2025北师大版暑假七升八年级数学衔接讲义 专题12 二次根式的混合运算（2知识点+7大题型+思维导图+过关测）（原卷版）

专题12二次根式的混合运算内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：7大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点01二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）知识点02二次根式的分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.【题型1二次根式的混合运算】例题：（24-25八年级下·天津静海·期中）计算：(1)(2)【变式训练】1．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：(1)(2)2．（24-25八年级下·山东威海·期中）计算：(1)(2)3．（24-25八年级下·四川南充·期中）计算：(1)(2)【题型2二次根式的分母有理化】例题：（24-25八年级下·云南昆明·期中）观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，…(1)按照上述规律，第6个等式：______；第n个等式：______；(2)计算：的值．【变式训练】1．（24-25八年级下·全国·单元测试）观察下列各式；第一式；由，得．类似可得第二式；，第三式；．(1)照此排列方式，请写出第n式；(2)的值是多少？2．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会得到如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的过程叫分母有理化．还可以用以下方法化简：．(1)用不同的方法化简．(2)化简：．3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）课本知识再现：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(1)化简：=；=；(2)在有关二次根式的计算中，当出现分母且分母中出现二次根式时，我们往往将分母中的二次根式通过相关知识使分母不含二次根式，如：；我们继续思考如何化简的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“，其特点是类比分数的基本性质和平方差公式，使进行变形：，这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”．请把式子和分别进行分母有理化；(3)计算：．4．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会得到如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的过程叫分母有理化．还可以用以下方法化简：．(1)用不同的方法化简．(2)化简：．【题型3已知字母的值，化简求值】例题：（湖北省武汉市部分学校2024—2025学年下学期五月质量检测八年级数学试题）已知，．(1)直接写出，的值；(2)求代数式的值．【变式训练】1．（24-25八年级下·广东中山·期中）已知，求下列代数式的值．(1)；(2)．2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：，．(1)求的值；(2)求的值．3．（2025八年级下·河南·专题练习）（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．【题型4已知条件式，化简求值】例题：（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值．【变式训练】1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值．2．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值．3．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下，，∴，∴，，∴，∴．请你根据上述分析过程，解决如下问题：(1)若，请将a进行分母有理化；(2)在（1）的条件下，求的值．【题型5比较二次根式的大小】例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）比较与的大小可以采用下面的方法：；．显然，所以．仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题：(1)猜想：与的大小关系；(2)尝试计算：．【变式训练】1．（24-25八年级下·全国·课后作业）比较与的大小可以采用下面的方法：；．显然，所以．仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题：(1)猜想：与的大小关系；(2)尝试计算：．2．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）阅读下列材料，并回答问题．；；；；…(1)填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”）(2)观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）；(3)计算：（提示：）．3．（24-25八年级下·吉林长春·期中）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题：(1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________．(2)计算：；(3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）．4.（24-25八年级下·山东淄博·期中）像，（，），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”，例如，（与、与，与等都是互为“有理化因式”，进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．(1)化简：①______；②______．(2)计算：．(3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．【题型6二次根式的规律探究问题】例题：（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题：【规律发现】第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……【规律探索】（1）第5个等式：_______；（2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______；【规律应用】（3）计算：【变式训练】1．（24-25八年级下·新疆喀什·阶段练习）观察下列等式：①；②；③；…(1)请写出第④个等式；(2)利用规律计算：．2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；．．．．．．按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第4个等式：________；(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明：(3)计算：．3．（24-25七年级上·山东淄博·期末）细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题：，；，；，；…(1)请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律；(2)推算出的长；(3)求的值．【题型7二次根式的新定义运算】例题：（24-25八年级下·湖北武汉·期中）定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”．(1)关于的“美好数”是______；(2)化简：；(3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值．【变式训练】1．（2025·河北·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题：(1)如果，则；如果，则；(2)①如果，求b的值；②若，求m与n的关系．2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”．(1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____．(2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由．3．（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根．(1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由；(2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，；(3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数．一、单选题1．（24-25八年级下·重庆·期中）估计的值应在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间2．（24-25八年级下·广西玉林·期中）若，则代数式的值为（）A．2 B．3 C．4 D．3．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）在算式“”中，“”表示“”“”“”””中的某一个运算符号．当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是（）A． B． C． D．4．（24-25八年级下·山东泰安·期中）甲、乙、丙、丁四人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，这四张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（

）A．1张 B．2张 C．3张 D．4张5．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（

）A．2025与是关于1的平衡数B．与是关于1的平衡数C．若，则与不是关于1的平衡数D．若，则与是关于1的平衡数二、填空题6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）计算的结果为．7．（2025八年级下·河南·专题练习）试写出一个式子，使它与之积不含二次根式，你所写的式子是8．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）已知：，则的值为．9．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点，点表示的数为，设点所表示的数为，则．10．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：．（1）；（2）．三、解答题11．（辽宁省营口市、鞍山市部分学校2024-2025学年八年级下学期5月联考数学试题）计算：(1)．(2)12．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）计算(1)；(2)．13．（24-25八年级下·天津·期中）计算：(1)；(2)．(3)14．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，，求的值．15．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的和谐二次根式．(1)若与是关于6的和谐二次根式，求的值．(2)若为有理数，且与是关于的和谐二次根式，求和的值．16．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：____________．(2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________．(3)应用运算规律：①化简：____________．②若（均为正整数），则____________．17．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）定义：我们将与称为