《工程信号分析与处理技术》课件第6章离散时间信号分析

第6章

离散时间信号的分析内容：6.1

离散时间信号的z域分析；6.2离散傅里叶变换6.3快速傅里叶变换（FFT）；6.4窗函数；第6章离散时间信号的分析目录及要求基本要求：1.掌握Z变换的定义、收敛域、性质；2.理解离散傅里叶变换（DFT）原理；3.理解快速傅里叶变换（FFT）原理；4.掌握窗函数及选用原则。第6章离散时间信号的分析目录及要求教学重点：⒈z变换的基本概念、基本性质；

2.离散傅里叶变换与z变换以及离散傅里叶级数的关系；3.快速傅里叶变换（FFT）；4.窗函数及其选用。第6章离散时间信号的分析目录及要求教学难点：⒈离散傅里叶变换的性质；

2.快速傅里叶变换（FFT）；

3.使用MATLAB软件完成快速傅里叶变换及其应用程序的设计，为数字信号处理打基础。第6章离散时间信号的分析目录及要求Z变换是离散信号分析和处理，离散系统设计和实现中一种重要的数学工具，他在离散系统中的地位和作用，相当于连续系统中的拉氏变换，应用它可以把离散系统的数学模型----差分方程转换为简单的代数方程，使求解过程简化。6.1离散时间信号的Z域分析第6章离散时间信号的分析

在对离散信号的分析与处理时，通常把按一定先后次序排列﹑在时间上不连续的一组数的集合，称为序列，可以用一集合符号表示：

其中n为自然数,整数离散时间信号---序列对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到

典型离散信号1.单位样值信号单位样值信号

单位样值信号不是单位冲激信号的抽样。这一序列只在n=0处的值为1，其余各点都为零，2.3.3典型离散信号2.单位阶跃序列

单位阶跃序列对连续单位阶跃信号进行抽样。1t0u(t)2.3.3典型离散信号3.简谐序列简谐序列M为幅值，

为离散角频率。

为初始相位连续简谐信号：数值抽样，如果抽样周期是Ts

**fa(t)是周期信号，但fd(n)并不一定是周期信号。

有理数

无理数

，fd(n)周期序列，fd(n)非周期序列

：离散角频率2.3.3典型离散信号4.指数序列A为n=0时的信号幅值，r为离散衰减系数。r＞1，|fd(n)|随n的增大而增大，r＜1，

|fd(n)|随n的增大而减小连续指数信号：抽样其中2.3.3典型离散信号5.复指数序列(1)当A和a都为实数时，有

实指数序列(2)当A为实数，a为复数，设

a）其实部和虚部都是指数包络的简谐序列，

b）复数a的实部和虚部分别表示了离散信号的衰减和角频率。c）

=0时，

其实部和虚部都是简谐序列。有f（t）＝Aeat连续信号2.3.3典型离散信号5.复指数序列(3)当A和a都为复数时，设有复数A的模和辐角分别表示了指数包络简谐序列的幅值和初始相位，复数a

的实部和虚部分别表示了衰减和角频率。描述幅值、衰减、频率和相位等特征量。2.3.3典型离散信号一个离散简谐序列:可以表示为一对共轭的离散复指数序列的叠加Z变换是离散信号分析和处理，离散系统设计和实现中一种重要的数学工具。Z变换在离散系统中的地位和作用，相当于连续系统中的拉氏变换，应用它可以把离散系统的数学模型----差分方程转换为简单的代数方程，使求解过程简化。6.1离散时间信号的Z域分析Z变换（z-transformation）

6.1离散时间信号的Z域分析6.1.1z变换的定义

对于离散时间序列x(n)（n取值范围

∞~+∞），其z变换定义Z为复变量n取值范围

∞~+∞，双边Z变换n取值范围0~+∞，单边Z变换Z变换:离散信号由时域到Z域的数学映射（变换），是复变量的幂级数。顺便指出：Z是一个连续复变量，具有实部分量(Re(z))和虚部分量(jIm(z))，表示成坐标，则实部为横坐标，虚部为纵坐标，所构成的平面为Z平面。6.1离散时间信号的Z域分析6.1.2z变换的收敛域z变换是复函数X(z)在z平面上的级数展开，级数应收敛级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和，即z平面收敛域的范围：环形区域，即Rx-<∣z∣<Rx+，

Rx-称为内收敛半径，Rx+称为外收敛半径

根据级数理论，级数收敛的条件是级数绝对可和，即满足

上式左边是一正项级数。对正项级数可以用比值判定法或根值判定法来判定其收敛性，从而求得收敛域。

⑴比值判定法:

如有一正项级数设其后项与前项比值的极限为R，即则有：R<1时，级数收敛；R>1

时，级数发散；R=1时，不定，可能收敛，也可能发散。

⑵根值判定法:

对于级数的一般项an,若|an|的n

次根的极限为R,即

则有：R<1

时，级数收敛；

R>1

时，级数发散；R=1时，不定，可能收敛，也可能发散。

判断Z变换收敛域的必要条件是:只有明确指定Z变换的收敛域,才能单值确定其所对应的序列.

例:求出下列序列的Z变换及其收敛域.

的Z变换为由比值判定法,这一级数收敛的条件为则级数收敛于即公比即（收敛域）同样由比值判定法,这一级数收敛的条件为则级数收敛于上述运算结果表明:两个不同的序列可以对应相同的Z变换,但收敛域并不同,因此,为了使序列和Z变换一一对应,在给出序列Z变换的同时,必须指定其收敛域.即

即令m=n

例:（收敛域）n1>06.1离散时间信号的Z域分析6.1.3常用序列及其z变换1.有限长序列有限区间n1<n<n2

收敛域：除去z=0和z=∞的整个z平面。若n1<0，n2

>0有限区间n1<n<n2

要收敛，满足若n1<0，有有界当z=

，X(z)

收敛域不包括z=

若n2>0，有当z=0，X(z)

收敛域不包括z=06.1离散时间信号的Z域分析6.1.3常用序列及其z变换2.右边序列区间:n>n1

收敛域：Rx<∣z∣<∞,一个以Rx为半径的圆外z平面。阿贝尔定理，z的负幂级数有限长序列根值判定法:区间:n>n1

2.右边序列6.1离散时间信号的Z域分析6.1.3常用序列及其z变换3.左边序列区间:n<n2

收敛域：0<∣z∣<

Rx+,一个以Rx+为半径的圆内z平面。阿贝尔定理，z的正幂级数有限长序列根值判定法:3.左边序列区间:n<n2

6.1离散时间信号的Z域分析6.1.3常用序列及其z变换4.双边序列n为任意值：左边序列+右边序列，收敛域：Rx<∣z∣<Rx+，以两个半径分别为Rx和Rx+的圆形为界的环形区域。

常见序列Z变换6.1离散时间信号的Z域分析6.1.4z变换的性质

离散时间序列x1(n)和x2(n)

，若x1(n)X1(z)

且x2(n)X2(z)1.线性则有ax1(n)+bx2(n)aX1(z)+bX2(z)2.时移离散时间序列x1(n)，若x1(n)X1(z)则6.1离散时间信号的Z域分析6.1.4z变换的性质

3.尺度变换离散时间序列x1(n)，若x1(n)X1(z)则6.2离散傅里叶变换傅里叶变换和傅里叶反变换：将信号在时域和频域之间建立映射关系处理时间连续信号。离散时间信号在频域上的转换就需要用到离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform），简称DFT。特点：在时域和频域中都只取有限个离散数据6.2离散傅里叶变换DFT

：适用于数字计算机计算的FT处理时间连续信号：（

∞~+∞）区间上进行积分运算离散时间信号在频域上的转换就需要用到离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform），简称DFT。必须要做到：（1）把连续信号（包括时域、频域）改造为离散数据；（2）把计算范围收缩到一个有限区间内。

6.2离散傅里叶变换模拟信号x(t)以抽样间隔Ts进行抽样得到抽样信号xs(t)=x(nTs),

进行拉普拉斯变换，引入复变量z=esTs

，可得z=esTs

：从s域到z域的变换

复变量

s=σ+jω

其中r=eσTs，Ω=ωTs，重复频率为ωs=2π/Ts。6.2.1离散时间信号的z变换与傅里叶变换的关系（极坐标）

⑴Z变换的定义

z变换的定义可以对模拟信号进行冲激采样经拉氏变换引出（定义一），也可直接给出定义（定义二），定义一常用于自动控制离散系统的分析，定义二则用于数字信号处理中。现将两种定义分别介绍。

⒈由单位脉冲（冲激）采样信号的拉氏变换来定义

若对一模拟信号作冲激采样，得到其冲激采样信号，表示为:对上式两边进行（双边）拉氏变换，得序列的Z变换对上式引入复变量，得到一个的函数

对离散时间信号来说，nT和n表示相同的时刻，令T=1，并不失一般性。上式可直接写为上式即为冲激抽样信号的双边z变换定义式。

将上式中的积分与求和的运算次序对调，然后利用冲击函数的抽样性，可得6.2离散傅里叶变换模拟信号x(t)以抽样间隔Ts进行抽样得到抽样信号xs(t)=x(nTs),

进行拉普拉斯变换，引入复变量z=esTs

，可得z=esTs

：从s域到z域的变换

复变量s=σ+jω

其中r=eσTs，Ω=ωTs，重复频率为ωs=2π/Ts。6.2.1离散时间信号的z变换与傅里叶变换的关系6.2离散傅里叶变换s平面的整个虚轴映射到z平面是一个单位圆；s平面的右半平面映射到z平面是单位圆的圆外部分；s平面的左半平面映射到z平面是单位圆的圆内部分。讨论：s-z平面的映射关系

6.2.1离散时间信号的z变换与傅里叶变换的关系6.2离散傅里叶变换s平面的整个实轴映射到z平面是正实轴

讨论：s-z平面的映射关系

6.2.1离散时间信号的z变换与傅里叶变换的关系6.2离散傅里叶变换s平面平行于实轴的直线映射到z平面是始于圆点的辐射线讨论：s-z平面的映射关系

6.2.1离散时间信号的z变换与傅里叶变换的关系6.2离散傅里叶变换讨论：s-z平面的映射关系

6.2.1离散时间信号的z变换与傅里叶变换的关系由于且ωs=2π/Ts，所以由于且ωs=2π/Ts，所以ejΩ是以2π为周期的周期函数

在s平面上沿着虚轴水平移动一个重复频率ωs，在z平面上Ω就增加2π，即旋转一周。

所以s平面与z平面的映射关系相当于把s平面分割成无穷多条宽度为ωs=2π/Ts的水平带，水平带都互相重叠映射到整个z平面上。6.2离散傅里叶变换讨论：s-z平面的映射关系

6.2.1离散时间信号的z变换与傅里叶变换的关系单位圆上的z变换对应于离散时间信号的傅里叶变换。序列的傅里叶变换就是单位圆（∣z∣=1）上的z变换。

6.2离散傅里叶变换6.2.2离散傅里叶变换的定义假设等时间间隔有限离散时间序列为：则它的DFT也是一个有限离散序列：其DFT变换公式为

DFT逆变换公式为：（6-14）（6-15）

设一有限长序列x(n)

的长度为N

点，其Z变换为

因序列为有限长，满足绝对可积的条件，其变换的收敛域必定包含单位圆，则序列的傅里叶变换，即单位圆上的Z变换是:以为间隔，把单位圆均匀等分为N个点，则在第k个等分点,点上的值为

上式证明了：有限长序列的DFT就是序列在单位圆上的z变换（即有限长序列的傅里叶变换或频谱）,在单位圆上以为间隔的抽样值

通常令：

这就是离散傅立叶变换常用表达式，它通过连续傅立叶变换，将N个时域采样点与N个频域采样点联系起来。6.2离散傅里叶变换6.2.2离散傅里叶变换的定义其DFT变换公式为

DFT逆变换公式为：（6-14）（6-15）通常令则式（6-14）和式（6-15）可以分别写为：（6-17）（6-18）6.2离散傅里叶变换6.2.3离散傅里叶变换的性质

1.线性性质

设x1(n)和x2(n)均为长度为N的有限长序列，若

若

则有2.反转定理设x(n)为长度为N的有限长序列，则证明：6.2离散傅里叶变换6.2.3离散傅里叶变换的性质

3.循环移位性质

设x(n)为有限长序列，长度为N

将x(n)的周期延拓序列x((n))N移位m位，

得到x((n+m))N，其中((n))N表示n除以N的余数。

例如N=8时，x((9))8

6.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.1快速傅里叶变换算法

有限离散傅里叶变换（DFT）

----计算量较大

快速算法（FFT）改写为矩阵变换的形式式中，矩阵W为N×N阶的方阵

（6-17）（6-18）6.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.1快速傅里叶变换算法

改写为矩阵变换的形式式中，矩阵W为N×N阶的方阵

,实现向量{x}到{X}之间的变换，需要进行N2次的复数乘法运算和N(N-1)次的复数加法运算。

（6-25）6.3快速傅里叶变换（FFT）例：

N=4X(k)(k=0,1,2,3)任一值，需要进行复数乘法运算N=4次，复数加法运算1

(N-1)=1

(4-1)=3次。

X(k)(k=0,1,2,3)的四个值，则复数乘法运算：N2

=42=16次，复数加法运算N(N-1)=4(4-1)=12次。

6.3快速傅里叶变换（FFT）Wnk的周期性：N=4Wnk的对称性：因为WN/2=e

jn=

1

N=46.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.1快速傅里叶变换算法

实现FFT目前已经有多种算法，简单的一种算法进行说明。将N点的序列x(0),x(1),...,x(N-1)分成两个较短的序列，分别求其DFT然后组合起来，假如令

设x1(n)和x2(n)的DFT为X1(k)及X2(k)

（6-28）6.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.1快速傅里叶变换算法

实现FFT目前已经有多种算法，简单的一种算法进行说明。为了区别起见，令因此（6-29）6.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.1快速傅里叶变换算法

于是式（6-29）可以改写为此外，由于对称性还有（6-32）（6-33）6.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.1快速傅里叶变换算法

（6-32）和（6-33）合起来（6-34）N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8)6.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.1快速傅里叶变换算法

(2)由X1(k)及X2(k)计算X(k)需要N次乘法和N次加法，(3)因此共需次乘法和次加法显然这比直接用DFT公式（6-17）计算几乎减少了一半乘法和一半加法次数。计算N点的DFT需要的运算次数为：及次加法

(1)计算X1(k)及X2(k)，(k=0,1,2,...,)，需要次乘法及次加法

及次加法

式6-29式6-326.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.1快速傅里叶变换算法

序列x1和x2又可以分别分解成两个较短序列，如此一直分解到计算4个点的DFT。（6-35）4点的DFT（式6-34）（6-36）2点的DFT（式6-29）例：N=4乘法：加法：乘法：4次加法：4次一共：乘法：12次加法：8次6.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.2利用快速傅里叶变换（FFT）的进行谱分析FFT在数字通讯、语言信号处理、图像处理、匹配滤波器以及功率估算、仿真、系统分析等各个领域都广泛应用FFT在对信号进行谱分析：幅度谱、相位谱和功率谱（1）谱分析中参数的选择Ts

——

采样周期，单位s；fs——

采样频率，有，单位Hz；fm

——

连续时间信号x(t)的最高频率，单位Hz；6.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.2利用快速傅里叶变换（FFT）的进行谱分析（1）谱分析中参数的选择Δf

——

x(t)的频谱分辨间隔或称分辨率，单位Hz

；T0

——

x(t)的最小记录长度，有，单位s

；N

——

记录长度中的采样数，有为了避免发生混叠现象，要求

因而Ts应选为6.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.2利用快速傅里叶变换（FFT）的进行谱分析（1）谱分析中参数的选择最小记录长度

则N

必须满足（2）谱分析步骤（a）数据准备连续时间信号x(t)

，已知最高频率为

fm，频率分辨率为Δf

，求出采样周期TS，最小记录长度T0和采样点数N

或使用FFT对一模拟信号作谱分析，要求指标为：频率间隔（分辨率）Hz；信号最高频率kHz；采样点数N须为2的整数次方，试确定：(1)最小记录长度T0；(2)采样间隔Ts；(3)采样点数N。例：

(1)

最小记录长度T0

(2)

采样间隔Ts：

(3)采样点数N：取采样点数为：N=29=5126.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.2利用快速傅里叶变换（FFT）的进行谱分析（2）谱分析步骤（b）用FFT计算频率用FFT计算x(t)的频谱而X(k)一般是由实部XR(k)和虚部Xl(k)组成的复数由频谱X(k)求幅值谱|X(k)|、相位谱Q(k)、功率谱S(k)

6.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.2利用快速傅里叶变换（FFT）的进行谱分析（2）谱分析步骤（c）由频谱X(k)求幅值谱|X(k)|、相位谱Q(k)、功率谱S(k)

6.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.2利用快速傅里叶变换（FFT）的进行谱分析（3）谱分析实例（c）以x(t)=sin(2π×30t)+sin(2π×120t)(t≥0)为例，对x(t)

进行FFT谱分析用FFT计算的频谱，MATLAB程序如下：Nfft=2n6.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.2利用快速傅里叶变换（FFT）的进行谱分析（3）谱分析实例用FFT计算的频谱，MATLAB程序：clear%清除工作空间的内容clc%清除命令窗口的内容fs=1000;%采样频率1000HzNdata=100;%数据长度,0.1秒Nfft=64;%FFT的采样点数n=0:Ndata-1;t=n/fs;%确定信号的时间序列x=sin(2*pi*30*t)+0.5*sin(2*pi*120*t);%生成信号x(t)序列subplot(1,2,1);plot(t,x);%绘出原信号波形title('原信号');xlabel('时间');6.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.2利用快速傅里叶变换（FFT）的进行谱分析（3）谱分析实例用FFT计算的频谱，MATLAB程序：y=fft(x,Nfft);%对原信号进行FFT变换，采样点个数为Nfftmag=abs(y);%求振幅f=(0:Nfft-1)*fs/Nfft;%求取真实频率序列subplot(1,2,2)plot(f(1:Nfft/2),mag(1:Nfft/2)*2/Nfft);%绘出幅值谱title('幅值谱');xlabel('频率Hz');6.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.3利用FFT计算线性卷积—快速卷积设信号x(n)和h(n)均为有限长序列，其线性卷积y(n)定义为若信号x(n)和h(n)的长度分别为N1和N2，且N1<N2，则它们可分别表示为6.3快速傅里叶变换（FFT）6.3.3利用FFT计算线性卷积—快速卷积直接计算的y(n)值，表示如下x(n)和h(n)的线性卷积的结果y(n)是一长度为N1+N2-1的有限长两个有限长序列的线性卷积，等于其分别进行FFT变换后结果的乘积再进行反FFT变换。6.4窗函数

用数字方法对模拟信号作频率分析时1.只要有截断，频谱的泄漏现象就无法避免；2.采样频率往往要在分析前选定并接受A/D板硬件的限制，很难做到正好是信号频率的整数倍。

引入窗函数的必要性常用窗函数的特点合理选择窗函数三方面的问题6.4窗函数

6.4.1引入窗函数的必然性（1）真谱与估计谱

截断区间为（

T~T），对|T|>T时的Rx(τ)值假定为零。则估计谱为近似谱为理论谱密度

估计谱与真谱之间，误差。自相关函数（P90、P206-218）6.4窗函数

6.4.1引入窗函数的必然性（1）真谱与估计谱卷积

真谱窗谱解：截短信号可看作与矩形函数相乘，

根据卷积定理得例3-14

在无限长余弦信号中截取一段，试考虑此有限长截短信号与原信号频谱之间的差别？6.4窗函数

6.4.1引入窗函数的必然性真谱与估计谱

00

0

cos

0t由图可见，无限长余弦信号被截短后，其频谱由原来在处的两个冲激谱，变为在处的抽样函数形状的频谱．F3（ω）6.4窗函数

6.4.1引入窗函数的必然性（1）真谱与估计谱真谱：能量集中一点的δ函数

估计谱：一个包含主瓣和旁瓣的

Sa(t)型函数

估计谱：歪曲的谱，或者说主瓣内的能量泄露到了旁瓣内原因：窗谱是Sa(t)型函数。若窗谱是δ函数，估计谱是真谱与窗谱的卷积，是δ函数。但：时域窗口需取无限长的数据。

6.4窗函数

6.4.1引入窗函数的必然性（1）窗函数的作用问题：加窗截断带来的能量泄露，影响数字信号谱估计精度

需要：改造截断函数的性质，改善窗谱形状，减少估计误差。Gibbs现象说明：时域内的间断，反映到频域必然发生振荡现象；频域内的间断，反映到时域，也同样发生振荡现象。

6.4窗函数

6.4.1引入窗函数的必然性（1）窗函数的作用1000Hz正弦信号

：加矩形窗（不加窗）及海宁窗处理后的自功率谱

6.4窗函数

6.4.2窗函数1.对窗函数的基本要求要求：窗谱的主瓣要窄且高，以提高分辨率；旁瓣要小，正负交替接近相等，以减小泄露或负谱现象。6.4窗函数

6.4.2窗函数2.评价窗函数的主要指标(1)主瓣宽度（带宽ω0）读出主瓣的峰值频率,ω0

；读出主瓣的峰值高度,ω0

。(2)最大旁瓣高度（旁瓣高度）最大旁瓣：紧随主瓣的第一负旁瓣，；指标：第一旁瓣峰值与主峰值的比值取十倍频程内分贝指标

。6.4窗函数

6.4.2窗函数2.评价窗函数的主要指标(3)旁瓣衰减速度对数坐标内各旁瓣的外切线的斜率，通常以十倍频程内分贝数（dB/10oct）表示

(4)等效噪声带宽

窗与滤波器在输入相同白噪声后有相同的功率输出，理想滤波器的带宽，称为该窗的等效噪声宽度

6.4窗函数

6.4.2窗函数3.常用窗函数分类：（a）幂窗——采用时间变量幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其他时间函数的高次幂；（b）三角函数窗——应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复函数，例如汉宁窗、海明窗等；

（c）指数窗——采用指数时间函数如形式，例如高斯窗等。6.4窗函数

/6.4.2窗函数3.常用窗函数（1）矩形窗(不加窗)

函数形式:窗谱:优点：主瓣比较集中，缺点：旁瓣较高，并有负旁瓣。带进了高频干扰和泄露，甚至出现了负谱现象。

零次幂窗复习第3章1.单个矩形脉冲信号的频谱（P49）2.单个三角形脉冲信号的频谱（P67）复习第3章解：截短信号可看作与矩形函数相乘，

根据卷积定理得例3-14

在无限长余弦信号中截取一段，试考虑此有限长截短信号与原信号频谱之间的差别？6.4窗函数

/6.4.2窗函数3.常用窗函数（2）三角窗函数形式:窗谱:主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣一次幂窗6.4窗函数

/6.4.2窗函数3.常用窗函数（3）汉宁（Hanning）窗函数形式:窗谱:汉宁窗可以看做是3个矩形时间窗的频谱之和，或者说是3个Sa(t)型函数之和，而括号中的两项相对于第一个窗谱向左、右各移动了π/T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和能量泄露。

升余弦窗6.4窗函数

/6.4.2窗函数汉宁窗与矩形窗的谱图对比

汉宁窗：主瓣加宽（第一个零点在2π/T处）并降低，旁瓣则显著减小，第一个旁瓣减少

32dB，而矩形窗第一旁瓣衰减

13dB。

汉宁窗的旁瓣衰减速度也较快。

汉宁窗优于矩形窗，汉宁窗主瓣加宽，频率分辨力下降。6.4窗函数

/6.4.2窗函数3.常用窗函数（4）海明（Hamming）