2025年湖南省衡阳县江山学校高三数学第一学期期末监测试题

2025年湖南省衡阳县江山学校高三数学第一学期期末监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是()A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大B．这五年，2015年出口额最少C．这五年，2019年进口增速最快D．这五年，出口增速前四年逐年下降2．若满足约束条件则的最大值为（）A．10 B．8 C．5 D．33．在三角形中，，，求（）A． B． C． D．4．已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且，则()A．9 B．5 C．2或9 D．1或55．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种6．定义运算，则函数的图象是（）．A． B．C． D．7．要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A． B． C． D．9．函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（）A． B． C． D．10．已知复数满足，则的值为（）A． B． C． D．211．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．12．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按，，编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母，，的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则________.14．已知函数，则不等式的解集为____________.15．已知为双曲线的左、右焦点，过点作直线与圆相切于点，且与双曲线的右支相交于点，若是上的一个靠近点的三等分点，且，则四边形的面积为_______．16．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知曲线的参数方程为为参数),以直角坐标系原点为极点,以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹；（2）若直线的极坐标方程为,求曲线上的点到直线的最大距离.18．（12分）已知.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若的最小值为1，求的最小值.19．（12分）已知两数．（1）当时，求函数的极值点；（2）当时，若恒成立，求的最大值．20．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设的最小值为，正数，满足，证明：.21．（12分）已知点，且，满足条件的点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）是否存在过点的直线，直线与曲线相交于两点，直线与轴分别交于两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．22．（10分）如图，平面分别是上的动点，且.（1）若平面与平面的交线为，求证：；（2）当平面平面时，求平面与平面所成的二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

根据统计图中数据的含义进行判断即可.【详解】对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；故选：D本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.2．D【解析】

画出可行域,将化为,通过平移即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.【详解】解:由约束条件作出可行域如图,化目标函数为直线方程的斜截式,.由图可知当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为3.故选:D.本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为的形式,在可行域内通过平移找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.3．A【解析】

利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【详解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，.由正弦定理得.故选：A.本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.4．B【解析】

根据渐近线方程求得，再利用双曲线定义即可求得.【详解】由于，所以，又且，故选：B.本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.5．C【解析】

根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，即可求解.【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.故选：C.本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．A【解析】

由已知新运算的意义就是取得中的最小值，因此函数，只有选项中的图象符合要求，故选A.7．D【解析】

先将化为，根据函数图像的平移原则，即可得出结果.【详解】因为，所以只需将的图象向右平移个单位.本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.8．C【解析】

如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．考点：外接球表面积和椎体的体积．9．B【解析】

根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【详解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B.本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.10．C【解析】

由复数的除法运算整理已知求得复数z，进而求得其模.【详解】因为，所以故选：C本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.11．D【解析】

根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程.【详解】如图所示：因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以渐近线方程为.故选：D.本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.12．B【解析】

首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母，，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，，”，记事件“恰好不同时包含字母，，”为，利用对立事件的概率公式计算可得；【详解】解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为（个），则事件“恰好不同时包含字母，，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，，”记事件“恰好不同时包含字母，，”为，则.故选：B本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

利用正弦定理边化角可得，从而可得，进而求解.【详解】由，由正弦定理可得，即，整理可得，又因为，所以，因为，所以，故答案为：本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题.14．【解析】

，，分类讨论即可.【详解】由已知，，，若，则或解得或，所以不等式的解集为.故答案为：本题考查分段函数的应用，涉及到解一元二次不等式，考查学生的计算能力，是一道中档题.15．60【解析】

根据题中给的信息与双曲线的定义可求得与,再在中,由余弦定理求解得,继而得到各边的长度,再根据计算求解即可.【详解】如图所示：设双曲线的半焦距为.因为,,,所以由勾股定理,得.所以.因为是上一个靠近点的三等分点,是的中点,所以.由双曲线的定义可知：,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.则.则,得.则的底边上的高为.所以.故答案为：60本题主要考查了双曲线中利用定义与余弦定理求解线段长度与面积的方法,需要根据双曲线的定义表示各边的长度,再在合适的三角形里面利用余弦定理求得基本量的关系.属于难题.16．1【解析】

令，结合函数的奇偶性，求得，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，函数分别是上的奇函数和偶函数，且，令，可得，所以.故答案为：1.本题主要考查了函数奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1），表示圆心为，半径为的圆；（2）【解析】

（1）根据参数得到直角坐标系方程，再转化为极坐标方程得到答案.（2）直线方程为，计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.【详解】（1），即，化简得到：.即，表示圆心为，半径为的圆.（2），即，圆心到直线的距离为.故曲线上的点到直线的最大距离为.本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）当时，令，作出的图像，结合图像即可求解；（Ⅱ）结合绝对值三角不等式可得，再由“1”的妙用可拼凑为，结合基本不等式即可求解；【详解】（Ⅰ）令，作出它们的大致图像如下：由或（舍），得点横坐标为2，由对称性知，点横坐标为﹣2，因此不等式的解集为.（Ⅱ）..取等号的条件为，即，联立得因此的最小值为.本题考查绝对值不等式、基本不等式，属于中档题19．（1）唯一的极大值点1，无极小值点．（2）1【解析】

（1）求出导函数，求得的解，确定此解两侧导数值的正负，确定极值点；（2）问题可变形为恒成立，由导数求出函数的最小值，时，无最小值，因此只有，从而得出的不等关系，得出所求最大值．【详解】解：（1）定义域为，当时，，令得，当所以在上单调递增，在上单调递减，所以有唯一的极大值点，无极小值点．（2）当时，．若恒成立，则恒成立，所以恒成立，令，则，由题意，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以所以，所以，故的最大值为1．本题考查用导数求函数极值，研究不等式恒成立问题．在求极值时，由确定的不一定是极值点，还需满足在两侧的符号相反．不等式恒成立深深转化为求函数的最值，这里分离参数法起关键作用．20．（1）（2）证明见解析【解析】

（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）利用绝对值三角不等式求得的最小值，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式成立.【详解】（1），不等式，即或或，即有或或，所以所求不等式的解集为.（2），，因为，，所以要证，只需证，即证，因为，所以只要证，即证，即证，因为，所以只需证，因为，所以成立，所以.本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题.21．（1）（2）存在，或．【解析】

（1）由得看成到两定点的和为定值，满足椭圆定义，用定义可解曲线的方程.（2）先讨论斜率不存在情况是否符合题意，当直线的斜率存在时，设直线点斜式方程，由，可得，再直线与椭圆联解，利用根的判别式得到关于的一元二次方程求解.【详解】解：设，由，，可得，即为，由，可得的轨迹是以为焦点，且的椭圆，由，可得，可得曲线的方程为；假设存在过点的直线l符合题意．当直线的斜率不存在，设方程为，可得为短轴的两个端点，不成立；当直线的斜率存在时，设方程为，由，可得，即，可得，