常州高考试卷数学题及答案

常州高考试卷数学题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.函数\(y=\log_2(x-1)\)的定义域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((0,1)\)3.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，则\(\cos\alpha\)等于（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(m\)的值为（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(4\)D.\(-4\)5.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则\(a_5\)等于（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)6.双曲线\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)的渐近线方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)B.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{9}{4}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{9}x\)7.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)8.若直线\(ax+y+1=0\)与直线\(x+ay+1=0\)平行，则\(a\)的值为（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(\pm1\)D.\(0\)9.已知函数\(f(x)\)是奇函数，当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^2-2x\)，则\(f(-1)\)的值为（）A.\(3\)B.\(-3\)C.\(1\)D.\(-1\)10.已知\(a=2^{0.3}\)，\(b=0.3^2\)，\(c=\log_2{0.3}\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是（）A.\(a\gtb\gtc\)B.\(a\gtc\gtb\)C.\(b\gta\gtc\)D.\(c\gta\gtb\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.以下说法正确的是（）A.若\(a\gtb\)，则\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，则\(a+c\gtb+d\)C.若\(a\gtb\)，\(c\ltd\)，则\(a-c\gtb-d\)D.若\(a\gtb\)，\(ab\gt0\)，则\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)3.已知圆的方程为\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)，则以下说法正确的是（）A.圆心坐标为\((1,-2)\)B.半径为\(3\)C.圆心到\(x\)轴的距离为\(2\)D.圆心到\(y\)轴的距离为\(1\)4.以下哪些是等比数列（）A.\(1,2,4,8,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(2,2,2,2,\cdots\)D.\(1,0,1,0,\cdots\)5.关于函数\(y=\tanx\)，下列说法正确的是（）A.定义域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)B.是奇函数C.最小正周期是\(\pi\)D.在区间\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上单调递增6.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,2)\)，则（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(0,3)\)B.\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(2,-1)\)C.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\)D.\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}\)7.已知\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极值，则（）A.\(f^\prime(1)=0\)B.\(3+2a+b=0\)C.\(f(1)\)一定是函数\(f(x)\)的最大值D.\(f(1)\)一定是函数\(f(x)\)的最小值8.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的性质正确的是（）A.长轴长为\(2a\)B.短轴长为\(2b\)C.离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.焦点坐标为\((\pmc,0)\)9.已知函数\(y=2\sin(3x+\varphi)\)（\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)）的图象过点\((0,1)\)，则（）A.\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)B.函数\(y=2\sin(3x+\varphi)\)的图象关于点\((\frac{\pi}{9},0)\)对称C.函数\(y=2\sin(3x+\varphi)\)在\((0,\frac{\pi}{6})\)上单调递增D.函数\(y=2\sin(3x+\varphi)\)的最小正周期为\(\frac{2\pi}{3}\)10.下列不等式中，正确的有（）A.\(x^2+1\geq2x\)（\(x\inR\)）B.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a,b\inR^+\)）C.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\inR^+\)）D.\(x^2+y^2\geq2xy\)（\(x,y\inR\)）三、判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函数\(y=\frac{1}{x}\)在其定义域上是减函数。（）3.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差数列，则\(2b=a+c\)。（）4.直线\(x=1\)的斜率不存在。（）5.函数\(y=\cos^2x-\sin^2x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）6.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)。（）7.抛物线\(y^2=4x\)的焦点坐标是\((1,0)\)。（）8.若\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，则\(f(0)=0\)。（）9.不等式\(x^2-2x+1\gt0\)的解集是\(R\)。（）10.两个向量相等，则它们的模相等且方向相同。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=x^2-4x+3\)在区间\([0,3]\)上的最值。答案：对函数\(y=x^2-4x+3\)配方得\(y=(x-2)^2-1\)。对称轴为\(x=2\)，在区间\([0,3]\)内。当\(x=2\)时，\(y\)取最小值\(-1\)；当\(x=0\)时，\(y=3\)；当\(x=3\)时，\(y=0\)，所以最大值为\(3\)。2.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，求其通项公式\(a_n\)。答案：设公差为\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，即\(6=2+2d\)，解得\(d=2\)。通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n\)。3.求过点\((1,2)\)且与直线\(2x-y+1=0\)平行的直线方程。答案：直线\(2x-y+1=0\)斜率为\(2\)，所求直线与之平行，斜率也为\(2\)。由点斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\((x_0,y_0)=(1,2)\)，\(k=2\)）得\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\)为锐角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。答案：因为\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\)为锐角，所以\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x^2}\)的单调性。答案：函数\(y=\frac{1}{x^2}=x^{-2}\)，定义域为\(x\neq0\)。对其求导得\(y^\prime=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}\)。当\(x\gt0\)时，\(y^\prime\lt0\)，函数在\((0,+\infty)\)单调递减；当\(x\lt0\)时，\(y^\prime\gt0\)，函数在\((-\infty,0)\)单调递增。2.讨论直线\(y=kx+1\)与圆\(x^2+y^2=1\)的位置关系。答案：圆\(x^2+y^2=1\)圆心\((0,0)\)，半径\(r=1\)。根据点到直线距离公式，圆心到直线\(y=kx+1\)（即\(kx-y+1=0\)）的距离\(d=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}\)。当\(d\ltr\)，即\(\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}\lt1\)（\(k\neq0\)）时，直线与圆相交；当\(d=r\)，即\(k=0\)时，直线与圆相切；当\(d\gtr\)，不存在这样的\(k\)值。3.讨论如何利用导数判断函数的极值点。答案：首先求函数的导数，令导数为\(0\)，求出导数为\(0\)的点。然后判断这些点两侧导数的符号，若在某点左侧导数大于\(0\)，右侧导数小于\(0\)，则该点为极大值点；若左侧导数小于\(0\)，右侧导数大于\(0\)，则该点为极小值点；若两侧导数符号相同，则该点不是极值点。4.讨论椭圆与双曲线在性质上的异同点。答案：相同点：都是圆锥曲线。不同点：椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，\(a^2=b^2+c^2\)，离心率\(0\lte\lt1\)，图形是封闭的；双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\fr