2025北师大版暑假七升八年级数学衔接讲义 专题27 二元一次方程与一次函数（2知识点+6大题型+思维导图+过关测）（原卷版）

专题27二元一次方程与一次函数内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：6大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点01二元一次方程与一次函数的关系1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=02）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.知识点02二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法）1)两点法:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。2)图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。【题型1两直线的交点与二元一次方程组的解】例题：（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）已知一次函数与（k是常数且）的图象的交点坐标是，则关于x，y的方程组的解是．【变式训练】1．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是.2．（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为．3．（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，直线与直线交于点，则方程组的解是．【题型2图象法解二元一次方程组】例题：（24-25九年级上·全国·开学考试）如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是．【变式训练】1.（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知一次函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是．2.（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于的方程组的解为．3.（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是．【题型3已知两直线求围成的图形面积】例题：（23-24八年级下·山东聊城·期末）直线，与轴所围成的图形的面积是．【变式训练】1.（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是．2.（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于点，，若点在一次函数的图象上，则的面积为．3.（23-24七年级下·山东泰安·期中）已知一次函数与的图像如图所示，且方程组的解为，点坐标为，轴上的一个动点，若，则点的坐标为．【题型4利用两点式求一次函数的解析式】例题：（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知点、点．

(1)求直线所对应的函数表达式；(2)在直线上有点P，满足点P到x轴的距离等于6，求点P的坐标．【变式训练】1.（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知直线：与坐标轴交于，两点，直线：与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P点．(1)求的表达式．(2)求点P的坐标．2.（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知一次函数的图象经过点，B4,0，为直线上的动点，正比例函数的图象经过点．(1)求一次函数的表达式；(2)若点，求方程组的解．3.（24-25八年级上·全国·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．(1)求直线AB的表达式；(2)点在直线上，是否存在点使得的面积为？如果存在，求所有满足条件的点的坐标．【题型5图形找两点求一次函数的解析式】例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知过点的直线与直线：相交于点．(1)求直线的解析式；(2)求四边形的面积．【变式训练】1.（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．求：(1)求正比例函数与一次函数的关系式；(2)在x轴上是否存在一点M使周长最小，若存在，求出点M的坐标；(3)在x轴上求一点Q使为等腰三角形，请求出所有符合条件的点Q的坐标．2.（23-24八年级下·全国·期末）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程的函数图象．(1)根据图象，当蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车已行驶的路程为；(2)当时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；(3)当时，求y关于x的函数解析式，并计算当汽车已行驶时，蓄电池的剩余电量．3.（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点和点A3,2，经过点的另一条直线交轴于点．(1)求的面积；(2)求直线l的函数解析式；(3)在直线l上求一点，使．【题型6二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题】例题：（23-24七年级下·重庆黔江·期中）某公司需运输一批教学设备，准备租用汽车运输公司的大、小两种型号的货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）：大货车的车辆数（辆）小货车的车辆数（辆）累计运货台数（台）第一次2321第二次5648(1)求每辆大货车、小货车分别能装载教学设备多少台？(2)该公司现计划再租用大小货车共12辆运送一批教学设备，汽车运输公司给予该公司大货车1500元/辆，小货车750元/辆的优惠价，公司要求此次运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15000元，请你列出所有货车租用方案．(3)在（2）的条件下，请你选择出运输费用最少的方案，并求出该方案所需运输费用．【变式训练】1.（23-24八年级上·河南焦作·阶段练习）某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货10吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资，根据以上信息，解答下列问题：(1)辆型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．物流公司计划共租用辆车，请写出总租车费用（元）与租用型车数量（辆）的函数关系式．(3)如果汽车租赁公司的型车只剩了辆，型车还有很多．在（）的条件下，请选出最省钱的租车车方案，并求出最少租车费用．2.（23-24八年级下·河南南阳·期末）列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进两种树苗共17棵，已知种树苗每棵80元，种树苗每棵60元．(1)若购进两种树苗刚好用去1220元，求购进两种树苗各多少元？(2)若购进种树苗棵，所需总费用为元．①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；②若购进种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．3.（23-24八年级上·河南郑州·期末）为落实立德树人的根本任务，培养有理想、有本领、有担当的新时代好少年，某校组织八年级师生开展以“寻根河南

生生不息”为主题，为期一天的“只有河南之旅”研学实践活动，学校计划租用甲、乙两种不同型号的客车，已知2辆甲型客车和3辆乙型客车可乘坐270人，3辆甲型客车和2辆乙型客车可乘坐255人．(1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人？(2)已知甲型客车每天的租车费用为1200元，乙型客车每天的租车费用为1500元，学校计划共租用12辆客车，请写出总租车费用（元）与租用甲型客车数量（辆）的函数关系式；(3)如果客车租赁公司的甲型客车只剩下8辆，乙型客车还有很多．在（2）的条件下，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．一、单选题1．（24-25八年级下·湖北荆州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与的交点坐标为（

）A． B． C． D．2．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解为（

）A． B． C． D．3．（24-25七年级下·福建厦门·期中）以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个二元一次方程的图像．如图，二元一次方程组（为常数）中的两个二元一次方程的图像交于点，则点坐标为（

）A． B． C． D．4．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，某一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于和两点，则下列说法错误的是（

）A．此函数的表达式为B．当时，C．当时，y随x的增大而增大D．将此直线向下平移2个单位所得到的直线必过原点5．（2025·陕西西安·二模）如图，一次函数与的图象如图所示．则下列结论正确的是（

）A．在一次函数中，的值随着值的增大而增大B．方程的解为C．D．方程组的解为二、填空题6．（2025八年级下·河南·专题练习）如图中的两直线、的交点坐标可看作是方程组的解．7．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是．8．（2025·湖南衡阳·三模）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”如图是良马与驽马的行走路程（单位：里）关于驽马的行走时间（单位：天）的函数图象，则两直线交点的坐标是．9．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机，如图2，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中，线段与相交于点P，轴于点B，点A的横坐标为25，则所在直线解析式为，在第秒时，1号和2号无人机飞行高度差为20米．10．（24-25九年级上·湖南益阳·开学考试）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随x的增大而增大；②；③当时，；④关于x，y的方程组的解为，⑤，正确的有．（填序号）三、解答题11．（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知一次函数的图象经过和两点．(1)求的解析式；(2)通过计算说明的图象是否过点．12．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知直线．(1)请在图中作出直线；(2)观察直线、，直接写出二元一次方程组的解．13．（2025·陕西西安·三模）如图1，延安既是华夏民族的发祥地之一，又是中国革命圣地，曾被喻为中国革命的灯塔，是国务院首批公布的历史文化名城．为了追寻红色印记，传承红色基因，某校组织一批学生前往延安进行为期一周的红色研学活动，他们从汉中出发匀速行驶至西安后，停车休息了2小时，然后从西安出发继续匀速行驶至延安，他们距离延安的路程与行驶时间x（小时）之间的关系如图2所示．请你根据图中信息，解答下列问题：(1)求图中段y与x之间的函数关系式；(2)他们从西安出发多久后，距离延安的路程还剩？14．（2025·河北石家庄·三模）如图，直线分别与x轴、y轴交于点，与直线相交于点C，点P是射线上一点，作于点D，点E在上点C的左侧，．设点P的横坐标为t．(1)求的解析式及点C的坐标；(2)连接，当时，求的面积；(3)画直线，若表示直线的函数值随x的增大而减小，直接写出t的取值范围．15．（2025·河南开封·二模）神舟二十号是中国载人航天工程计划于2025年发射的第二十艘载人飞船，任务期间，主要实施航天员出舱活动和货物气闸舱出舱任务，继续开展空间科学实验和技术试验，开展平台管理工作、航天员保障相关工作以及科普教育等重要活动．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元．(1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？(2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？16．（2025·河北石家庄·二模）如图，直线为常数，与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点．(1)若点坐标为，求的值和点坐标；(2)规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当为整数时，求为整点时的坐标；(3)设在直线上，且落在内