（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第09讲 平面向量的概念、线性运算及坐标表示（原卷版）

第页第09讲平面向量的概念、线性运算及坐标表示知识点一．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点二．向量的线性运算和向量共线定理（1）向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律②结合律减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差三角形法则数乘求实数与向量的积的运算（1）（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；当时，【注意】（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，．知识点三．平面向量基本定理和性质1、共线向量基本定理如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．2、平面向量基本定理如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若，则．推论2：若，则．3、线段定比分点的向量表达式如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．DDACB4、三点共线定理平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得；存在，使得．5、中线向量定理如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．DDACB知识点四．平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量向量点．（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．知识点五．平面向量的直角坐标运算①已知点，，则，②已知，，则，，，．，【解题方法总结】（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即．（2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立．（3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．（4）减法公式：，常用于向量式的化简．（5）、、三点共线，这是直线的向量式方程．题型一：平面向量的基本概念【例题1-1】下列说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量，必有D．若满足且与同向，则【例题1-2】下列命题中正确的是（

）A．若，则B．C．与的方向相反D．若，则【变式1-1】下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则不是共线向量【变式1-2】给出下列四个命题：①若，则；②若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若，则；④若，，则；其中正确的命题的个数为（

）A．4B．3C．2D．1题型二：平面向量的线性表示【例题2-1】在中，点为中点，点在上且.记，则（

）A．B．C．D．【例题2-2】已知为所在平面内一点，且满足，则（

）A．B．C．D．【变式2-1】如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（

）A．B．C．D．题型三：向量共线的运用【例题3-1】在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（

）A．B．C．D．【例题3-2】如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（

）．A．B．C．3D．9【变式3-1】如图，在中，D是BC边中点，CP的延长线与AB交于AN，则（

）A．B．C．D．【变式3-2】如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x＝，y＝，则的值为（

）A．3B．4C．5D．6【变式3-3】在中，为上一点，为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值是（

）A．8B．10C．13D．16题型四：平面向量基本定理及应用【例题4-1】设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（

）A．和B．和C．和D．和【例题4-2】已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（

）A．B．C．D．【变式4-1】如图，在中，，，其中，，若AM与BN相交于点Q，且，则（

）A．B．C．D．【变式4-2】如图，平行四边形中，与相交于点，，若，则（

）A．B．C．D．题型五：平面向量的直角坐标运算【例题5-1】已知向量，，，且，则_____.【变式5-1】已知向量，，且，则实数______．【变式5-2】已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（

）A．B．或C．或D．题型六：向量共线的坐标表示【例题6-1】在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（

）A．B．C．D．【例题6-2】已知向量，，向量，，若，则实数______.【变式6-1】已知向量，若，则实数______.【变式6-2】已知向量．若与共线，则实数__________．【变式6-3】已知，若与平行，则实数______________．1．（2023•北京）已知向量，满足，，则A．B．C．0D．12．（2022•全国）已知向量，．若，则A．B．C．D．3．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则A．B．C．D．第09讲平面向量的概念、线性运算及坐标表示1．已知向量，，且，则（

）A．1B．2C．3D．42．已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（

）A．B．1C．D．3．在中，，点P在CD上，且，则（

）A．B．C．D．4．已知向量，满足，，则A．B．C．0D．15．在中，记，，若，则（

）A．B．C．D．6．在中，是中线的中点，过点的直线交边于点M，交边于点N，且，，则（

）A．