2024-2025学年八年级数学上册培优训练：全等三角形的概念及性质（学生版+详解版）

专题04全等三角形的概念及性质（专项培优训练）

试卷满分：10（）分考试时间：120分钟试卷难度：较难

试卷说明：本套试卷结合人教版数学八年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问

题逃行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强

化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。

一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（本题2分）（2025春・福建厦门•八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，在△A8C中，。是AC边上的中

点，连接8。，把△瓦）C沿8。翻折，得到△8DC,OC'与AB交于点E,连接AC',若AD=AC=2,BD=3,

A.V7B.75C.0D.1

2.（本题2分）（2024江苏•八年级假期作业）如图，在四边形48CO与A'8'C'。中,

AB-AB1,NB-N2,BC-BfC,下列条件中：@ZA-ZA；②ZA-ZA。CD=CD；③

Z4=ZA；NO=N。：®AD=A,D\CD=CD'.添加上述条件中的其中一个，可使四边形48CDg四边

形A'B'CD,上述条件中符合要求的有（）

D.①②®®

3.（本题2分）（2025春•广东清远•八年级统考期末）如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm,BC=5an,

点。为A8的中点，如果点P在线段BC上以lo〃/s的速度由点8向。点运动，同时，点Q在线段AC上由点

A向C点以2a〃/s的速度运动.经过（）秒后，△BPZ）与VCQP全等.

A.1.5B.2C.1.5或2D.无法确定

4.（本题2分）（2025春・河北唐山•八年级统考期末）如图，将AABC绕点8逆时针旋转得到△OE3,使点C

的对•应点。恰好落在边AC上，点A的对应点为点E,连接AE,下列结论一定正确的是（）

A.BC=CDB.AEA.ACC.AC=BED.AC=ZBAE

5.（本题2分）（2025春•八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，==若点

A的坐标为（-3,1）,点4,C在直线产-3上，点。在y轴的正当轴上，且点£的坐标为（0,-1）,则点尸的

A.(4,2)B.(3,2)C.(4,3)D.(5,3)

6.（本题2分）（2024秋•八年级单元测试）如图，已知“WC中，A8=AC'=10cm,4C=8cm,点。为A8

的中点，点尸在线段8C上以3cm/s的速度由6点向C点运动，同时，点。在线段。上以相同速度由点C向

点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当与ACPQ全等时，点户运动的时间是（）

A

545-4

A.r=IsB.r=-sC.t=—sD.，=-s或f=-s

3333

7.（本题2分）（2024秋•山西忻州•八年级统考期中）如图，zMO的AADC,点8和点。是对应顶点，

NO=NO=90。，记/。4£>=0,440=6,ZABC=Z4CB,当BC〃Q4时，。与夕之间的数量关系为

（）

A.a=PB.a=20C.a+/?=90°D.a+2/?=!80°

8.（本题2分）（2025春•八年级单元测试）如图，边长为5的大正方形A8CD是由四个全等的直角三角形

和一个小正方形）G”组成，连结A尸并延长交CD于点M.若AH=GH,则CM的长为（）

9.［本题2分）（2024秋.山东德州•八年级校联考期中）如图，在中，/AB445。，过点C作8_LA3

于点D,过点B作BM1AC于点M,连接MD,过点。作ON_LMD,交BM于点N,CO与交于点E.下

列结论：①NA8M=/ACO；②DM=DN；③/AM£）=45。；④5,加丫=其中正确结论有（）

个

A

10.（本题2分）（

2025春・浙江•八年级期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正

方形（如图所示）.某次课后服务拓展学习上，小沼绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交C。于点/.记小

正方形EAG”的面积为耳，大正方形A8C。的面积为另，若。/=2,C/=l,52=5S,,则G/的值是（）

A,巫B.—41C.在D.-

52084

二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.

11.（本题2分）（

2025春・广西钦州•八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCO是由四个全等的直角三角形围成的，若AE=5,

2024秋.广东湛江.八年级岭师附中校联考期末）如图，AABD2AEBC,A8=3cm,8c=4cm,贝IJ"E=

cm

D

2024秋•广东东莞•八年级统考期中）如图,在三角形纸片AAC中，ZC=90°,乙4=30。,C£=4,折叠该

纸片，使点A和点8重合，折痕与A3、AC分别相交于点。和点£（如图），则AE的长为.

14.（本题2分）（

2024秋•湖南益阳•八年级校联考期末）如图，在矩形ABCD中,XB=8cm,AD=12cm,点尸从点85出发,

以2cm/s的速度沿边向点C运动，到达点C停止，同时，点。从点C出发，以vcm/s的速度沿CO边向

点D运动，到达点。停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当妙为

4

2025春・江苏•八年级统考期末）点8是反比例函数），=一（x>0）的图象上一点，将线段。8绕点。逆时针

x

旋转90。得到线段。4,若点A在反比例函数y=〃的图象上，则&=.

X

X

16.（本题2分）（

2025春・全国•八年级专题练习）如图，在长方形A8CO中，AB=6,AO=8.延长8C到点E,使CE=2,

连接。E,动点P从点4出发，以每秒2个单位的速度沿8C-CO-ZM向终点4运动，设点尸的运动时间

为i秒，当/的值为时，ziAbP和△OCE全等.

17.（本题2分）（

2024秋•辽宁沈阳•八年级沈阳市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y

轴上，。4=3,08=4,连接46.点P在第一象限，若以点P、A、B为顶点的三角形与母4。3全等，则

点P的坐标为.

2024秋•安徽六安•八年级校考期中）如图，中，ZACfi=90°,AC=3,BC=4.点尸从人点出发沿

AfCf4路径向终点运动，终点为8点；点Q从区点出发沿BfCfA路径向终点运动，终点为人点.点

P和。分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，

分别过〃和。作于£、作Q尸_U于r，当点P运动秒时，以P、E、C为顶点

的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等.

ti

19.（本题2分）（

2024秋•安徽合肥•八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,BC=9cm,

AC=12cm,AB=15cm,现有一动点p,从点A出发沿着三角形的边ACfCBfBA运动回到点A停止,

速度为女m/s,设运动时间为友.

（1）如上图，当/=时，△APB的面积等于AABC面枳的一半；

（2）如图，在ADEF中，NE=90。，/?E=4cm,OF=5cm,ZD=ZA.在“UfC的边上，若另外有一

个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边BCTCA运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时

刻，恰好△APQ与U）所全等，则点Q的运动速度是cnVs.

20.（本题2分）（

2024秋•福建龙岩•八年级校考阶段练习）如图，三角形ABC中，B。平分乙48C,AO_L8。，若

AB:BC=4:1,S^ADC=6,贝1"“幻=.

A

三、解答题：本大题共7小题，21・25题每小题8分，26・27题每小题10分，共60分.

21.（本题8分）（

2024秋•山西阳泉•八年级校联考期中）如图，线段A8=20m,于点A,M4=6m,射线

于点B,点P从点B向点A运动,每秒走1m,点。从点8沿B。方向运动，每秒走3m.若点P,。同时从

点6出发，当出发，秒后，在线段M4上有点C,使以点C,A,尸为顶点的三角形与△ABQ全等，求,的

值.

D

Q

APB

22.（本题8分）（

2024秋・山西大同,八年级大同一中校考阶段练习）综合与探究

【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面枳可以表示一些代数恒等式.例如，由怪1可以得到

（a+〃）2=/+2而+〃2,基于此，请解答下列问题.

【直接应用】（1）若x+y=4,幺+）,2=9,求不，的值.

【类比应用】（2）若x（4-x）=2,则/+（4-力2=.

【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（ZAQA=NC8=9（r）按如图2所示的方式放置，其中点A,

O,。在同一直线上，点3,。，C也在同一直线上，连接AC,BD.若"）=12,SAAOC+SABOD=40,

求一块直角三角板的面积.

23.（本题8分）（

2025春・广东河源•八年级校联考期中）如图，点。是等边小8。内一点，ZAOB=H（）^ZBOC=a,将/OC

绕点C按顺时针方向旋转60。，得连接。。.

A

(1)判断△COO的形状，并证明；

(2)当。=150。时，试判断△AOO的形状，并说明理由；

(3)直接写出。为多少度时，△A8是等腰三角形？

24.(本题8分)(

2024秋•宁夏石嘴山•八年级校考期末)在平面直角坐标系中，城8。的位置如图所示，A、B、C三点都在

格点上.

⑴画出^BC关于x轴对称的△A£G；

(2)在网格中找出点E,使得以A,C,E三点为顶点的与ZkACB全等，请写出符合条件的所有点E

的坐标.

25.(本题8分)(

・江苏•八年级假期作业)如图，己知△?13cg△">£,8C的延长线交D4于点F,交DE于点、G,ZAED=105°,

ZC4£>=15O,N9=50°,求NQG尸的度数.

26.(本题10分)(

2025春・湖北黄冈•八年级统考期中)如图，矩形A8CO中，点C在X轴上，点A在>轴上，点8的坐标是(-6,8).

⑴动点尸从点8出发，沿8c方向以每秒2个单位的速度向点C匀速运动；同时动点。从点C出发，沿CO方

向以每秒2个单位的速度向点。匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.设运动时间为

r(s)(0<r<3).解答下列问题:

①当点C在线段尸。的垂直平分线上时，求,的值；

②是否存在某一时刻/，使△AB尸会ZXPCQ?若存在，求出，的值，并判断此时。的度数；

(2)矩形ABCO沿直线折叠，使得点A落在对角线。8上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点。、F.

①求点。的坐标；

②若点N是平面内任一点，在K轴上是否存在点例，使M、N、E、。为顶点的四边形是菱形？若存在,

请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

27.(本题10分)(

2025春•浙江•八年级专题练习)如图，点O为矩形A8CZ)的对称中心，A8=20cm.8C=24cm.点E,F,

G分别从A,B,C三点同时出发.沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点七的运动速度为Icm/s,点尸的

运动速度为2cm/s,点G的运动速度为wm/s.当点尸到达点C(即点产与点C重合)时，三个点随之停

止运动，在运动过程中，△神厂关于直线£/；的对称图形是△四/设点E,F,G运动的时间为/(单位：s)

备用图

(1)当/=5时，四边形为正方形；

(2)当x为何值时，以点E,B,尸为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形可能全等？

(3)是否存在实数人使得点/T与点O重合？若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由.

专题04全等三角形的概念及性质（专项培优训练）

试卷满分：10（）分考试时间：120分钟试卷难度：较难

试卷说明：本套试卷结合人教版数学八年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问

题逃行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强

化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。

一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（本题2分）（

2025春・福建厦门•八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，在“8。中，。是AC边上的中点，连接8。，

把公加心沿8。翻折，得到△BDC',0c'与/W交于点连接47,若AD=4U=2,BD=3,则C到8。

的距离为（）

A.V?B.GC.45D.1

【答案】B

【分析】连接CC，交8。于点由翻折知，.BD8.BDC,4。垂直平分CC,证△4QC'为等边三角

形，利用含30度的直角三角形性质及勾股定理求出ZW=1,。加=6即可得出答案.

【详解】解：如图，连接CC,交BD于点、M,

VAD=AC=2,。是AC边上的中点，

:.DC=AD=2,

由诩折知，ABDC^BDC,8。垂直平分CC,

：・DC=DC=2,BC=BC,CM=CM,

・•.AD=AC=DC=2,

••.△AOC'为等边三角形，

・•・^ADC=ZACD=ZCAC=603,

DC=DCr,

：.Z.DCC=ZDCC=lx60°=30°,

2

在Rtzxaw中，

ZZ）CC=30°,DC=2,

JDM=L

；.CM=CM7爰7?=5

・・・C到8。的距离为石，

故选B.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、

全等三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

2.（本题2分）（

・江苏•八年级假期作业）如图，在四边形A8CD与AEC77中，AB=A,B,,=BC=B,C,.下列条件

中：①ZA=",AD=A,D,；②ZA=",CD=CD,,®ZA=ZA；ZD=ZZX：®

AD^AHy,8—CT）'.添力口上述条件中的其中一个，可使四边形4884四边形4EC7）',上述条件中符

合要求的有（）

二二

A.①@③B.①③④C.①④D.®®®®

【答案】B

【分析】连接AGAC，通过证明△AbCg/VT夕C（SAS）,△ACa△ACT)'(SAS),故①符合要求，同理

可得③④符合要求，即可得到结论.

【详解】解：连接AC、AC，

在与△AUC中,

AB=A!B,

，B=ZB,

BC=BC

AAC=AC\ZACB=ZA,CB\/BAC=NBHC,

,/ZMZ)=Z^AD,

:./BAD-ZBAC=NB'A。一ZBNC,

J^DAC=ZD,A,C,

在AACZ)和△AC7>中，

AC=A!C

ZDAC=ZD'A'C,

AD=A,D,

AAC度△4C77(SAS),

AZZ)=ZZ7,ZACD=ZA,Ciy,CD=CD\

：.ZACB+ZACD-ZACB'+"CD,

・•・NBCD=NB'C'D,

・•・四边形ABC。与AqC7)'中，

/W=A氏BC=B'C',AO=40',DC=I>C,

NB=NB,NBCD=N8CD',ND=ND',NBA。=N&A7?',

四边形A8CQg四边形AB'CLi.

故①符合要求；

同理根据③④的条件证得四边形A8COW四边形A'8'C'D.

综上所述，符合要求的条件是①③④，

故选：B.

【点睛】此题主要考查了全等形，全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法

有：SSS、SAS、ASA、AAS.

3.（本题2分）（

2025春・广东清远•八年级统考期末）如图，已知“BC中，AB=AC=6c?n,8C=5a〃，点。为/W的中点，

如果点P在线段BC上以\cm/s的速度由点8向C点运动，同时，点。在线段AC上由点A向C点以2cmis的

速度运动.经过（）秒后，ABPD与YCQP全等.

A.1.5B.2C.1.5或2D.无法确定

【答案】B

【分析】根据全等三角形的性质，进行分类讨论，列出方程即可求解.

如图，设P，。两点分别从8,A两点同时出发运动/s时,

则=AQ=2t,

，CP=BC-BP=5T,CQ=AC-AQ=6-2t,

•・•。是A3中点,

BD=AD=—AB=3cm,

2

①当△用刀且ACPQ时，

:・BP=CP,BP/=5-r,解得：r=|,

此时CQ=6-2x|=l,不符合题意，舍去，

②当时，

:.BP=CQ,即/=6-2f,解得：/=2,

综上可知：1=2,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质，

学会用分类讨论的思想思考问题.

4.（本题2分）（

2025春・河北唐山•八年级统考期末）如图，将△a4C绕点〃逆时针旋转得到△。旗，使点。的对应点。恰好

落在边AC上，点A的对应点为点E,连接4E，下列结论一定壬确的是（）

A.BC=CDB.AEA.ACC.AC=BED.ZC=Zfi4£

【答案】D

【分析】根据旋转的性质得出进而得出“8以圆。是两个顶角相等的等腰三角形，即可

求解.

【详解】解：•・•将”8。绕点8逆时针旋转得到使点C的对应点。恰好落在边AC上，

AABC^AEBD

:・ZACB=/EDB,ZABC=/EBD,BD=BC,BA=BE

：./BCD=NBDC,NBAE=ZBEA

・•・ZABC-ZABD=NEBD-ZABD,

即7DBC?EBA,

・•./BAE=g（180。一/ABE）,ZC=^（180°-ZDBC）,

:.NC=NBAE,

故选：D.

【点睛】本题考杳了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是

解题的关键.

5.（本题2分）（

2025春•八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，“8C/△£＞底尸.48=8。=5,若点人的坐标为（-3,1）,

点8,C在直线丁=-3上，点。在y轴的正半轴上，且点E的坐标为（0,-1）,则点尸的坐标为（）

A.(4,2)B.(3,2)C.(4,3)D.(5,3)

【答案】A

【分析】作CG_LA8于G,尸〃_1。后于，，由45=8。，△ABC丝尸，就可以得出RLBCGgRsE/H,

再结合勾股定理就可以得出结论.

【详解】解：如图所示，作CGJ_AB于G,FH1.DE于H,

•••点A的坐标为(-3,1),点B,C在直线尸-3上,

A到BC的距离为d=1—(―3)=4,

­：S=-ABCG=-BCJAB=BC,

6A八°BJCT

,,CG=d=4,

入ABC%DEF,

；.FH=CG=4,BC=AB=EF=DE=5,

在RSBCG和RiZ\E"7中，

BC=EF

CG=FH'

RtABCG^RtAEF/7(HL),

：.BG=EH,

在RS8CG中，•.•N8GC=900,BC=5,CG=4,

:.BG=^BC2-CG~=3»

\EH=3,

，•点E的坐标为（。，-1）,

:.OH=EH-OE=3-l=2f

，点了的坐标为（4,2）,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，

等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.

6.（本题2分）（

2024秋•八年级单元测试）如图，已知“18。中，AB=AC=10cm,8c=8cm,点。为AB的中点，点。在

线段8c上以3cm/s的速度由8点向C点运动，同时，点。在线段C4I二以相同速度由点C向点A运动，一

个到达终点后另一个点也停止运动，当△8。0与ACPQ全等时，点〜运动的时间是（）

3454

A.r=lsB./=-sC./=-sD./=-s或/=-s

3333

【答案】A

【分析】根据A8=AC=10cm,求出N8=NC,根据点。为AB的中点，求出8。=gAB=5cm,分

△BD/咨ACPQ时,aBO叫△（?（?夕时，两种情况进行讨论，并注意验证当△8。咋/XCOP时，不成立,

从而可以求出，的值.

【详解】解：VAB=AC=10cm,

"=NC,

•・•点。为4B的中点，

・•・BD=-AB=5cm,

2

•・•点尸在线段8C上以女m/s的速度由3点向。点运动，同时，点Q在线段C4上以相同速度由点。向点A

运动，

:・BP=CQ=3i,CP=8—i,

当△8QPg/\CPQ时，CP=BD,

即8-3，=5,

解得：l=ls；

当△BOP0Z\CQP时，BD=CQ,

即3f_5,自/得：r=|s,

此时BP=3x-=5（c/n）,CP=8-5=3（cm）,

3

BPwCP,

・•・此种情况不成立，

综上分析可知，r=Is,故A正确.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性

质，注意分类讨论.

7.（本题2分）（

2024秋・山西忻州•八年级统考期中）如图，△AO的AAOC,点8和点C是对应顶点，NO=NO=90。，记

乙0AD=a,4ABO=。，ZABC=ZACB,当8C〃OA时，。与夕之间的数量关系为（）

A.a=flB.a=2RC.a+J3=90°D.a+2〃=180。

【答案】B

［分析］根据全等三角形的性质得到NOAB=/DAC,再根据平行线的性质，得到WB=NABC=90°-p,

利用NQAO+功4C+NACB=180°,即可解答.

【详解】解：•.•△AO胎AADC,/0=/。=90。，

/.ZDAC=4OAB=90°-NOBA=90°-/7,

vBC//OA,NABC=ZACB,

Z/4BC==ZOAB=90°-,NOAC+ZAC3=180。，

ZOAC=ZOAD+DAC,

：.+90°-^+90°-^=180°,

化简得：a=邛.

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键.

8.（本题2分）（

2025春•八年级单元测试）如图，边长为5的大正方形488是由四个全等的直角三角形和一个小正方形

EFGH组成,连结A尸并延长交C。于点若AH=GH,则CM的长为（）

【答案】D

【分析】过点M作*于点N,设E4与G”交与点K,利用已知条件和正方形的性质得到AABb为

等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，府顶角相等和等量代换得到△Mb为等腰

三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和平行线分线段成比例定理解答即可得出结论.

【详解】解：过点M作MNJ.R7于点N,设物与G"交与点K,如图，

•••四边形EFG”是正方形,

；.HE=HG=GF=EF,AH//GF,

•；AH=GH,

：.AH=HE=GF=EF.

由题意得：Rl^ABERt^BCFRt^ADHRtACDG,

.•.BE=CF=AH=DG,4BAE=/DCG.

.,BE=EF=GF=FC.

\'AELBF,

:.AB=AF,

:.ZBAE=ZF'AE,

:2DCG=4FAE,

VAH//GF,

:"FAE=4GFK.

•;NGFK=/CFM,

:.ZCFM=4DCG,

；.MF=MC,

'：MN1FC、

.\CN=NF=-CF,

2

:.CN=-CG.

4

•;MNICG,DGICG,

:.MN〃DG,

CMCN1

・'•---=---=—，

CDCG4

•.0=5,

:.CM=-.

4

故选：D.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，

依据题意恰当地添加辅助线是解题的关键.

9.（本题2分）（

2024秋・山东德州•八年级校联考期中）如图，在/ABC=45。，过点。作CO_L钻于点。，过点

B作8M_LAC于点M,连接过点。作ON_LMO,交8W于点N,CD与BM交于点E.下列结论:

①N48M=/AC£＞；②DM=DN；③//WD=45。；④55四=5皿川.其中正确结论有（）个

A

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】由8_LA8,8M_LAC,可得/8OC=/8MC=90。，从而得出NA8M=NAC£),判断①正确与

否；通过证明N7)8N=/DCM,BD=CD,NCDM=/BDN,得出^BDN迫KDM,判断②正确与否；先

证明AOMN是等腰直角三角形，从而得到NZ)MN=45。，判断③正确与否：先证明S,8m=S,。。，再证明

S：=SQM,得出S^EDN=SSDM,判断④正确与否.

【详解】解：VCD1AB,BMLAC,

：./BDC=NBMC=90°,

♦：/BED=NCEM,

ZABM=ZACD,

故①正确：

VCD1AB,

:./BDC=/ADC=90。,

•・•/A8C=45。，

:.BD=CD,

•・•BM1AC,

・•・/AMB=^ADC=90°,

；・/A+NDBN=90。,

^A+^DCM=90°,

:・/DBN=NDCM,

,:DNJ.MD,

・•./CDM+NCDN=90。，

•・•/CDN+NBDN=90°,

/.々CDM=ZBDN，

•:/DBN=NDCM，BD=CD,NCDM=NBDN,

：.^BDN'CDM（ASA）,

DN=DM,

故②正确；

•・•DN=DM,NMDN=90°,

・•・ADMN是等腰直角三角形,

:./DMN=45。,

・•・/AMD=90°-45°=45°,

故③正确；

CDLAB,

・•・/BDE=NCDA=90。,

由①②知，NDBN=NDCM,BD=CD,

:.4BE£^AC4£）（ASA）,

••葭BED——GW，

由②知，4BDN%CDM,

S4BDN=SQM>

•••ca&KCN-~c乙八/>”，

故④正确：

J正确的有①®

故选D.

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，

证明三角形全等是解题的关键.

10.（本题2分）（

2025春•浙江•八年级期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正

方形（如图所示）.某次课后服务拓展学习上，小河绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交C。于点/.记小

正方形£7七”的面积为岳，大正方形ABC力的面积为S?,若DI=2,C/=l,邑=5£,则G/的值是（）

I)

//

A.叵

B9•----D

5-4夜8-:

【答案】A

【分析】连接OG,根据O/=2,CI=i,得出S2=C£>2=9,根据弦图由四个全等的直角三角形所组成,

BCGDHQE==

推出=S*=S*=S&,根据S?=5sl，且S?=S]+4sAem,推出S}SACDH-S2=—，得到GH—弓5,

设CG=DH=x,PM,根据NC〃D=90。,得到C”2+/)”2=CQ2,求得o”=些，得到DH=EH=GH=

55

亭，求出DG=EG=JG“2+EH。=，NGOE=NGED=45°,推出NDGE=180°・(NGDE+NGEO)=90。,

推出6/=〃>/2一心=/22—但叵］=画

55

【详解】连接。G,

VCD=C/+D/=1+2=3,

2

,S2=CD=9t

FABF/ABCG@ACDgfAE,

•2ABF=S,BCG=SQH=J)A.

1ABF+S^BCG+S,CDH^DAE=45QH'

,£=5sl,旦邑=S]+4sAe>

-5S[=S]+4S&CDH»

cY3_9

,口一1\。)“-g”-g

「口3加

•0/7=------

5

设CG=DH=x,则CH=x+正,

5

：NCHD=9。。,

*.CH2+DH2=CD\

解得工=一延(舍去)，或工=士5,

55

即的=些，

5

：.DH=EH=GH=^~，

5

・•・DG=EG=y/GH2+EH2=,

・•・NGDE=NGED=45。,

/.ZDGE=180°-(ZGDE+ZGED)=90°,

【点睛】本题主要考查了正方形，全等三角形，勾股定理等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正

方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理解直角三角形.

二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.

11.（本题2分）（

2025春・广西钦州•八年级校考阶段练习）如图，正方形A8C。是由四个全等的直角三角形围成的，若AE=5,

跖=13,则EF的长为.

【答案】8&

【分析】由全等三角形的性质可得AE=8G=CF=OH=5,AH=BE=CG=DF=13,NDAB=90。，

/DAH=ZABE,可得EG=GF=FH=HF=8,ZABE+NBAE=NDAH+/BAE=90。，可证四边形EGF”

是正方形，即可求收的长.

•・•正方形A8C。是由四个全等的三角形围成的，

/.AE=BG=CF=DH=5,AH=BE=CG=DF=13,ZDAB=90°,ADAH=ZABE,

:,EG=GF=FH=HF=8,ZABE+ZBAE=ZDAH+ZBAE=90°,

，四边形EG"；是菱形，且ZA£S=90。，

ZG£W=90°,

・•・四边形£GFH是正方形，

:.N£G/=90。，

•*-EF=\lEG2+GF2=V82+82=8>/2•

故答案为：872

【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的性质，勾股定理，证明四边形EGFM是正方形是

解题的关键.

12.（本题2分）（

2024秋.广东湛江•八年级岭师附中校联考期末）如图，AABD^EBC,A8=3cm.8C=4cm,则。£=

【答案】I

【分析】根据全等三角形的性质，得到8七二48=女11],8。=8。=4011,计算即可.

【详解】V^ABD^EBC,48=3cm,8c=4cm,

，BE=AB=3cm,BD=BC=4cm,

:・DE=BD-BE=4-3=l（cm）.

故答案为：1.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键.

13.（本撅2分）（

2024秋.广东东莞•八年级统考期中）如图，在三角形纸片A8C中，ZC=90°,ZA=30°,C£=4,折叠该

纸片，使点A和点B重合，折痕与AB、4c分别相交于点。和点E,（如图），则AE的长为.

【答案】8

【分析】利用折叠的性质，等腰三角形的性质和含30。角的直角三角形的性质解答即可.

【详解】解：由题意得：/\AED^/\BED,

ABE=AE,DEJ.AB,NDBE=ZA=3（F.

VZC=90°,NA=30。，

・•・ZABC=90°-ZA=60°,

：.^CBE=ZABC-ZDBE=30°.

•・•ZC=90°,

/.BE=ICE=2x4=8,

AE=BE=8,

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了折叠问题，全等三角形的性质，三角形的内角和，含30。角的直角三角形的性质,

熟练这折叠的性质和含30。角的直角三角形的性质是解题的关键.

14.（本题2分）（

2024秋•湖南益阳•八年级校联考期末）如图，在矩形A8CD中，XB=8cm,八。=12cm,点P从点出发，

以2cm/s的速度沿8c边向点C运动，到达点C停止，同时，点。从点C出发，以-cm/s的速度沿C。边向

点D运动，到达点。停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当丫为

【分析】设运动时间为八根据题意求出对应线段的长度，然后分两种情况讨论：①当8P=C。，AB=PC

时；②行区4=CQ,PB=PC时；利用全等三角形的性质列出方程求解即可.

【详解】解：设点Q从点C出发fs,同时点尸从点B出发信，

①当3P=CQ,AB=PC时，XABPeXPCQ,

A8=8,

:.PC=S,

•/BP=BC—CP=12—8=4,

\2t=4,

解得：1=2,

:.CQ=BP=4,

2v<=4,

解得：v=2；

②当8A=CQ,PB=PC时，△ABWAPCQ,

♦;PB=PC

:.BP=PC=6

2:=6

解得：r=3,

\'CQ=AB=S

3v=8

Q

解得：

综上所述，当X=2或,时，4ABp^4PCQ,

故答案为：2或g.

【点睛】本题主要考查矩形的性质及全等三角形的性质，一元一次方程的应用，理解题意，进行分类讨论，

列出方程是解题关键.

15.（本题2分）（

4

2025春・江苏•八年级统考期末）点.3是反比例函数广一（x>0）的图象上一点，将线段08绕点。逆时针

x

k

旋转90。得到线段。4,若点A在反比例函数y=*的图象.匕贝.

【答案】-4

【分析】设8（皿〃），过B作轴于七，过A作A/_Lx轴于f，得到8石=〃?，OE=n,根据全等三角

形的性质得到A产=8E=m,OF=OE=n,再利用点A在第二象限于是得到结论.

【详解】解：设网以〃），点8是反比例函数）=;（x>0）图象上的一个点，

；..〃"!=4,BE=m，OE-n,

•••将线段OB绕点O逆时针旋转90。得到线段OA,

：.AO=BO.

QZ4OB=90°,ZFOE=90°,

ZAOF+ZAOE=NAQE+NBOE=90°,

:.ZAOF=ZBOE.

在AAO厂与△BOE中

NAF0=NBE0=9。。

NAOF=NBOE

AO=80

「.△AO产丝9O£（A4S）,

AF=BE=m,OF=OE=n.

•.•A点在第二象限.

/.A（一〃,〃?），

k=-mn--4,

故答案为：-4.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化一旋转，反比例函数图形上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数

的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

16.（本题2分）（

2025春・全国•八年级专题练习）如图，在长方形4BCO中，AB=6,AO=8.延长BC到点区使CK=2,

连接动点。从点3出发，以每秒2个单位的速度沿4C-CO-D4向终点A运动，设点P的运动时间

为i秒，当，的值为时，△然P和△Z）CE全等.

【答案】1秒或10秒

【分析】由题意知，分P在AC,CD,AO上三种情况求解.

【详解】解：由题意知，分。在5C,CD,A。上三种情况求解：

①当，在8c上时，由题意知"BP=NDCE=90。,AB=DC,

•・屋45尸和△DCE全等，

ABP=CE=2,即2/=2,

解得f=l；

②当P在CO上时，由题意知NB4P<NA=90。.ZABP<ZB=90°,ZAPB<900,

・•・此时AABP和ADCE不全等，

③当尸在AO上时，由题意知N84P=NDCE=90。，AB=DC,

•••△442和4。。石全等，

AAP=CE=2,即8+6+8—2/=2,

解得E=[0;

综上所述，△他2和△£＞（%全等时，，为1秒或1（）秒，

故答案为：1秒或10秒.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质及矩形的性质，解决本题的关键在于分情况求解.

17.（本题2分）（

2024秋・辽宁沈阳•八年级沈阳市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，A、8两点分别在x轴、y

轴匕。4=3,08=4,连接点尸在第一象限，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等，则

【分析】由条件可知八3为两三角形的公共边，且4103为直角三角形，当白。8和归全等时，则可知

△APB为直角三角形,再分两种情况进行讨论，可得出尸点的坐标.

【详解】解：如图所示：

①若

APX=BO=4.BPt=AO=3.

・•・四边形60A/；是平行四边形,

又乙404=90。，

.•.四边形3044是矩形,

・・・片（3,4）：

②若ABO入BABE人,贝IJ行8O=86，NOR4=N4R4,

连接。鸟，交AB于点、E，过点E作样_LQ4于点R

・・・BA是。鸟的垂直平分线，点E是。居的中点，

•/0A=3,OB=4,

由勾股定理得，AB=y/OA2+OB2=>/32+42=5

又；=J。""，即：i>5xOE=ix3x4,

・•.0E=—

5

2229

在RtAOAE中，AE=ylOA-OE=th-\—

5；5

|119121

又-AEOE=-EFOA,即一x-x—=-x3x上尸，

222552

解得，EF=||

由勾股定理得，OF=VOE2-EF2=/y［窗48

25

・・・£9672)

25,25j，

故答案为:（3,答或（H'H

【点睛】本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质，勾股定理以及面枳法等知识，做这种题要求

对全等三角形的判定方法熟练掌握.

18.（本题2分）（

2024秋.安徽六安•八年级校考期中）如图，“8。中，4c8=90。，AC=3,BC=4.点尸从A