2024-2025学年甘肃省临夏州高二（下）期末数学试卷（含解析）

2024.2025学年甘肃省临夏州高二（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知/(%)=X4,若/'(%0)="，则%0=()

A.1B.|C.|D.i

2.已知空间向量方=(%—2,—4)石=(2,1,—1),若五1石，则》=()

A.2B.1C.-1D.-2

3.设离散型随机变量X的分布列为

X0123

P0.20.40.30.1

若随机变量y=|x-i|,则p(y=i)=()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

4.已知10个成对数据Q,y）的散点图如图所示，并对x,y进行线性同归分析.若在此图中去掉点P后，再次对

x,y进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）P

■

A.相关系数r变大印.

■

B.变量”与y的线性相关程度变低・,

C.相关系数r变小••

D.变量x与y呈负相关~Ox

5.某学校一同学研究温差穴久）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据：

X568912

y17a252835

已知数据的样本中心点为（巾,25）,经过拟合，发现基本符合回归直线方程y=取+4.2,则下列结论错误的

是（）

A.m=8B.Q=2U

C.b=2.4D.x=5时，y=17.2

6.已知事件43满足P（4）=0.4,P（B）=0.3,则下列结论正确的是（）

A.若4B互斥，则P（A+8）=0.6B.若PQ48）=0.2,则户（川8）=：

C.若人与8相互独立，则P（髓）=0.7D.若P（47）=0.12,则力与8相互独立

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7.在平行六面体力BCD-中，M,N分别是线段4B,丛内上的点，且=2MB,B1N=2ND1,

若4%=4。1=44i=1,4841。1=90°,4力遇8=遇。=60°,则下列说法中正确的是()

A.正与瓦万；的夹角为45。

B.而=g通+河+g京

C.线段4c的长度为1

D.直线41C与8%所成的角为60°

8.若函数/(%)的定义域为。，且存在使得/(%())+//(4)=0,则称与是/。)的一个“阶值点”.若

函数g(x)=jh(x)=ex+2x,?(%)=x+£的“阶值点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()

A.,a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知随机变量X〜N(l,22),丫〜N(-I1),则()

A.E(X)=E(Y)B.D(X)=D(y)

C.P(X<0)=P(X>2)D.P(X<1)+>1)=1

10.已知函数〃>)=3炉一%+2,则下列选项中正确的是()

A.函数/'(X)在区间［0,2］上单调递减

B.函数/(%)在点(3)(3))处的切线方程为y=8x-16

C.函数在武2］上的值域为［工］

D.若关于x的方程/(%)=a有3个不同的根，则ae(工)

11.如图，正方体48C0—4BiC］Di的棱长为2,点E在线段CG上运动，贝

A.三棱锥4-4B1E的体积为定值

B/iElBWi

C.若E为线段Cg的中点，则点E到直线丛0的距离为42

D.存在某个点E,使直线为£与平面BCg4所成角为60°

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知两个随机事件4B,若呻)=京P(B|4)=④则P(4B)=____.

13.已知函数/(x)=1%2+Inx-QX在定义域上是增函数，则实数a的取值范围为

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14.对于两个空间向量近=（X21，Z1）与方=（无2，为*2），我们定义d@,E）=

J（巧_%2）2+（力—32）2+（Zi_Z2）2为两点之间的直线距离;又定义它们之间的

曼哈顿距离为。@力=|必一次1+|yi-y2l+|Zi—Zzl.如图，在棱长为1的正方

体A181goi中，d（西，西）=_____;若点尸在底面4BCD内（含边界）

运动，且|印|=VI，则。（丽瓦乃的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

已知函数/'（%）=（%+a）。*在x=1处有极值.

（1）求Q的值；

（2）求/（%）在［-1,3］上的最值.

16.（本小题15分）

某校食堂为了解学生对牛奶、豆浆的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了100名学牛讲行问卷调杳,

得到了如下的统计结果:

项目喜欢牛奶喜欢豆浆合计

男生40a

女生b25

合计100

己知从这100名学生的问卷中随机抽取1份，喜欢牛奶的概率为常

（1）求a,b；

（2）根据表中数据，能否认为该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关？

附：/二百湍磊e

P（/

0.0100.0050.001

之父0）

出6.6357.87910.828

17.（本小题15分）

诗词是中华文化的瑰宝，蕴含着丰富的文学内涵和美学价值.某学校为了培养学生学习诗词的兴趣，特别组

织了一次关于诗词的知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛.

（1）初赛采用选•题答•题的方式，每位参赛学生最多有5次答题机会，累计答对3道题或答错3道题即终

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答案解析

1.【答案】B

【解析】解：，.•/(X)=无3

(%)=4X3,

若广(前)-1则4就=解得%o=

乙乙乙

故选:B.

对函数求导，根据题中条件代入计算得到答案.

本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】接：空间向量寸=(%,—2,—4)范=(2,1,—1),若五1及

则膻石=x•2+(-2)x1+(-4)x(-1)=0,

即2无+2=0,解得％=—1.

故选：C.

利用空间向量垂直的数量积性质即可解II以的值.

本题主要考查空间向量数量枳运算，考查运算求解能力，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：因为丫=-

所以P(y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5.

故选：A.

由题意得P(y=1)=P(X=0)4-P(X=2)计算求解即可.

本题考查分布列的应用，属基础题.

4.【答案】A

【解析】解:散点图中去掉点P后，点的分布更集中，所以变量丫与y的线性相关程度变强，故选项4错误;

点的分布从左下角到右上角，所以变量％与y呈正相关，故选项。错误；

因为变量％与y呈正相关，且相关性变强，所以相关系数r变大，放选项力正确，选项。错误.

故选：A.

根据数据的散点图，结合回归系数概念与含义，逐项判定，即可求解.

本题主要考查散点图，回归分析，考查逻辑推理能力，属于基础题.

5.【答案】C

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17+a+25+28+35

【解析】解：由题意可知，m=5+6+8+9+12=8>25=

解得Q=20,

因为回归直线方程y=bx+4.2过样本中心点(8,25),

所以25=86+4.2,

解得。=2.6,

所以回归直线方程y=2.6x+4.2,

所以当x=5时，y=2.6x5+42=17.2.

故,48。正确，。错误.

故选：C,

根据I可归直线过样本中心点即可依次求出m,a,6回归方程和估计值.

本题主要考查了线性回归直线方程的性质，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：因为事件4,8满足PG4)=0.4,P(F)=0.3,

所以对于4若4B互斥,则P(4+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.3=0.7,所以4选项错误；

对于B,若P(AB)=0.2,则P(川8)=鬻^=照=今所以8选项错误：

IJU・DO

对于配若4与8相互独”，则]与8相互独立，

所以pQA)=P(7)P(后)=[1-P(A)][1-P(B)]=0.6x0.7=0.42,所以C选项错误：

对于D,若P(718)=0.12,则P(4B)=P(A)P(B),

所以4与B相互独立，所以。选项正确.

故选：D.

由互斥事件、独立事件定义和性质以及互斥概率加法公式、独立概率乘法公式、条件概率公式即可逐一计

算判断各选项.

本题考查概率的性质，属中档题.

7.【答案】C

【解析】解：由题意平行六面体88。。一为丛。1。1中，M,N分别是线段当小上的点，且AiM=2M8,

=2N0],

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=Z11D1=AAl=1,zB]4iDi=90°,Z-AyAB=Z-A1AD=60°,

可得48=AD=AA1=1,4BAD=90°,

2

对于选项4由题意结合向量的线性运算可得而•即*=存•（而-而）=而♦而-而=-1,

|/0；|=\AD-AB\=^AD2-2AB.而+/=/I,

所以cos胸，匹心=覆露=云〜争

因为（而，瓦瓦）W[0,网，所以〈而瓦万）=手故选项力错误；

对「选项B,由题意结合向量的线性运算可得而=AN-AM=（AB^+瓦N）-（而+的）

___2_____1___,

=（而+引+可瓦瓦）-（AB+区网）

=[AA[+l（AD-AB）]-1（AA[-AB）=一＜通+,而+,刷，故选项8错误;

对于选项c因为碇=祀一祝=褊+-引，

一.,…'―，""•1'・・9'・・)I

AB-AD=O,AB-AA=lxlx侬60。=与力。•力4=1x1xcos600=今

1乙乙

所以|砧|=J须+而—标）2=22__

+而+京+2AB-AD-2AB-AA^-2AD•AA^=1,

即线段4c的长度为1,故选项c正确；

对于选项D,由题意结合向量的线性运算可得砧AA^=（AB^AD-耐）•引=前•京+而・标-

---»211

44]=^+1-1=0,

所以cos〈砧,西〉=cos〈砧,研）=然募=0,所以砧1西,

\।A\C\\AAi\

所以直线4。与所成的角为9Q。，故选项。错误.

故选：C.

而，而，标为基底，结合向量夹角公式、模长公式和向量运算法则即可逐一计算求解判断各选项

本题考查了异面直线所成角的求法，是中档题.

8.【答案】A

【解析】解：对于函数g(x)=p有g'(%)=-1，

令[一捻=0=%=1,所以a=l；

对于函数比(%)=于+2x,

有卜(x)=ex+2,

令ex+2x+e*+2=0,即e〉+X+l=0,

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因为函y=e*与y=%+1是单调递增函数，

所以函数t(x)=ex+x+l是单调递增函数，

且t(0)=2>0,

所以方程/+%+1=0的根，

即函数九(x)=眇+2”的“阶值点”满足b<0：

对于函数奴X)=X+i,

有0'(%)=1—/，

令x+g+1-1=0,

即犬+x2+x-l=0,

令函数s(x)=X3+X2+x-1,

则sz(x)=3x2+2x+1=3(x+J)?+1>0>

所以函数s(%)=x3+x2+x-l在R上单调递增，

又s(0)=-1<0,s(l)=2>0,

所以方程/+%2+工一1=0的根

即函数尹+］的“阶值点”满足0VCV1,

综上Q>c>b.

故选：A.

根据“阶值点”定义依次求出各函数“阶值点”即可得解.

本题考查了“阶值点”的定义及性质，考查了转化思想、导数的综合运用及零点存在定理，属于中档题.

9.【答案】BC

【解析】解：F(X)=1,E(y)=-1,D(X)=O(Y)=4,P(X<0)=P(X>2),故力错误，正确：

因为p(x<1)=o.5,o<p(r>1)<p(y>-1)=o.5,所以尸［x<i)+P(Y>I)<I,故。错误.

故选：BC.

由正态分布定义和对称性质即可求解判断.

本题主要考查正态分布定义和对称性的应用，考查计算能力，属于基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解：已知函数/'(%)=^^一%+2,

对十4,由题f，(%)=(%+1)(%-1),xE.R,

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所以当Xe(-oo,-I)U(1,+8)时/•'(x)>o,当Xw(—1,1)时/•'(x)<0,

所以函数/XX)在区间(一8,-1)上单调递增，在(一1,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

故,4错误；

对于B,/(3)=8,fr(3)=8,

所以函数/•(%)在点(3,8)处的切线方程为y-8=8(%-3),

即y=8x—16,

故B正确；

对于C,由上可知函数/'(%)在6,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，

x/(|)=g,/(i)=1,r(2)=|>g,

所以函数/■(“)在4，2］上的值域为《(卜

故C正确：

对广。，因为函数/(%)在区间(一8,-1)上单调递增，在(一1,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，且/(一

1)=«"。4)=%

所以若关于x的方程/(%)=Q有3个不同的根，

即直线y=a与y=/(幻的图象有3个交点，

则:<a<

故D正确.

故选：BCD.

由导数工具求出函数的单调性和所需导数值即可逐项分析判断.

本题考查了导数的综合应用，属中档题.

11.【答案】ABC

【解析】解：对于选项4匕41-力/?/=,BC=wX0"2X2X2=W，故选

项4正确；

对于选项E,连接为C1，如图：

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在正方体中，BXDX±AlC1,B}Dl1CCPA1ClnCC1=

所以当。1_L平面4cls,又因为&Eu平面

所以4E_LBi0],故选项4正确；

对干选项C,当E为线段CCi的中点，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系:

则。(0,0,0),当(2,2,2),£(0,2,1),

即诟=(0,2,1),西=(2,2,2)，

所以点E到直线当。的距离d=小函2_(^^)2=J5—,=M，故选项C正确;

对于选项。，因为。(0,2,0),41(2,0,2),

所以平面BCGBi的法向量反=(0,2,0)，设E(0,2,£)(0<t<2),

则砧二(-2,2,(-2),

设直线4出与平面5。。出1所成角为仇

则机八|cos<用,反〉I=I消膏焉I=2卜+:(3

若直线为£与平面BCG4所成角为60。，

则期60°=小+：小厂今

所以3t2-121+20=0,

又4=122-4x3x20=-96V0,所以方程无解，故选项。错误.

故选:ABC.

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利用正方体的性质，结合三棱锥体积公式、线线垂直判定、点到直线距离公式，线面角的定义来逐一分析

选项.

本题考查立体几何综合问题，属于中档题.

12.【答案】

【解析】解：因为PG4)=gP(B|4)=,

所以P(W)=需=半吟

解得PG4B)=

故答案为：青

根据条件概率公式求解即可.

本题考查条件概率公式的应用，属基础题.

13•【答案】(-8,2]

【解析】解：已知函数/(%)=+也无一Q%在定义域上是增函数,

所以/'(%)=%+g-QN0在(0,+8)恒成立，

所以Q<X+:在(0,+8)恒成立，

所以a<(x+

因为％+->2,

X

所以aW2.

故答案为：(-8,2].

由/'Z0在(0,+8)恒成立求解.

本题考查了导数的综合应用，属基础题.

14.【答案】/5[1,3]

【解析】解：由题可建立如图所示空间直角坐标系。-町2,

则。(0,0,0),31(1,1,1),8(1,1,0),6(0,1,1),4(1,0,0),。1(0,0,1),

设P(x,y,0),0<x<1,0<y<1,

则函=(1,1,1),西=(-1,0,1),而=(0,1,0),讨=(3-1),

因此|印|=Vx2+y2+1=\TL，因此/+y2=i,

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因此d(西，西)=V[1-(-I)]2+(1-0)2+(1-I)2=75;

。(而，取)=|0-x|+|l-y|+|0-(-l)|=x+l-y4-l=x-y+2,

令x=cosO,y=sinO,0G[0,^],

因此。(荏,。17)=x—y+2=cosO—sinO+2=y/~2cos(0+/)+2,

因为。£[0,外因此8+(w年亨],

因此cos(J+3)e[-伊，争，因此Ocos(6+*)+2£[1,3],

因此取值范围是[1,3].

故答案为：s/~5;[1,3].

建立适当空间直角坐标系，求出所需各向量坐标即可由相应距离定义计算求解.

本题考查点、线、面间的距离计算，属于难题.

15.【答案】Q=—2；

最小值为-e，最大值为

【解析】(1)由题意，/'(%)=(X+Q+l)e\

因为函数/(无)=(x4-Q)e"在x=1处有极值，所以/'(1)=(2+a)e=0,解得Q=-2,

此时广。)=

则(-8,1)时，ff(x)<0,IQ)单调递减；

当力£(1,+8)时，ff(x)>0,/(%)单调递增，

所以函数/'(%)=(%4-a)ex在％=1处有极值，所以a=-2.

(2)由⑴可知函数/(%)在(一1,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，

又/(-1)=一方(1)=一ej(3)=e3,

所以函数的最小值为-e,最大值为e3.

(1)由7•'(1)=0即可计算求解：

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(2)由函数单调性即可求解.

本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】a=15,b=20；

该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关.

【解析】(1)由题可知喜欢牛奶的人数有100xg=60人，所以b=60-40=20,

所以喜欢豆浆的人数为100-60=40,所以a=40-25=15.

(2)由(1)可得统计表格如下:

项目喜欢牛奶喜欢豆浆合计

男生401555

女生202545

合计6040100

零假设”o：该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别无关,

?2(ad-bc)2_100(40x25-20x15)2

则/=«8.2492>7,879,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60x40x55x45

所以根据小概率值a=0.005的独立性检验，推断为不成立,

即认为该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关.

(1)求出喜欢牛奶的人数即可依据喜欢牛奶的男生人数和喜欢豆浆的女生人数依次求出a,b；

(2)计算卡方值即可依据独立性检验思想得解..

本题主要考查独立性检验，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】(，)/(”)X的分布列见解析，数学期望为党;

3

谈

【解析】(1)(，)由题易知满足条件的情况由如下两种：1.连续答错前3道题，2.甲在前三道题中答错两道,

且答错第4道，

所以概率为!xixi4-x(1)2XXi=i；

JJJJX

(ii)由题易知，随机变量X的所有可能取值为：3,4,5,

P(X=3)=(|)3+(1)3=iP(X=4)=^X(|)2X|X|+C2X(1)2X|X|=^,P(X=5)=鬣x

(7xq)2=万，

随机变量x的分布列为：

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X345

108

P1

32727

将表格数据代入期望公式可得：E(X)=3xg+4x骂+5x^=*；

(2)由题可得第3道题答对的概率为小，

所以学生甲答对2道题口胜出的概率为f(x)=/(iJ)।2x(1江8；2=/Ij|,0<x<l,

所以/*/Q)=2x_*=^i,

所以当(0，)时/''(x)<0,当工£(11)时/'(x)>0,

所以函数在(0，)上单调递减，在弓,1)上单调递增，

所以/(%)的最小值为/'(»=看

(1)(了)明确甲至多回答了4道题的可能情况即可计算求解；

(ii)求出随机变量取值和各取值相应概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求数学期望值；

(2)先求出第3道题答对的概率，接着求出答对2道题目胜出的概率，再利用导数工具即可求;•(%)的最小值.

本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.

18.【答案】证明见解析：①PA=2：②噂.

【解析】(1)证明：因为/43_LA。，AB//CD，所以AOJLOC,

又40=DC=1,所以/DAC=/-ACD=45°,AC=VAD2+DC2=VI，

所以乙CAB=90°-Z-DAC=45°,AC=BC,

所以4/1C8==45。，则乙ACB=90°,^AC1BC,

因为24_L平面48C0,BCu平面/BCD,

所以P41BC,又PAC!AC=A,PA,4。<=平面「力配

所以BC，平面PAC；

(2)0(L48中点0,连接CO、P0,则由⑴得C014B,

且48=y/AC2+BC2=2,C0=A9=^AB=1,

因为P41平面力BCD,COu平面58CD,

所以PAIC。，又24n4B=4PA.ABu平面/MB,

所以C。_L平面P48,

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所以aP0为直线PC与平面H48所成角，

所以sinz.CPO=段=白=?=。。=V-6=>PA=VPC2—AC2=2，

②由题意可建立如图所示的空间直角坐标系力-孙Z,

则4(0,0,0),P(0,0,2),5(0,2,0),C(l,0,l)>

所以荏=(0,2,0),而=(0,2,-2),PC=(1,0,-1)，

显然而=(0,2,0)是平面P4Q的一个法向量，

设平面PBC的一个法向量为沅=(x,y,z),

所以瓦•PF=2y-2z=0

km-P?=x—z=0

取2=1,则访=(1,1,1),

所以cos凝洞=舒=篇=等

所以平面P8C与平面PAZ)所成角的余弦值为苧.

(1)先由题设依次求出4c_LBC、PA1BC,再由线面垂直判定定理即可得证；

(2)©XAB中点。，连接CO、P0,求证C01平面P48得到NCP。为直线PC与平面R48所成角，接着由正弦函

数定义求出P0即可求解；

②建立适当空间直角坐标系，求出平面PBC与平面24。的法向量即可由空间角的向量法公式计算求解•.

本题考查线面位置关系的判定，以及向量法的应用，属于中档题.

19.【答案】«=1：

O

(「)(0$):(ii)证明见解析.

【解析】(1)函数/■(%)=乂7比一|。X2,则广(x)=1+比X一33

♦.•曲线y=f(x)在点(1J(1))处的切线垂直于直线2x+y=o,

，广⑴=1-3a=；=a=3；

(2)(Q：f'(%)=1+Inx-3ax，