（新高考）2022届高考数学考前冲刺卷（六）解析版

（新高考）2022届高考考前冲刺卷数学（六）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为等比数列，则“”是“为递增数列”的（）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】A【解析】当公比且时，，，此时，，不递增，充分性不成立；当等比数列为递增数列时，，显然必要性成立，综上所述：“”是“为递增数列”的必要而不充分条件，故选A．2．已知集合，集合，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，因为可以表示偶数，列举出为，而可以表示全部整数，所以，对于A：．故A错误；对于B、C：．故B正确；C错误；对于D：．故D错误，故选B．3．已知圆台的母线与底面所成的角为60°，上底面圆的半径为1（较小底面的半径），侧面积为，则圆台的母线长为（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【解析】设圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，则，，所以，又圆台的侧面积，得，解得或（舍去），故选A．4．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】设经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系．则，，设，∵，∴，两边平方并整理得，即．要使的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，此时面积为，故选C．5．已知函数，，若直线与函数，的图象都相切，则的最小值为（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】设直线与函数，的图象相切的切点分别为，．由，有，解得，，又由，有，解得，，可得，当且仅当，时取“=”，故选B．6．已知函数，，则图象如图的函数可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由图可知，该函数为奇函数，和为非奇非偶函数，故A、B不符；当时，单调递增，与图象不符，故C不符；为奇函数，当x→＋时，∵的增长速度快于y＝lnx的增长速度，故且单调递减，故图象应该在x轴上方且无限靠近x轴，与图象相符，故选D．7．双曲线的离心率为，点是的下焦点，若点为上支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】由题设，，可得，则双曲线渐近线方程为，若上焦点为，则，故，所以，如下图示：，所以，要使最小，只需共线，即一条渐近线，而到渐近线的距离为，故，故选B．8．如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处．今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达､处为止．则下列说法正确的是（）A．甲从到达处的方法有种B．甲从必须经过到达处的方法有种C．甲､乙两人在处相遇的概率为D．甲､乙两人相遇的概率为【答案】C【解析】A选项，甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从M到达N处的方法有种，A选项错误；B选项，甲经过到达N处，可分为两步：第一步，甲从M经过需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为种；第二步，甲从到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为种．∴甲经过到达N的方法数为种，B选项错误；C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种，∴甲､乙两人在处相遇的方法数为种，甲､乙两人在处相遇的概率为，C选项正确；D选项，甲､乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为1种；若甲､乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为81种；若甲､乙两人在处相遇，甲到处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，所以，两人在处相遇的走法种数为种；若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为1种，故甲､乙两人相遇的概率，D选项错误，故选C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设复数的共轭复数为，则下列选项正确的有（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，由题可知，所以A正确；对于B，因为，所以B错误；对于C，因为，所以C正确；因为，故D正确，故选ACD．10．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图(如图)：根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为16%B．该地农户家庭年收入的中位数约为万元C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间D．估计该地农户家庭年收入的平均值为万元【答案】AC【解析】对于A，该地农户家庭年收入低于万元的农户得频率为，∴比率估计为16%，故A正确；对于B，∵，∴该地农户家庭年收入的中位数约为万元，故B不正确；对于C，家庭年收入介于万元至万元之间频率为，∴估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间，故C正确；对于D，该地农户家庭年收入的平均值为，故D不正确，故选AC．11．记为等差数列的前项和，则（）A．B．C．，，成等差数列D．，，成等差数列【答案】BCD【解析】由已知得，A选项，，，，所以，A选项错误；B选项，，B选项正确；C选项，，，，，，则，C选项正确；D选项，，，，则，D选项正确，故选BCD．12．已知，，，且，则（）A．若，则B．若，则C．，可能是方程的两根D．【答案】ABD【解析】A．由，，且，所以，所以，故正确；B．因为，且，且，所以，故正确；C．若，可能是方程的两根，则，，因为，，所以，所以，又，，故错误；D．，故正确，故选ABD．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在的展开式中，的系数为_________．（用数字作答）【答案】【解析】由二项式定理的通项公式得：，则令，求出，所以的系数为，故答案为．14．已知向量与的夹角为，且，，则________．【答案】1【解析】依题意，，则有，由两边平方得，即，解得，所以，故答案为1．15．函数的最大值为2，且在上单调递增，则a的范围是______，的最小值为______．【答案】，2【解析】注意到是减函数，∴在上单调递减，而的递减区间是，∴，．∵的最大值为2，∴的最小值为，即，，令，，，∴在处取得最小值2，故答案为，2．16．在△ABC中，，将△ABC绕BC旋转至△BCD的位置，使得，如图所示，则三棱锥外接球的体积为__________．【答案】或（）【解析】在△ABC中，由余弦定理得，所以．在三棱锥中，．将三棱锥放入长方体，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，三棱锥外接球的半径为R，则，所以，所以，从而三棱锥外接球的体积，故答案为．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某地区实行社会主义新农村建设后，农村的经济收入明显增加．该地区为更好地了解农村的经济收入变化情况，对该地农村家庭年收入进行抽样调查，现将200户农村家庭2021年年收入的数据整理得到如下频率分布直方图：（1）估计该地区农村家庭年收入的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）用样本频率估计总体，现从该地区中随机抽取2户农村家庭，记家庭年均收入落在区间内的户数为，家庭年均收入落在区间内的户数为，求E（X）与E（Y）的值．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）解：根据频率分布直方图中的数据，估计该地区农村家庭年收人的平均值为：．（2）解：农村家庭年均收入落在区间内的概率为，则随机变量，所以，农村家庭年均收入落在区间内的概率为，则随机变量为，所以．18．（12分）已知数列满足，．（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记，求的前n项和．【答案】（1）证明见解析，；（2）．【解析】（1）当时，，得，当时，有，，相除得，整理得，即，∴为等差数列，公差，首项为，所以，整理为．（2），，．19．（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．（1）求的面积；（2）若，求BC边中线的长．【答案】（1）4；（2）．【解析】（1）由题得，根据二倍角公式得，则，∵，∴，∴，故的面积为4．（2）由，，得．由（1）得，由余弦定理得，解得．设BC的中点为M，则AM为BC边的中线，∴，则根据余弦定理得，解得，∴BC边中线的长为．另解：由，，得．设BC的中点为M，则，等式两边同时平方得，则，∴BC边中线的长为．20．（12分）如图，已知直三棱柱，分别为线段的中点，为线段上的动点，．（1）若，试证：；（2）在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值为．【答案】（1）证明见解析；（2）为的中点．【解析】（1）在中，∵为中点且，∴．∵平面平面交线为，∴平面，∴．∵，分别为，的中点，∴，∴．在直角和直角中，∵，，∴，∴，∴，∴，∴平面，平面，∴．（2）∵平面，由（1）得，，三线两两垂直，以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系如图，则，，，，，，∴，．设平面的一个法向量为，则，令，得，，设，，则，∴，，设直线与平面所成的角为，则，即，为的中点．21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分別为A、B，右焦点F，且椭圆过点、，过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线AP、BQ的斜率分別为、，是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）因为椭圆过点、，则有，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）设存在常数，使得．由题意可设直线l的方程为，点，，则，又