容积单位，毫升是比升小的容积单位。原题说法正确。故选：C。二．填空题4．（2022春•成武县校级月考）一个长方体长10cm，宽3cm，高7cm，这个长方体右面的面积是21平方厘米，前面的面积是70平方厘米，下面的面积是30平方厘米，表面积是242平方厘米。【思路引导】一个长方体长10cm，宽3cm，高7cm，这个长方体右面是一个长和宽分别为7厘米和3厘米的长方形，前面是一个长和宽分别为10厘米和7厘米的长方形，下面是一个长和宽分别为10厘米和3厘米的长方形，据此根据长方形面积＝长×宽可求出各个面的面积，用长方体右面、前面、下面的面积相加的和乘2，即可求出长方体的表面积。【完整解答】解：3×7＝21（平方厘米）10×7＝70（平方厘米）10×3＝30（平方厘米）（21+70+30）×2＝121×2＝242（平方厘米）答：这个长方体右面的面积是21平方厘米，前面的面积是70平方厘米，下面的面积是30平方厘米，表面积是242平方厘米。故答案为：21，70，30，242。5．（2022春•兴化市月考）0.05立方分米＝50立方厘米1.6升＝1升600毫升【思路引导】根据1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，解答此题即可。【完整解答】解：0.05立方分米＝50立方厘米1.6升＝1升600毫升故答案为：50；1；600。6．（2021秋•陵水县期末）一个长方体正好平均分成两个正方体，正方体的棱长是4厘米，则这个长方体的体积是128立方厘米。【思路引导】由图可知：原来长方体的长为4×2＝8厘米，宽为4厘米，高为4厘米；求这个长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高进行解答即可。【完整解答】解：4×2＝8（厘米）体积：8×4×4＝32×4＝128（立方厘米）答：这个长方体的体积是128立方厘米。故答案为：128立方厘米。7．（2021秋•徐州期末）如图是一个长方体礼品盒，把长方体礼品盒沿虚线捆扎，至少需要38厘米长的彩带。【思路引导】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等，据此观察虚线部分是指哪条棱的长度，有几条，就用乘加方法计算。【完整解答】解：6×2+5×2+4×4＝12+10+16＝22+16＝38（厘米）答：至少需要38厘米长的彩带。故答案为：38。三．判断题8．（2021秋•赫章县期末）长方体（除正方体外）最多有4条棱相等。×（判断对错）【思路引导】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱，当有两个面是正方形时，那么此时最多有8条棱相等，据此解答。【完整解答】解：长方体（除正方体外）最少有4条棱相等。原题说法错误。故答案为：×。9．（2021秋•南充期末）有一个面是正方形的立体图形一定是正方体．×（判断对错）【思路引导】根据长方体、正方体的特征，长方体的6个面一般都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形；正方体的6个面都是正方形；据此判断．【完整解答】解：因为长方体在特殊情况有两个相对的面是正方形，所以有一个面是正方形的立体图形一定是正方体．这种说法是错误的．故答案为：×．10．（2021秋•鲁山县期末）一个长方体和一个正方体的体积相等，那么它们的表面积也相等×（判断对错）【思路引导】长方体的体积＝abh，正方体的体积＝a3，长方体表面积公式：S＝2ab+2ah+2bh，正方体表面积公式：S＝6a2，此题可以采用举例说明的方法进行判断．【完整解答】解：一个长方体和正方体的体积相等，都是8，所以正方体的棱长是2，表面积是2×2×6＝24；长方体的长宽高可以分别是：1、2、4，表面积是：1×2×2+1×4×2+2×4×2＝4+8+16＝28，所以“一个长方形和一个正方体的体积相等，那么它们的表面积也相等”说法错误．故答案为：×．四．计算题11．（2021秋•鹿邑县月考）下面是由一个长方体和一个正方体组合成的零件，求这个零件的体积。【思路引导】根据长方体的体积公式：V＝abh，正方体的体积公式：V＝a3，把数据分别代入公式进行解答即可。【完整解答】解：8×8×8+4×4×12＝512+192＝704（立方分米）答：它的体积是704立方分米。五．应用题12．（2022春•成武县校级月考）李师傅要做一个棱长是4dm的正方体通风管，至少需要多少平方分米的铁皮？【思路引导】通风管两端需要通风，不需要用铁皮做，所以求做正方体形状的通风管需要的铁皮面积，就是求4个边长为4dm的正方形面积的和。【完整解答】解：4×4×4＝16×4＝64（平方分米）答：至少需要64平方分米的铁皮。13．（2021秋•宿城区期末）某小学修建一座长50米，宽15米，深1.4米的游泳池。（1）这个游泳池的占地面积多少平方米？（2）如果在游泳池的四周和底面贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？（3）如果将900立方米的水注入游泳池，水面距离池口多少米？【思路引导】（1）求占地面积，即底面积，根据“长方体的底面积＝长×宽”进行解答即可；（2）求贴瓷砖的面积就等于水池的四个面的面积加上底面的面积，即可求解；（3）先根据水的体积和长方体水池的底面积，求水池中水的高度，然后用水池的高度减去水的高度即可求出水离池口多少米。【完整解答】解：（1）50×15＝750（平方米）答：泳池占地面积750平方米。（2）50×15+50×1.4×2+15×1.4×2＝750+140+42＝932（平方米）答：贴瓷砖面积是932平方米。（3）900÷（50×15）＝900÷750＝1.2（米）1.4﹣1.2＝0.2（米）答：水面距离池口0.2米。14．（2021春•兰山区期末）一个长方体的茶叶盒，长6cm，宽5cm，高10cm，如果围着它贴一圈商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？【思路引导】根据题意可知：在这个长方体饼干盒的侧面贴一圈商标纸（上、下面不贴），也就是求这个长方体的前后、左右四个面的总面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。【完整解答】解：（6×10+5×10）×2＝（60+50）×2＝110×2＝220（平方厘米）答：这张商标纸的面积至少有220平方厘米。15．（2021春•青羊区期末）下面是一个长方体的展开图，请同学们看图列式计算它的体积和表面积。（单位：厘米）【思路引导】根据长方体的展开图，可以求出长方体的宽是：21﹣6×2＝9（厘米），然后根据长方体的体积公式V＝abh和表面积公式S＝（ab+ah+bh）×2即可解答。【完整解答】解：长方体的宽是：21﹣6×2＝9（厘米）长方体的体积：11×9×6＝99×6＝594（立方厘米）长方体的表面积：（11×9+9×6+11×6）×2＝（99+54+66）×2＝219×2＝438（平方厘米）答：长方体的体积是594立方厘米，表面积是438平方厘米。16．（2021春•肥乡区期中）一个无盖的长方体食品盒，长15厘米，宽15厘米，高20厘米，如果在它的外面全部贴上商标纸，至少需要准备多少平方厘米的商标纸？【思路引导】先要明确贴商标纸的是5个面，即下面、前面、后面、左面、右面，长方体的长、宽、高已知，从而利用长方体的表面积公式，S＝a×b+（a×c+b×c）×2，即可求解。【完整解答】解：15×20+（15×15+15×20）×2＝300+（225+300）×2＝300+525×2＝300+1050＝1350（平方厘米）答：至少需要准备1350平方厘米的商标纸提高练一．选择题1．（2021秋•杏花岭区期末）在一个长方体木块上挖掉一个小正方体（如图），则剩下部分的表面积（）A．比原来大 B．比原来小 C．和原来一样大 D．无法比较【思路引导】由题意可知：挖去一个小正方体后，减少了小正方体的3个面，同时又增加了小正方体的3个面，因此挖掉一个小正方体的表面积就等于原长方体的表面积，据此解答即可。【完整解答】解：挖去一个小正方体后，减少了小正方体的3个面，同时又增加了小正方体的3个面，因此挖掉一个小正方体的表面积就等于原长方体的表面积，所以剩下部分的表面积和原来的表面积一样大。故选：C。2．（2021秋•左云县期末）东东将一块棱长6厘米的正方体橡皮泥捏成一个长9厘米，宽4厘米的长方体，那这个长方体的高是（）厘米。A．6 B．5 C．12【思路引导】根据体积的意义可知，把正方体橡皮泥捏成长方体，只是形状变了，体积不变，根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷（ab），把数据代入公式解答。【完整解答】解：6×6×6÷（9×4）＝216÷36＝6（厘米）答：这个长方体的高是6厘米。故选：A。3．（2021秋•秦淮区期末）下面是一个长方体的四个面，另两个面的面积和是（）A．70平方厘米 B．20平方厘米 C．35平方厘米 D．40平方厘米【思路引导】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。通过观察长方体的4个面的长和宽，可以确定另外两个面是长7厘米、宽5厘米的长方形。根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。【完整解答】解：7×5×2＝35×2＝70（平方厘米）答：另外两个面的面积和是70平方厘米。故选：A。二．填空题4．（2022春•兴仁市校级月考）把三个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，表面积会减少1600cm2，这个长方体的棱长总和是400cm。【思路引导】根据题意可知，把三个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了正方体的4个面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，求出正方体的一个面的面积，然后再乘4就是减少的表面积；拼成的长方体，长方体的长和宽等于正方体的棱长，高是正方体的棱长的3倍，即（3×2）厘米，根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答。【完整解答】解：2×2×4＝4×4＝16（平方分米）（2+2+3×2）×4＝（2+2+6）×4＝10×4＝40（分米）16平方分米＝1600平方厘米40分米＝400厘米答：表面积减少1600平方厘米，这个长方体的棱长总和是400厘米。故答案为：1600，400。5．（2021秋•鹿邑县期末）用一根48厘米长的铁丝正好做成一个正方体框架，如果在这个框架的表面糊上一层纸，至少需要96平方厘米的纸，这个正方体的体积是64立方厘米。【思路引导】48厘米是正方体的棱长和，根据正方体的棱长之和等于12乘棱长，用48除以12，即可求出正方体的棱长，再用棱长乘棱长乘6，即可求出正方体6个面的面积，即表面糊上一层纸至少需要的面积；再用棱长乘棱长乘棱长求出正方体的体积；由此列式解答即可。【完整解答】解：48÷12＝4（厘米）4×4×6＝16×6＝96（平方厘米）4×4×4＝64（立方厘米）答：至少需要96cm2的纸，这个正方体的体积是64cm3。故答案为：96，64。6．（2021秋•沭阳县期末）一个长方体水池，长是6米，宽是4米，深是2米。在这个水池里放入54立方米水，水深2米。【思路引导】根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷a÷b，把数据代入公式解答。【完整解答】解：54÷6÷4＝9÷4＝2.25（米）2.25＞2答：水深2米。所以水会溢出。故答案为：2。7．（2021秋•尧都区期末）如图，将一个正方体沿虚线切三刀表面积增加了150平方厘米，这个正方体原来的表面积是150平方厘米，体积是125立方厘米。【思路引导】根据正方体的特征，6个面是完全相同的正方形，如图将一个立方体沿虚线切三刀后，表面积增加了150平方厘米，每切一刀就增加两个切面的面积，切三刀就增加了6个切面的面积，也就是这个正方体的表面积是150平方厘米，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，首先求出棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。【完整解答】解：这个正方体原来的表面积是150平方厘米，150÷6＝25（平方厘米）因为5的平方是25，所以正方体的棱长是5厘米；5×5×5＝125（立方厘米）答：这个正方体原来的表面积是150平方厘米，体积是125立方厘米。故答案为：150，125。三．判断题8．（2021秋•东台市期末）一盒果汁的包装盒上标注“净含量600ML”，从外面量，长方体包装盒的长是10厘米，宽4厘米，高15厘米，这个标注是真实的。×（判断对错）【思路引导】根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式求出这个包装盒的体积，然后与所标注的净含量进行比较，如果标注的净含量小于包装盒的体积，说明标注真实，否则就不真实。据此判断。【完整解答】解：10×4×15＝600（立方厘米）600立方厘米＝600毫升所以，这个标注不真实。因此，题干中的结论是错误的。故答案为：×。9．（2021秋•涿鹿县校级期末）一个棱长是6分米的铁皮箱，它的体积和表面积相等。×（判断对错）【思路引导】根据体积、表面积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积，物体表面的大小叫做物体的表面积。因为体积和表面积不是同类量，所以无法比较。据此判断。【完整解答】解：因为体积和表面积不是同类量，所以无法比较。因此，题干中的结