2025成年人数学函数最值求解考试题及答案

2025成年人数学函数最值求解考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.函数\(y=2x+1\)在区间\([1,3]\)上的最大值是（）A.3B.5C.7D.92.二次函数\(y=x^2-2x+3\)的最小值是（）A.1B.2C.3D.43.函数\(y=\frac{1}{x}\)在区间\([2,4]\)上的最大值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.2D.44.函数\(y=3\sinx\)的最大值是（）A.-3B.0C.1D.35.函数\(y=-x^2+4x\)的对称轴为（）A.\(x=1\)B.\(x=2\)C.\(x=3\)D.\(x=4\)6.若函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\lt0\)），其最大值在（）取得A.\(x=-\frac{b}{2a}\)B.\(x=\frac{b}{2a}\)C.\(x=0\)D.\(x=1\)7.函数\(y=2x^2-8x+1\)在区间\([0,3]\)上的最小值是（）A.-7B.-8C.1D.08.函数\(y=\sqrt{x-1}\)在定义域内的最小值是（）A.0B.1C.-1D.不存在9.函数\(y=4-x^2\)在\(x=0\)处（）A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值0D.有最小值010.函数\(y=2x^3-3x^2\)在区间\([-1,1]\)上的最大值是（）A.0B.1C.-5D.2二、多项选择题（每题2分，共10题）1.求函数\(y=x^2-4x+5\)的最值可采用的方法有（）A.配方法B.求导法C.代入端点值法D.图象法2.以下函数在给定区间有最大值的是（）A.\(y=x^2\)，\(x\in[-1,1]\)B.\(y=\frac{1}{x}\)，\(x\in(0,+\infty)\)C.\(y=-x^2+2x\)，\(x\inR\)D.\(y=3\)，\(x\inR\)3.函数\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a\neq0\)）（）A.当\(a\gt0\)时，有最小值\(k\)B.当\(a\lt0\)时，有最大值\(k\)C.对称轴为\(x=h\)D.顶点坐标为\((h,k)\)4.对于函数\(y=2\sin(3x+\frac{\pi}{4})\)，其最值情况是（）A.最大值为2B.最小值为-2C.最大值为1D.最小值为-15.若函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)上单调递增，则（）A.\(f(a)\)是最小值B.\(f(b)\)是最大值C.\(f(a)\)是最大值D.\(f(b)\)是最小值6.求函数\(y=\frac{1}{x^2+1}\)的最值，说法正确的是（）A.可令\(t=x^2+1\)，转化为\(y=\frac{1}{t}\)求解B.因为\(x^2\geq0\)，所以\(y\)最大值为1C.最小值为0D.最小值不存在7.函数\(y=x^3-3x\)在区间\([-2,2]\)上（）A.有最大值2B.有最小值-2C.有最大值1D.有最小值-18.二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），当\(a\gt0\)时（）A.开口向上B.有最小值\(\frac{4ac-b^2}{4a}\)C.对称轴为\(x=-\frac{b}{2a}\)D.与\(y\)轴交点为\((0,c)\)9.函数\(y=\log_2(x^2+1)\)（）A.最小值为0B.无最大值C.当\(x=0\)时取得最小值D.有最大值110.函数\(y=\sqrt{5-4x-x^2}\)（）A.定义域为\([-5,1]\)B.最大值为3C.最小值为0D.对称轴为\(x=-2\)三、判断题（每题2分，共10题）1.函数\(y=5\)没有最大值和最小值。（）2.二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）一定有最大值或最小值。（）3.函数\(y=\sinx\)在\(R\)上的最大值是\(1\)，最小值是\(-1\)。（）4.若函数\(y=f(x)\)在区间\((a,b)\)上单调递减，则\(f(a)\)是最大值。（）5.函数\(y=x^3\)在\(R\)上有最大值和最小值。（）6.函数\(y=\frac{1}{x^2}\)在\(x=0\)处取得最小值。（）7.函数\(y=2x+3\)在\(R\)上没有最大值和最小值。（）8.对于函数\(y=a(x-m)^2+n\)，当\(a\lt0\)时，\(x=m\)时取得最大值\(n\)。（）9.函数\(y=\cosx\)的最大值为\(\pi\)。（）10.函数\(y=\sqrt{x}\)在定义域\([0,+\infty)\)上有最小值0。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=2x^2-4x+3\)的最值。-答案：用配方法，\(y=2(x-1)^2+1\)，因为\(2\gt0\)，所以函数有最小值，当\(x=1\)时，\(y_{min}=1\)。2.简述求函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)最值的方法。-答案：根据正弦函数性质，\(\sin\)函数值域是\([-1,1]\)。令\(2x+\frac{\pi}{3}=2k\pi+\frac{\pi}{2}\)（\(k\inZ\)）得最大值1；令\(2x+\frac{\pi}{3}=2k\pi-\frac{\pi}{2}\)（\(k\inZ\)）得最小值-1。3.函数\(y=x^2-6x+10\)在区间\([2,5]\)上的最值是多少？-答案：先配方\(y=(x-3)^2+1\)，对称轴\(x=3\)。在区间\([2,5]\)内，\(x=3\)时，\(y_{min}=1\)；比较端点值，\(x=2\)时，\(y=2\)；\(x=5\)时，\(y=5\)，所以\(y_{max}=5\)。4.求函数\(y=3-\sqrt{x^2-2x+4}\)的最值。-答案：先对根号内配方\(x^2-2x+4=(x-1)^2+3\geq3\)，则\(\sqrt{x^2-2x+4}\geq\sqrt{3}\)，所以\(y=3-\sqrt{x^2-2x+4}\leq3-\sqrt{3}\)，即\(y_{max}=3-\sqrt{3}\)，无最小值。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）在不同\(a\)值下最值情况及与对称轴关系。-答案：当\(a\gt0\)，开口向上，在对称轴\(x=-\frac{b}{2a}\)处取得最小值\(\frac{4ac-b^2}{4a}\)；当\(a\lt0\)，开口向下，在对称轴\(x=-\frac{b}{2a}\)处取得最大值\(\frac{4ac-b^2}{4a}\)。2.探讨函数\(y=\frac{1}{x-1}\)在区间\((1,+\infty)\)上是否有最值，为什么？-答案：该函数在区间\((1,+\infty)\)上没有最值。因为在该区间上\(y=\frac{1}{x-1}\)单调递减，当\(x\)趋近于\(1\)时，\(y\)趋近于\(+\infty\)；当\(x\)趋近于\(+\infty\)时，\(y\)趋近于\(0\)，但取不到边界值，所以无最值。3.讨论如何求函数\(y=|x^2-4|\)的最值。-答案：先将函数写成分段函数，当\(x^2-4\geq0\)即\(x\geq2\)或\(x\leq-2\)时，\(y=x^2-4\)；当\(x^2-4\lt0\)即\(-2\ltx\lt2\)时，\(y=-x^2+4\)。再分别分析，可得\(x=0\)时，\(y_{max}=4\)；\(x=\pm2\)时，\(y_{min}=0\)。4.分析函数\(y=2^x+2^{-x}\)的最值情况。-答案：令\(t=2^x\)（\(t\gt0\)），则\(y=t+\frac{1}{t}\)。根据均值不等式\(t+\frac{1}{t}\geq2\sqrt{t\times\frac{1}{t}}=2\)，当且仅当\(t=\frac{1}{t}\)即\(t=1\)（\(x=0\)）时取等号，所以\(y_{min}=2\)，无最大值。答案一、