初中数学数与代数学习领域起始复习课教学策略

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”在“课程实施”中强调，“充分发挥核心素养导向的教学自标对教学过程的指导作用，在实现知识进阶的同时，体现核心素养的进阶”“教学内容是落实教学目标、发展学生核心素养的载体”“帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。”在九年级学生第一轮复习时，教师如果还像单元复习或期中、期末复习那样，仍然按照教材的编排顺序，以章为单位进行复习教学，那么将会导致学生过分关注知识点而忽视了知识点之间的内在联系和主题研究方法的一致性，难以形成有张力的结构。为此，教师可基于整体教学理念，对教学内容进行结构化思考，形成数与代数学习领域宏观统领、系统构建、逐步实施的一轮复习教学设想：第一节课是安排数与代数学习领域的复习课，进行宏观统领；第二节课是领域内第一个主题“数与式\"的中观建构；第三节课是“数与式运算”的微观细化。后续设置基于主题的习题课、检测课及讲评课。教师应引导学生利用数与式的结构对“方程与不等式\"“函数\"两个主题进行复习，发挥结构的力量，使数与代数学习领域的内容结构逐渐内化为学生的认知结构。下面，笔者以数与代数学习领域起始复习课为例，对上述复习策略和意义进行探讨。一、寻根溯源，厘清关联一数与代数学习领域起始复习课的整体分析（一）起始复习课作用分析与定位数与式构成了代数的基础语言。在初中阶段，教师应引导学生关注如何使用字母来表示数，从而形成代数式，并以运算为核心，构建起数与式的体系。通过理解关系，学生能够体会到方程和不等式是描述现实世界的有力工具；进而，通过变量之间的对应关系，学生能够发展到更高层次的思维一一函数。在常规的中考复习教学中，通常以一个章节或以教辅划定的课时为单位落实复习教学，学生或许能回忆起具体的问题，但往往难以形成整体观念，知识掌握缺乏内在联系，难以形成从宏观角度审视所学内容的思考经验。而本节起始复习课内容跨越了三个年级的六册教材，共十三章的内容，学习时空跨度大，导致学生对先前学过的知识遗忘严重。为了有效克服教学难点，笔者从简单的数及其运算入手，以运算为主线，让学生体会数系的扩展、代数式的形成过程；从数学内部出发，借助关系构建方程（组）和不等式（组），引入两个变量构造函数，从低起点开始，步步为营、循阶而上，帮助学生构建起整个数与代数学习领域的全景图式，让学生在这一领域复习的起始阶段就能见到系统的\"大厦”，而不是局部的“瓦砾”。（二）起始复习课复习内容及其解析1.复习内容人教版初中数学教材数与代数学习领域中的三个主题，“数与式\"分布在七年级上册第一章“有理数”第二章“有理数的运算”，七年级下册第八章“实数”，八年级上册第十四章“整式的乘法与因式分解”、第十五章“分式”，八年级下册第十六章“二次根式”；“方程与不等式（组）\"分布在七年级上册第三章“一元一次方程”，七年级下册第九章“一元一次不等式（组）”第十章“二元一次方程组”，九年级上册第二十一章“一元二次方程”；“函数\"分布在八年级下册第十九章“一次函数”，九年级上册第二十二章“二次函数”，九年级下册第二十六章“反比例函数”；共十三章的内容。2.内容解析数与式构成了数与代数学习领域的基础。在初中阶段，学习数域的最大范围是实数，研究数通常遵循“定义表示$$性质$$运算$$应用”的路径。式的研究与数具有一致性，当给出数与式一定的等量关系时，就产生了方程（组）；当给出不等关系时，就产生了不等式（组）；当再引入一个变量来表达代数式的值与其中字母的变化对应关系时，就产生了函数。如此递进式发展，完整呈现了数与代数学习领域的内在生长过程。（三）起始复习课复习目标及其解析1.复习目标（1）通过运算经历式的产生过程，感受数式通性，建立数与式的结构，理解数与式结构的一致性；（2）通过关系建立构造方程和不等式，体会方程、不等式是数与式相等或不等关系的表达，建立方程、不等式的结构；（3）借助函数的视角构造函数，体会变量的变化对应关系，形成函数的结构，厘清函数与方程、不等式的内在联系，构建数与代数学习领域的结构体系。2.目标解析达成目标（1）的标志：建立数与式的结构链，清晰认识到运算产生了新的式，并掌握其结构；达成目标（2）的标志：能认识到方程是数与式等量关系的表达，掌握其一般研究路径；达成目标（3）的标志：掌握初中学段各类函数与方程的关系及函数的研究路径，能够用函数的视角审视方程与不等式。二、素养导向，系统整合一数与代数学习领域起始复习课的教学过程设计（一）数之源起，代数统领教师先提出问题：用数学的眼光观察下页图1，你想到了什么？用数学的眼光观察得到“3”，你又想到了什么？在学生充分表达的基础上，教师顺势阐释：在中国文化中，数字“三\"颇为受宠。像“三人行，必有我师焉”。道家所言\"道生一，一生二，二生三，三生万物”，其中“方物”是一种借喻，代指“所有事物”，从数学层面讲，等同于“所有的数”，也就是“任意一个数”。那么，如何表示任意一个数呢？图1课堂导入图在学生给出用一个小写字母表示任意一个数（如4⋅x，）的前提下，笔者点睛：有了用字母表示数的方法，使数学的“威力\"大增。因为“它（x）”不仅可以表示未知数，还可以当成已知数参与运算，也就产生了式。若给式一个关系（相等或不等）就可以建立方程，当然它也可以表示变量，用另一个变量表示式的值时，也就得到了函数。数与式”“方程与不等式\"及“函数”构成了本节要复习的代数系统（展示“代数的藤蔓”，如图2）。图2“代数的藤蔓”【设计意图】通过展示图，从直观感受过渡到用数学眼光观察，旨在激发学生的好奇心，体会数是对数量的抽象，理解数之源起。一个简单的问题让不同层次的学生都有话可讲，有想法可以表达，让复习（思维）在每一名学生的身上真实发生；再通过层层递进的追问引发更深的思考，实现知识关联深化理解，使学生认识到数学知识是一个相互关联的整体，而非孤立的点。这符合奥苏贝尔的有意义学习理论，与学生原有知识结构中的数的概念相互作用，实现知识的同化。从数延伸到用字母表示数，是从具体到抽象的又一次跨越，使学生理解字母表示数的强大通性，拓宽了数学思考、数学表达的边界，使学生对数与代数学习领域系统有一个大概了解。（二）运算生新，数式相通教师出示问题一：①4×（-3）2-2×（-3）;②2×（-3）-1。教师追问：两题中有哪些数？参与了哪些运算，其结果是什么？师生共同建立实数知识结构（如图3），明确研究内容和路径。图3实数知识结构【设计意图】从数的运算入手，体会数是一切运算的根本，通过对运算过程的剖析，引导学生梳理实数运算相关知识，将零散的运算规则和计算方法系统化。师生共同建立实数知识结构，明确从基础运算规则到综合运算应用的研究内容和路径，便于学生整体把握知识，提升数学思维的逻辑性和系统性。教师出示问题二：用x取代以上算式中的-3，会得到什么算式？①4x2-2x;②2x-1门教师追问：以上两式中字母x参与了哪些运算？形成了哪类式？教师出示问题三：根据数式通性原理，利用刚才获得的两个式子（或其中之一），你能创编出一个什么样的题目？教师追问：你所创编的题目中含有哪些运算？它们的运算结果是什么？对于这些式我们是怎么研究的？学生独立思考创编后，小组内交流想法，分享自己构思题目的过程，了解大家是怎样想的，与同学一起对不完善的题目进行修改和补充。教师参与学生的交流，了解学生的思维过程以及解决问题时遇到的困难，引导学生回顾整个过程，与学生一起建立数与式的结构（如下页图4）。图4数与式的结构【设计意图】借助用字母表示数，体会式比数更具有一般性；所创编的式中都参与了哪种运算，体会数式通性，即式与数一样，保持了数的运算性质、法则、运算律的一致性。借助运算体会其结果产生了分式，类比有理数的分类，给出“整式与分式统称有理式”的再认识；由开方运算产生了二次根式、三次根式等无理式，遂成“有理式和无理式统称为代数式\"的现有认识。在解决这一问题时，教师引导学生通过渐近性板书形成代数式的结构，体会数与代数式结构的一致性及研究路径，促进研究内容的一致性。这样就建立了整式、分式与二次根式之间的关联，并通过同类项和同类二次根式，建立了数与式之间的运算关联。（三）关系搭桥，方程（不等式）刻画教师出示问题四：如何利用问题二和问题三中的表达式构建方程和不等式？教师追问：我们构建了哪些方程和不等式？又是如何研究它们的？教师关注学生交流，了解学生的思维过程，对学生给出的方程（组）和不等式（组）进行分类，共同建立方程和不等式的结构（如图5）。图5方程和不等式的结构【设计意图】立足于两个式之间的数量关系（或一个式与常数间的数量关系）实现数式向方程、不等式的转换，进而产生向函数领域延伸的趋势。教师引导学生将之前问题中的表达式与方程（组）不等式（组）的知识建立联系，促使学生整合运用分散的数学知识，加深对代数知识体系的理解，提升知识迁移水平。（四）变量相依，函数表达教师出示问题五：如何利用问题二和问题三中的表达式构建函数？教师追问：大家构建的函数属于哪一类？我们是如何学习它们的？如何用函数的视角审视方程和不等式（以一次函数为例）？【设计意图】通过用函数的视角来看（即一个量来表达）问题二、问题三中的整式、分式、根式，或把方程、不等式动态化，实现知识拓展与整合，拓宽知识视野，完善数学知识体系，以培养函数建模能力，使学生学会从函数角度看待数量关系。此外，帮助学生梳理自己构建的函数类型，如一次函数、二次函数、反比例函数等，加深对不同函数类型特征的理解，强化对函数概念的认知，明晰研究路径，发展其数学核心素养。教师以一次函数为例，引导学生用函数的视角重新审视方程和不等式，揭示函数、方程、不等式之间的内在联系，帮助学生建立起更系统、连贯的数学思维；通过这种跨知识模块的思考，加深学生对数学本质的理解，让学生明白不同数学概念并非孤立存在，而是相互关联、相互转化的。（五）数式为基，相生相长教师引导学生借助前面的感知，回顾“数与式一方程（不等式）一函数\"的发展脉络，梳理出“数与代数\"系统的整体结构（如图6）。"【设计意图】教师引导学生厘清三个主题的内在关联，建构整个“数与代数\"领域的知识体系；厘清知识生长的来龙去脉，明晰研究路径；体会它们在研究路径方法上的逻辑性、整体性、一致性。（六）多维作业，运算贯通【作业一】对上面提出但未解决的问题依次进行解决。【作业二】借力前面的感知，回顾它们的内在关联，自已复习数与式相关章节，尝试画出数与式主题结构图。【作业三】A层（计算）：；（改编自八年级上册分式练习和八年级下册练习）（为八年级上册例题）B层：（2）先化简再求值请你选择一个合适的值代人求值（改编自八年级上册例题）。【设计意图】在对作业完成情况的分析中搜寻学生的薄弱点，发现学生的共性问题，可以为后继每一部分复习的学情分析提供真实背景；为下一节复习课中观建构数与式的结构提供方向性支持，助力知识内容的结构化。【作业一】中要求学生按序解答之前所提出的系列问题，这一过程能够促使学生将课堂所学知识融会贯通，编织出完整且牢固的知识网络；【作业二】期望学生回溯数与式之间的内在关联，并通过绘制数与式的结构图，进一步深化对整个数与代数学习领域架构的理解与把握。【作业三】A层作业聚焦基础运算以及化简求值能力的锤炼，旨在让学生进一步认识数与式的基本运算准则；B层作业则更侧重于综合应用能力的考查，为下一节的复习奠基。三、形成结构化认知，发展核心素养一数与代数学习领域起始复习课的教学思考与阐释（一）系统起始复习，宏观统摄组织作为数与代数学习领域的起始复习课，本节课是一类宏观意义上的课，应该让学生在中考复习一开始就见到这个领域（系统）的全貌，明晰这个领域是怎样学习的，其内在关联如何，形成整个领域的结构化，起到宏观统摄的引领作用。本节课是站在三年课程的高度，通过“领域一主题\"的认定，确立好复习的进程，把三年课程统筹规划（本领域复习整体规划如图7），通过“二次创业”，让知识再生长，便于学生系统化学习知识、结构化建构知识体系，进而成为稳定性强、迁移力强的认知结构。图7数与代数学习领域复习整体规划（二）优化认知结构，深化知识理解布鲁纳的认知结构理论强调学习者应主动构建知识体系。笔者通过梳理“数式一方程一函数”的发展脉络，引导学生将零散的数与代数学习领域的知识进行整合，清晰把握各知识点在系统中的位置和关联，形成层次分明、逻辑连贯的知识网络，促进长时记忆与知识存储，如此清晰的“数与代数\"结构能让学生发现不同知识点间的共性和差异。根据奥苏贝尔的认知迁移理论，该学习方式可以实现知识的正迁移，便于提升知识的有效提取和应用效率。（三）培养思维能力，涵育数学观念建构主义学习理论认为学习是学习者在原有的经验基础上主动建构意义的过程。笔者通过设计问题链，引导学生有条理地思