2024-2025学年广西玉林市七校联考高二（下）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年广西玉林市七校联考高二(下)期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若党=偌，则X的值为()

A.3B.6C.9D.3或6

则屋咚0左。一3一左。)

2.已知函数/(%)在％=%。处的导数为2,

Ax=()

D1

A.-2B.2cJ--2

3.已知随机变量X的分布列：

X-101

111

P

236

满足丫=aX+3,E(y)=I，则a的值为()

A.4B.-4C.2D.-2

4.从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种

数为()

A.1440B,120C.60D.24

2

5.已知函数/(%)的导函数为/'(%),若/。)=3%/'(2)+Inx+-x,则f'(2)=()

11

A.-1B.1C.-jD.1

6.某党支部有10名党员，7男3女，为迎接建党100周年，从中选取2人做汇报演出，若X表示选中的女党员

数，则P(XV2)=()

AA.—15Bn—15Q—15DI

7.(2%+1)(%-的展开式中％2项的系数为()

A.10B.20C.-10D.-20

8.已知函数f(%)=n0,若9(%)=/(%)-ax至少有三个不同的零点，则实数Q的取值范围是()

11

A.(0,e)B,(0,e]C.(0,pD.(0,J

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是()

A.从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法

B.从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法

C.从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法

D.若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法

10.如图所示是y=/(X)的导数y=(。)的图象，下列结论中正确的有()

A.f(x)在区间(―3,1)上是增函数

B.x=—1是/(%)的极小值点

C.f(x)在区间(2,4)上是减函数，在区间(-1,2)上是增函数

D.x=2是/(%)的极小值点

11.甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%,乙、丙加工的次

品率均为5%,加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、

45%,从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有()

A.该零件出自于甲加工的概率为0.25

B.该零件是次品的概率为0.0525

C.若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为£

D.若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.如果随机变量f〜且E(2f)=24,0(f)=8,则p=.

13.若点P是曲线y=/-伍x上任一点，则点P到直线x-y-2=0的最小距离是.

14.在秋冬季节，疾病劣的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病。2的发病率为5%，病人中18%表

现出症状S,疾病。3的发病率为05%,病人中60%表现出症状£则任意一位病人有症状S的概率为.(

症状S只在患有疾病A，D2,%时出现)

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众

欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节安

排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序.

(1)共有多少种不同的安排方案？

(2)若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案？

(3)若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案？

16.(本小题12分)

在(口+刽的展开式中，

(1)求二项式系数最大的项；

(2)若第k+1项是有理项，求k的取值集合；

(3)系数最大的项是第几项.

17.(本小题12分)

1

已知函数/'(x)=Inx--ax2—2x.

(1)若。=3,求f(%)的增区间;

(2)若a<0,且函数/"(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

(3)若a=-，且关于x的方程/(x)=-1x+b在［1,4］上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.

18.(本小题12分)

某工厂有甲、乙两个车间生产同一种零件，如表记录了随机抽取的上一年的10个工作日两个车间生产的零

件个数：

甲车间62634374737059704366

乙车间39455036232023385139

(I)从记录的这10个工作日中随机抽取1天，求甲车间生产的零件个数小于50的概率；

(II)用频率估计概率，若从未来的工作日里随机抽取3天(假设每次抽取的结果互不影响)，记X为乙车间生

产零件的个数超过甲车间的天数，求X的分布列和数学期望；

(III)从记录的这10个工作日中随机抽取1天，用“f=0”表示甲车间生产的零件个数在区间［40,a)内，用

=1”表示甲车间生产的零件个数在区间［a,80］内.请写出一个实数a的值使得方差以取到最大值.(结论

不需要证明)

19.(本小题12分)

已知函数/'(x)=ln(x+1)—ax—a2.

(1)当a=4时，求曲线在(0,f(0))处的切线方程；

(2)若/(%)存在极大值，且极大值不大于-3-仇2,求实数a的取值范围.

答案解析

1.【答案】D

【解析】解:由年=C＞得x=3或3+x=9,

即％=3或x=6.

故选：D.

由已知直接利用组合数的性质求解.

本题考查组合数的性质，是基础题.

2.【答案】A

【解析】解：由题意可知尸(沏)=2,

则晨”0反。-乎力，。)=—△；：0如-"--)=,=,2,

Ax-Ax1'u,

故选：A.

由题意可知「(%o)=2,然后利用导数的几何意义以及极限的运算性质化简即可求解.

本题考查了导数的几何意义以及极限的运算性质，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：由题意可得：E(X)=-lx|+0x|+lx1=-1,

Y=aX+3,E(Y)=|,

可得一+3=|,

解得a=4.

故选：A.

利用分布列求解期望，结合已知条件求解即可.

本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基础题.

4.【答案】B

【解析】解：抽取5名学生组成课外小组，其中女生占5x2=2,男生占5-2=3人,

4十b

故不同的抽取方法种数为：ClCl=120.

故选：B.

根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及组合数的知识，即可求解.

本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.

5.【答案】A

□

【解析】解：因为/(%)=3xf(2)+Inx+|x,

所以((久)=3/(2)+(+|,

所以，⑵=3/(2)+|+|,解得/(2)=-1.

故选：A.

求出函数的导函数，再令x=2计算可得.

本题主要考查导数的运算，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)

_C3C7,C3C7_2121_42_14

=~Cw+不=芯+芯=芯=元，

故选：C.

由P(X<2)=P(X=0)+P(X=1),结合古典概型及其概率计算公式得答案.

本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题.

7.【答案】B

【解析】解：(2%+1)(%--)5=2x(x--)5+(%--)5,

52r

(X-；)5的展开式为=Cr,x5-r.(_；)「=(_1)=,羽•X-(r€N*,且1W「W5),

令5-2r=1,解得r=2,得=(-1)2C^-x=10x；

令5-2r=2,解得r=|ez,舍去.

.••%2项的系数为2x10=20.

故选：B.

(2x+l)(x-§)5=2x(x-i)5+(x-i)5,结合二项展开式的通项公式运算求解.

本题考查二项式项数的性质，考查运算求解能力，是基础题.

8.【答案】D

【解析】解：由g(x)=0,得/(%)=ax,函数g(%)至少有3个不同的零点，

等价于直线y=a%与函数y=/(%)的图象至少有3个交点，

直线y=ar过原点，在同一坐标系内作出函数y=/(%)的图象与直线y=ax,

当直线y=与曲线y=In%相切时，直线y=a%与函数y=/(%)的图象有3个交点，

由y=Inx,求导得V=

设切点坐标为(久0,ln%°),

1

则切线办方程为y-ln%0=丁。一久0)，而切线过原点，

则ln%°=l,解得%°=e,此时切线小的斜率

当时，直线y=a%与函数y=/(%)的图象有2个交点，不符合题意；

当时，直线y=a%与函数y=/(二)的图象最多有2个交点，不符合题意；

当0<aV,时，直线y=a%与函数y=/(%)的图象有4个交点，符合题意，

所以实数a的取值范围是(0,).

9.【答案】BC

【解析】解：对于4从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，分两步，先选正组长有10种选法，再选

副组长有9种选法，则共有90种选法，故A错；

对于B,从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，则共有7X3=21种选法，故8对；

对于C,选1人参加数学竞赛，既可以选男生也可以选女生，则共有7+3=10种选法，故C对；

对于D,每人报名都有2种选择，共10人，则共有21°=1024,故。错.

故选：BC.

利用排列组合相关知识逐一判断即可.

本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

10.【答案】BC

【解析】解：由y=y。)的导数y=1(久)的图象，可得，

当xG(-3,-1)U(2,4)时,f(x)<0,

当xe(1,2)U(4,5)时，/'(%)>0,

・・•/(%)在区间(一3,—1),(2,4)上是减函数,

/(%)在区间(一1,2),(4,5)上是增函数，

•••%=-1是f(x)的极小值点，X=2是/'(%)的极大值点，

故8,C正确，A,。错误；

故选：BC.

利用y=/'(>)的导数y=/'(%)的图象，对28C。四个选项逐一判断即可.

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查识图能力与逻辑推理能力，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：对于4因为甲加工的零件数分别占总数的25%,

所以该零件出自于甲加工的概率为0.25,故A正确；

对于B,该零件是次品的概率为0.06x0.25+0.05x0.30+0.05x0.45=0.0525,故B正确；

对于C,若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为喘黑=,,故C错误；

对于D,若该零件是次品，则出自于甲加工的概率为噜舞=£,出自于丙加工的概率为喘署=',

U.UD乙。/U.UD乙D/

所以甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3,故。正确.

故选：ABD.

利用全概率公式和条件概率公式逐个判断各个选项即可.

本题主要考查了全概率公式，考查了条件概率公式，属于中档题.

12.【答案】|

【解析】解：E(2f)=24,D«)=8,

则叫了=8,解得「J

故答案为:i

根据已知条件，结合二项分布的期望、方差公式，即可求解.

本题主要考查二项分布的期望、方差公式，属于基础题.

13.【答案】72

【解析】解：因为y=/一"％,(%>0),所以y'=2%—彳

设与直线久—y—2=0平行，且与曲线y=/相切的直线切于点(%o，yo),(%0>0),

1

则2%o---=1,解得%0=1,所以y()=L

%o

所以点(1,1)到直线x-y-2=0的距离，即为点P到直线X—y—2=0的最小距离，

即为右引=，1.

Vz

故答案为：^2.

当P为与直线x-y-2=0平行且与曲线相切的切线的切点时，点P到直线x-y-2=0的距离最短，根据

导数几何意义求得点P坐标，最后根据点到直线距离公式得结果.

本题考查导数的几何意义的应用，属中档题.

14.【答案】0.02

【解析】解：由题意可知：P(Di)=0.02,P(D2)=0.05,P(Z)3)=0.005,

P(S|£>i)=0.4,P(S|Z)2)=0.18,P(S|£>3)=0.6,

由全概率公式可知：P(S)=P(S|Oi)P(A)+P(S|L»2)P(D2)+P(S|£>3)P(D3)

=0.02x0.4+0.05x0.18+0.005x0.6=0.02,

即任意一位病人有症状S的概率为0.02.

故答案为：0.02.

利用全概率公式计算可得答案.

本题考查全概率公式，属于基础题.

15.【答案】解：(1)安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序，

共有鹿=120种不同的安排方案；

(2)若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，则从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，

则共有用用=96种不同的安排方案；

(3)若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，则将这两项活动捆绑，看作一项活动，

内部全排列，然后和其余活动全排列，

则共有抬月=48种不同的安排方案.

【解析】(1)将5项活动进行全排列，即可求得答案；

(2)先从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，其余全排列，即可求得答案；

(3)利用捆绑法，即可求得答案.

本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

16.【答案】解：(1)1+1=或(口)8-『(毋=或2"4—畀，r=0,1…8,

二项式系数最大的项为中间项，即第5项，

“20

所以二项式系数最大的项为Ts=C^24X4-T=U20x-6；

2,5

(2)T『+i=或(08-『(莉)==c^2rx4~2r,r=0,1-8,

当4-为整数时为有理项，

即r=0,2,4,6,8,

则k的取值集合为｛0,2,4,6,8｝；

(3)设第r+1项的系数最大，

汽2rI>r/r-lnr"-l解得5WY6,

故系数最大的项为第6项和第7项.

【解析】(1)利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可;

(2)当4-|r为整数时为有理项，即可求解；

(3)设第r+1项的系数的最大，列不等式组即可求解.

本题考查二项式定理，解题中需要理清思路，属于中档题.

17•【答案】【解答】

解：(1)/(%)的定义域是(0,+8),

a=3时，[0)=；—3x—2=_(3L?(X+D,

令r(x)>0,<0<x<I，

二函数/'(x)的增区间是(0,1].

1

(2)1(%)=--ax-2,

由函数/(%)存在单调递减区间，知/'(%)<0在(0,+8)上有解，

117

即

x—CLX—2V0,a>x—L7—X,

而3--=(--I)2_1N

xLXX'

・,.a>—1,又a<0,

—1<a<0.

-1i11?

(3)a=—彳时，/(%)=Inx+-x2-2x,则/(%)=—彳％+b即为b=Inx+-%2--x,

L4L4Z

13113

2则叮

%1<%<外--+%-

4--2-x(--2--2-

X2x'

当1<%<2时，g'(X)V0,g(%)递减;当2<%<4时，“(%)>0,g(%)递增.

・•・gMmin=5(2)=ln2-2,

又g⑴=一半g(4)=m4—2,g⑴<g(4),

/n2-2<h<-p即实数b的取值范围是"2-2<b<-^.

44

【解析】【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查方程的根，考查函数与方程思想、数形结合思想，属中

档题.

(I)在定义域内解不等式/。)>0即可；

(2)由函数/(x)存在单调递减区间，知尸(无)<0在(0,+8)上有解，分离参数化为函数最值即可；

11?12

(3)/(%)=--x+b化为b=Inx+-x2--%,令g(%)=Inx+-x2--x(l<%<4),利用导数求得g(%)的

Z4Z4Z

最值，借助图象可得结果；

18.【答案】解：(/)设事件4为“甲车间生产的零件个数小于50”

由表中数据可知甲车间在这10个工作日中有2个工作日生产零件个数小于50,故2(4)=卷=/

(〃)由题意可知，从未来的工作日里随机抽取1天，乙车间生产零件的个数超过甲车间的天数的概率为，

X的可能取值为0,1,2,3,

X0123

6448121

P

125125125125

3

P(X=0)=(§3=黑，p(x=l)=cj|鼾=黑，P(X=2)=啕21=稳,P(X=3)=(|)=募

随机变量X的分布列为:

c64-48,c12,13

E(X)=0x而+1X而+2X市+n3x^=

5

=64.