2026届高考数学总复习精练册课件：链接高考4　导数中的双变量问题

链接高考4导数中的双变量问题1.(2024江苏盐城模拟,17)已知函数f(x)=

,其中a>0.(1)若f(x)在(0,2]上单调递增,求a的取值范围;(2)当a=1时,若x1+x2=4且0<x1<2,判断f(x1)与f(x2)的大小,并说明理由.解析

(1)∵f(x)=

,∴f'(x)=

.∵f(x)在(0,2]上单调递增,∴f'(x)=

≥0在(0,2]上恒成立.当x∈(0,2]时,2x-ax2≥0,即a≤

.由y=

在(0,2]上单调递减可知,当x=2时,

=1,∴a≤1,又a>0,故a的取值范围为(0,1].(2)f(x1)<f(x2).理由如下:当a=1时,f(x)=

.证明f(x1)<f(x2),即证明

<

,等价于证明

<

,设x1=2-t,x2=2+t,0<t<2,则转化为证明e2t<

,等价于证明t<ln

,0<t<2,设函数h(t)=ln

-t,0<t<2.∵h'(t)=

>0,∴h(t)在(0,2)上单调递增,∴h(t)>h(0)=0,∴ln

>t,0<t<2,故f(x1)<f(x2).2.(2024广东二模,17)已知f(x)=

ax2+(1-2a)x-2lnx,a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)函数f(x)的图象上是否存在两点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),使得直线AB与函数f(x)的

图象在x0=

处的切线平行?若存在,请求出直线AB;若不存在,请说明理由.解析

(1)由题得函数f(x)的定义域为(0,+∞),

(1分)求导得f'(x)=ax+1-2a-

=

=

,

(4分)因为a>0,所以由f'(x)>0,得x>2;由f'(x)<0,得0<x<2,

(6分)所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).(7分)(2)由题得

则kAB=

=

=

=

a(x2+x1)+(1-2a)-

,

(9分)由题知f(x)的图象在x0=

处的切线斜率为f'(x0)=f'

=a

+1-2a-

,

(10分)假设kAB=f'(x0),则

a(x2+x1)+(1-2a)-

=a

+1-2a-

,整理得

=

,即lnx2-lnx1-

=0,所以ln

-

=0,

(12分)设t=

,则t>0且t≠1,记g(t)=lnt-

,即g(t)=lnt+

-2,t>0且t≠1,求导得g'(t)=

-

=

=

>0恒成立,所以g(t)在(0,1),(1,+∞)上单调递增,

(14分)因为g(1)=0,所以g(t)≠0在t∈(0,1)∪(1,+∞)上恒成立,所以不存在这样的两点A,B.

(15分)3.(2025届四川成都月考,19)已知函数f(x)=

,其中e为自然对数的底数.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间.(2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2.(i)求a的取值范围;(ii)证明:

+

>2.解析

(1)由题意得f(x)=

,x∈(0,+∞),则f'(x)=-

,由f'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).(2)(i)由

=1,得

=a,设g(x)=

,由(1)得g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,又g

=0,g(1)=1,当x>1时,g(x)>0,且当x→+∞时,g(x)→0,所以当0<a<1时,方程

=a有两个不同的根,即方程

=1有两个不同的根,故a的取值范围是(0,1).(ii)证明:不妨设x1<x2,则0<x1<1<x2,且

=

.当x2∈[2,+∞)时,结合(i)知

+

>

≥4>2,即

+

>2;当x2∈(1,2)时,2-x2∈(0,1).设p(x)=g(x)-g(2-x)=

+

-

-

,0<x<1,则p'(x)=-

-

>-

-

=-

>0,所以p(x)在区间(0,1)内单调递增,则p(x)<p(1)=0,即g(x)<g(2-x),所以g(2-x1)>g(x1)=g(x2),又x1∈(0,1),2-x1>1,x2>1,g(x)在区间(1,+∞)内单调递减,所以2-x1<x2,即x1+x2>2,又x1≠x2,所以

+

>2x1x2,故2

+2

>

+

+2x1x2=(x1+x2)2>4,所以

+

>2,得证.综上,

+

>2.4.(2025届广东广州三校期中联考,18)已知函数f(x)=lnx+

x2-x+2(a∈R).(1)若函数f(x)在定义域上单调递增,求a的取值范围;(2)若a=0,求证:f(x)<

;(3)设x1,x2(x1<x2)是函数f(x)的两个极值点,求证:f(x1)-f(x2)<

(x1-x2).解析

(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=

+ax-1≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,所以a≥-

+

在x∈(0,+∞)上恒成立,又-

+

=-

+

≤

,当且仅当x=2时,等号成立,所以a≥

,即a的取值范围是

.(2)证明:若a=0,则f(x)=lnx-x+2,f'(x)=

-1=

,令f'(x)=0,解得x=1,所以当0<x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,

在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)≤f(1)=1,当且仅当x=1时,等号成立.令g(x)=

,x>0,所以g'(x)=

=

,令g'(x)=0,解得x=2,所以当0<x<2时,g'(x)<0,当x>2时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,2)上单调递减,

在(2,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(2)=1,当且仅当x=2时,等号成立,所以f(x)≤1≤g(x),又等号不同时成立,所以f(x)<

.(3)证明:由题意可知f'(x)=

+ax-1=

,因为f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),所以x1,x2是方程ax2-x+1=0的两个不等的正实根,则0<a<

且

所以f(x1)-f(x2)=

-

=ln

+

(

-

)-(x1-x2)=ln

+

-(x1-x2)=ln

-

,所以要证f(x1)-f(x2)<

(x1-x2),即证ln

-

<

(x1-x2),即证ln

<a(x1-x2),即证ln