2024-2025学年内蒙古自治区包头市高二年级下册期末考试数学试卷（含解析）

2024-2025学年内蒙古自治区包头市高二下学期期末考试数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知样本数据为2,4,6,a,8,若删除a后的新数据与原数据平均数相同，则。为().

A.3B.4C.5D.6

2.已知z=1—i,则=()-

A.1+2iB.2-iC.2+iD.1-2i

3.已知集合Z={x\x2=2%],集合8={xeZ\-l<%V2},则ZUB=().

A.{0}B.{0,2}C.{x|-l<x<2}D.{-1,0,1,2}

4,不等式专41的解集是()•

A.{%|-2<%<|)B.{x\x>2或x<-2}

C.[x\x>g或%<-2}D.{%|-2<%<1j

5.在中，内角4B,。所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=yj~2,c=V-3+1,则C=().

.7TT„lln旦3n

A•五B.五12D4

6.已知抛物线%2=4y的焦点为F,准线为［，过抛物线上一点P作PQ1［且垂足为Q,若|PF|=4,则MQ=().

A.苧B.73C.土？D.±/3

7.已知等比数列｛%｝的前几项和为Sn，若的力。2且4a3,3a4,2。5成等差数列，则率=().

41

A.亮B』c—D—

6316

8.已知sin2a=(且a€则tan(a+：)=().

A.-5B.-2=C.-4AA5D.-75

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.若等差数列｛册｝的前n项和为Sn,a2=4,S7=42,则下列说法正确的是().

A.46=7B.｛an+几｝为递增数列

C.%=犷+|nD.｛W^的前4项和啮

10.已知函数/(久)是定义在R上的奇函数，当久V0时，/(%)=e%(%+2),则下列命题正确的是().

A.当％>0时，f(x)=-e-x(x-2)

B.%=3是f(%)的极大值点

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C./(x)<0当且仅当0<久<2或久<-2

D.V久1，汹eR都有1/(巧)-/(%2)1<4

22

11.已知％,尸2是双曲线C：|一方=19>0,6>0)的左、右焦点，过Fi作C的一条渐近线的垂线/,垂足为H

且/与双曲线右支相交于点P,若COS"PF2=|且IP&I=5.则下列说法正确的是().

A.双曲线的实轴长为4B.双曲线的离心率为空

C.四边形。F2PH的面积为15D.而=2而7

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知两个不相等的向量工=(2,zn+1),5=(2—4皿1),若花〃(2—b),则m.

13.若函数/(%)=%(%-c)2在X=-1处有极小值，则/(3)等于.

14.在底面半径为3V3及轴截面为正三角形的圆锥中放置内切球0,在球。1的上面放一个与球。1和圆锥侧

面均相切的球。2，再在。1和。2之间放入一个球。3，则球。3半径的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/(%)=cos(%—(p)(0<(P<TU)为奇函数.

Q)求3；

(2)设函数g(%)=/(%)•/(%*)，求g(%)的值域和对称中心.

16.(本小题15分)

已知椭圆C「+源l(a>b>0)的长轴长为2质且离心率为苧.

(1)求椭圆C的方程；

(2)不经过原点。的直线/:了=久+爪与椭圆C交于A,B两点，求入4。8的面积最大时直线，的方程.

17.(本小题15分)

如图，在四边形ABCD中，AD=1,AB1AD,AD//BC,Z_AEB=60。，/.BEC=90°,E是4。的中点.现将

-ABE沿BE翻折，使得点力移动至平面BCDE外的点P.

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(1)若点F是靠近P的四等分点，求证：DF〃平面PBE；

(2)若平面PBE，平面8CDE,求平面PCD与平面P2E所成二面角的正弦值.

18.(本小题17分)

已知函数/'(久)=axln久-(a+l)x+1■久3且/(久)为f(x)的导数.

(1)求函数f(x)在％=1处的切线方程(请用a表示)；

(2)讨论;'(X)的极值点个数；

(3)当a<0时，设/''(x)的极值点为一个零点为"(ri>1),证明：m<

19.(本小题17分)

为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛.甲，乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行

奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是p(0<p<1),各局比赛之间

的结果互不影响且没有平局.

(1)若两人共进行5局比赛且p=|,设两人所赢局数之差的绝对值为X.求X的分布列和数学期望；

(2)若两人共进行2律+1(九川*,共2)局比赛且「=今记事件为表示“在前如―1局比赛中甲赢了k(k=

0,1,2,…,2n-1)局”.事件B表示“甲最终获胜”，请写出P(B|二二P(2|4nt),P(B|4n),

P(B|£着工人)的值(直接写出结果即可)；

(3)若两人共进行了2几—1(n6N*)局比赛，甲获胜的概率记为Pn.证明：当,<p<l时，Pn+2-Pn+1<

p_p

rn+lrn*

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答案解析

1.【答案】C

【解析】【分析】分别计算出删除a前后的平均数，然后相等，计算可得.

【详解】删除前平均数为：2+4+g+a+820+a

5

2+4+64-8

删除后平均数为:

4

所以半=5=>a=5.

故选：C

2.【答案】A

【解析】【分析】根据复数的除法运算求解.

【详解】由z=1—i,则出=在==竽=1+2i.

z1—1十(1—嘿i)(l+：i?)2

故选：A.

3.【答案】D

【解析】【分析】根据集合的并集定义计算求解.

【详解】集合力=[x\x2=2x}={0,2},集合B=[xeZ|-l<x<2]={-1,0,1),

贝UB={-1,0,1,2).

故选：D.

4.【答案】B

【解析】【分析】化简式子可得—20,然后直接计算.

x+Z

【详解】由题可知：1=^^-1<00=»x<一2或久2〈,

x+2x+2x+2x+23

不等式的解集为{久|x2：或尤<-2}.

故选：B

5.【答案】A

【解析】【分析】使用余弦定理求出角C的余弦值，在根据余弦值求出角C的大小即可.

22一一

【详解】利用余弦定理可得，COSC=22+[(£1)

噌ZXZXVZ4

cos7T-T=cos/11+.-7lJ\=cosT-Tcos71--si.n7-1s.inIT-=1-y/~2V_3—V~2=V-6

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•••CG(0,7T),则C=g.

故答案：4

6.【答案】C

【解析】【分析】根据抛物线定义，可得舛=3进而求得点P的坐标，得点Q坐标，利用斜率公式得解.

【详解】由题，|PQ|=|PF|=yp+l=4,贝|yp=3,代入抛物线方程得孙=±2/百，

(2(±273,-1),又F(O,1),

•・•2±京=土?

故选：c.

【解析】【分析】利用基本量法可求公比，从而可得号的值.

36

【详解】设等比数列｛册｝的公比为q,因为由。。2,故qWL

由6。4=4。3+2a5，所以3%•q=2a3+^3'Q2»又。3。。，

/-3q+2=0,解得q=2或q=1(舍)，

01(1一~)22

./=4±

••56旬(1一《6)1-q61-26210

-

故选：B.

8.【答案】D

【解析】【分析】根据二倍角正弦公式计算结合弦化切计算求出tana,再结合两角和正切公式计算求解.

【详解】因为sin2a=。且aG偿片)，sina>cosa,

3\42/

则(sina+cosa)2=1+2sinacoscr=1+1=|,所以sina+coscr=

(sinct—cosa)2=1—2sinacosa=1—|=p所以sina—cosa=芋，

/15

rmi」(.豆、tana+lsina+cosar-=

则tana+-=——=------==-V5.

\4/1—tanacosa—sinaV3

3

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故选：D.

9.【答案】BC

【解析】【分析】对4由等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质运算得解；对B,求出通项册，进而

求出数列｛册+帚的通项公式，判断；对C,由等差数列前n项和公式求解判断；对D,求出｛晨士｝的通项，

利用裂项相消法求和.

【详解】对于4由57=42,则%产=42,所以的+ci7=12,即。2+。6=12,又a2=4,所以a6=8,

故4错误；

对于8,设等差数列｛a九｝的公差为d,由4知即=8,则即一。2=8—4=4d,

•••d=1,•••an=a2+（n—2）d=n+2,

所以册+九=2几+2,故数列｛与+几｝为递增数列，故5正确；

对于C,由册=九+2,则Sn=遐等於■=；九2+?九，故C正确；

对于D'因为菽匚=丽嘉西=击一肃'

所以｛就7｝的前4项和为G_§+G_/）+（H+G—匀=9；=击故D错误.

故选：BC.

10.【答案】BCD

【解析】【分析】设x>。，则-％<0,利用函数的奇偶性即可判断4直接解不等式可判断C；根据导数符

号可判断/'（X）的单调性即可判断B；根据单调性即可求出f（x）的值域，即可判断，

【详解】/（久）是定义在R上的奇函数，设久>。，则—x<0,

则/（-比）=ef（-％+2）=-/（久），所以/（久）=ef（K-2）,故/不正确；

当x<0时，由/'（X）=e*（x+2）<0,得x+2<0,得x<—2,

当%>0时，由/'（久）=e~x（x—2）<0,得x—2<0,得0<x<2；

所以/（X）<0的解集为（一8,-2）U（0,2）,故C正确；

当x<0时，f(x)-ex(x+3),

所以比<一3时，/。）<0,单调递减，一3<久<0时，f（x）>0,/（X）单调递增,

所以刀=一3时，/（久）取的最小值为一e-3,且-3时，/（%）<0,

所以fQ）</（0）=2,即—e-3</（x）<1,

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当x>0时，/'（%）=e-x（3—x）,

所以AX）在（0,3）上单调递增，在（3,+8）上单调递减，久=3是/'（尤）的极大值点，B选项正确；

由B选项分析可知当工=3时，/（X）取最大值为e-3,且龙〉3时，/（%）>0,

当x>0时，由/'（无）=eT（x-2）,所以x70,y（x）ff（0）=-2,所以一2</（无）We-3,

当％>0时，/（X）的值域为（-2,e-3],

因为函数;'（X）是定义在R上的奇函数，

由对称性可得Vxi，比26R,都有，（/）一/（肛）1<e-3+2<4,故。正确;

故选：BCD.

11.【答案】ACD

【解析】【分析】根据题意作图，利用双曲线性质和给定条件，解出a=2,利用三角形边角关系解出b=3,c=

713；从而依次对各选项内容进行计算和判断,选项4,B,根据双曲线性质，实轴长为2a=4,离心率e=±=

a

手；选项C:根据OF2PH面积等于A的面积减去AF1H。的面积计算；选项。：根据三角形边角关系得

出|而|=|而|+|Q同=2|丽且丽，丽共线且方向相同，得出丽=2丽.

【详解】

已知”是过Fi作C的一条渐近线的垂线Z的垂足，其渐近线方程为：y=-1x,FM-c,0）,

22

根据点到直线距离公式，d.=\FH\-i--=b,\OH\=Vc-Z)=a.

XV砂+炉c

过点尸2向尸1P做垂线，垂足为Q，因为。Hl&Q,F2Q■!■%<?，所以OH八!/&Q，

又。为尸12中点且1。川=a,贝！J|&Ql=2a.

由COS/.F1PF2—可得sinZ-F1PF2—J1一⑨=?tanZ.F1PF2-p

在RSPQ4中，=孕=5,解得。=2,

SlnZ-F\rr2—

|P%|=9_

\PF1\-\PF2\=2a=4

又中=\FiQ\+\QP\=2b+tanz?PF2b+条=9ob=3,c=C^

ianz_r|rr2G)

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所以：实轴长2a=4,故/对；离心率e=£=孚，故3错；

a2

APFR的面积Si=2F1P||F2P|sinNFiPF2=49-511一(|)2=18,

11

S'F/o=2ab=屋2•3=3,

所以S.FzPH=S]-S3F]HO=18-3=15,故C对.

人%尸2<?中，F2Q-LPFX,OH1PFv。为中点，

・•.H为FiQ中点,即尸1印=|HQ|=b=3,

又taWiPB=寄=磊/|PQI=|a=3，

|PH|=|PQ|+\QH\=2\HF\\,又•.•丽，丽共线且方向相同，.•.丽=2笳，故。对.

故选：ACD.

12.【答案】-1/-0.5

【解析】【分析】利用平面向量的加减法运算规则得出讶-1=(4m,m),根据小!/9-办列方程，解出爪=-

p代入验证满足题意.

(详解】a=(2,m+1),b=(2—4m,1)

：.~a—b=(4m,m),

T—>1]

a/\!/(a—b)=2m=4m(m+1),解得m=一,,或TH=0(舍)，

把77i=一,弋入验证，彼=93),万―b=(—2,—刍，满足a/\!/(a—b),符合题意.

所以，m

故答案为：-

13.【答案】108

【解析】【分析】由/(-1)=0,求得c并检验，求得f(x)的解析式，运算得解.

【详解】/(%)=(%-c)2+2x(x—c)=(x-c)(3x—c),

因为/(x)在久=—1处有极小值，所以,(一1)=0,

即(-l—c)(一3一c)=0,解得c=-1或c=-3,

若c=-1,贝!|/'(%)=(久+l)(3x+1),

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当％V-1或久〉一;时，/(X)>0,/(%)单调递增,

当一1<%<一,时，/(%)<o,f(%)单调递减，

所以/(%)在％=-1处取极大值，不合题意，

若c=-3,则/(x)=(%+3)(3%+3),

当久<-3或久>一1时，/(%)>0,/(%)单调递增,

当-3V%V-1时，/(%)<0,/(%)单调递减,

所以/(%)在久=-1处取极小值，合题意，

所以/(%)=x(x+3)2,则/(3)=3X(3+3)2=108.

故答案为：108.

14.【答案】3—苧

【解析】【分析】由题可知当球。3与。1和。2相切，且与母线相切时，球。3半径的最大，求出。I和。2的半径,

根据截面图构建方程即可求解.

【详解】根据题意，当球。3与。1和。2相切，且与母线相切时，球。3半径的最大，

轴截面图如下，"S4B是边长为6V3的等比三角形，

所以内切球。I的半径q=gsAs呜=3,设球。2的半径为「2，球。3的半径为r，

1•1sinzDSO2=翳=款=sin30°=SO2=2r2,

=

SO2+72=3r2=SE—2Tl=9—6=3=>r2l»

则AC=37I,SD=质，CD=2<3,

./-iMO-\3-T.nr八r\NO?1-丁

sinNM°3°i=—r--sinzJVO3O2=-=7—，

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则COSAMO3O1=yj^,coszWO3O2=—,

CD=MN=(3+r)cosZ.M0301+(1+r)cosZ.N0302

=273r+2y/~r=273n市=

即r=3-苧

故答案为：3-学

15.【答案】解：(1)由/(%)=cos(%-0)为奇函数，则0=5+左4左£Z),由0E[O,TC)得g=].

(2)由(1)得/(%)=cos-=sin%,

则9(%)=sin%•sin-=sinx•Qsinx一半cos%

=|sin2x11—cos2xV-3

sinx•cosx=sin2x

22r

11/i/3.\11.

2(2COS2X+—sinQ2xj=---sin(2x+J

4

1"'-1<sin(2x+HW1,—<——sin(2x+"<—,

\o/ZZ\ozZ

即W一白山(2久+?)外则g(%)的值域是［—］.

令2%+，=kn(keZ),.・.％=一尚+

o1ZZ

则g(x)的对称中心是(-七+竽3)("eZ).

【解析】(D根据余弦函数的奇偶性运算得解；

(2)由(1),利用三角恒等变换化简g(x),利用正弦函数有界性和对称性求解.

16.【答案】解：(1)由已知2a=2/1,即a=6.

又由e=苧可得c=W^,所以川=a?-©2=1,

则椭圆C的方程为1+产=1.

(2)由题直线］与椭圆C有两个交点力和8,设4(巧,为)，B(x2,y2).

y=x+m2

22

联立9+产=1得^■+(%+7n/=14,即4x+6mx+3m—3=0,

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22%i%2=—.

4=(6m)—16(3m—3)>0且久i+x2=

由直线，不过原点可得-2<m<2且THW0.

利用弦长公式=V1+l2.J(%1+%2)2-4%1%2=.j('罢)一4•37nj3

=V-2•J3一•|zn2=4—m2,

且点。到直线泊勺距离d=翳.

11\m\<6----------<3i----------/3「-------

・•・S=2\AB\d=a•—==•~2~yz4—m2=|m|V4—m2=Vm2(4—m2)

V3m2+4—m2/3

~42T，

【解析】（1）根据条件列出关于a,hc的方程求解即可；

（2）设出直线1的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出入OAB面积的表达式，利用基本不等式求出最大

值，进而得出答案.

17.【答案】解：（1）在线段PB上取靠近点P的四等分点G,连接FG与EG.

-1

•••AD且E为AD的中点，4E=DE=芯

由N4EB=60。和NEBC=90°得BE=1及BC=2,

贝UDE//BC和DE=；BC.

又,喘=震=3所以GF〃BC和GF=%C,

从而。E〃GF和DE=GF,所以四边形DEGF为平行四边形，则DF〃EG.

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又DFC平面PBE,EGu平面PBE,

所以DF〃平面PBE.

(2)由NBEC=90。得BE1EC.

因为平面PBE1平面BCDE,平面P8EC平面BCDE=BE,ECu平面BCDE,

所以EC_L平面PBE.

以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系E-xyz.

贝ijE(0,0,0),P6,。,苧)，C(0,73,0),B(l,0,0),D(一［祟°)

所以加=生-0,苧)，反=色手,0).

设平面PCD的法向量为五=(x,y,z),则巴,豆=°,

b,DC=0

f-x_V_3yH——z—0

即,413J_，令y=l,则x=—3，I,z=7,Wn=(-373,1,7).

(4x+—y=0

又EC，平面PBE,可取平面PBE的一个法向量为阮=(0,73,0),

贝"3%前)=^=/=等・

设平面PBE与平面PCD所成二面角为。，则sin。=1一(*)=次笋.

所以平面PBE与平面PCD所成二面角的正弦值为空孚

【解析】(1)先证明四边形DEGF为平行四边形得出线线平行，进而应用线面平行判定定理证明即可；

(2)先应用面面垂直性质定理得出EC1平面PBE,再建立空间直角坐标系求出平面PCD与平面P8E的法向量,

进而应用二面角公式计算求解余弦值，最后结合同角三角函数关系求值.

18.【答案】解：(1)由题得/(x)的定义域为(0,+8).

f(x)—alnx+x2—1且/'(1)=-ci—1,所以/(1)=0.

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则;'(X)在x=1处的切线方程为y=—a—|

(2)由(1)得/(%)=alnx+/—1(%>0),设九(%)=/(%)=alnx+%2—1(%>0),

则h(x)=alnx+x2-1(久〉0),二/(£)=?+2x=-+^x

①当Q之。时，/i(%)>0,则h(%)在(0,+8)上单调递增.

又・・・/⑴=左⑴=0,/(%)在(0,1)上为负，在(L+8)上为正,

则/(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

即％=1是f(%)的唯一极小值点.

②当Q<0时，由九,(%)=0解得第=

⑴若J三VI时，则一2

由h(x)<0解得0<%V由，(x)>0解得%>

所以九。)在(0,上单调递减，在学+8单调递增,

所以九h(l)=0且％->。+有九(%)—+oo,

由零点存在定理得三勺使得M%i)=0,

则九(%)在(0,%1)和(1,+8)为正，在(%i，1)为负,

即/(%)在(0,+8)上有两个极值点.

(ii)若J/=l时，则@=一2,由/;'(%)=0解得％=1.

此时似%)在(0,1)上单减，在(1,+8)上单增，所以九(%)>h(l)=0,

则/(%)在(0,+8)上单调递增,即/(%)无极值点.

(iii)若J三>1时，即一2.

由九’(x)<0解得0<x<<x<,由，(x)>0解得%>

所以九(%)在(0,上单调递减，在上单调递增,

所以hh(l)=0且％->+8有h(%)T+00,

由零点存在定理得三%:三，+°°I使得左(%2)=。，

则九(%)在(0,1)和(%2,+8)为正,在(1,%2)为负，

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即y。)在(0,+8)上有两个极值点.

综上，当。=一2,/'(久)无极值点.

当a20时，/(久)有一个极值点.

当—2<a<0或a<—2时，f(%)有两个极值点.

(3)由(2)可得爪=J吊>1且a<-2,

要证TH<只需证2m-1V九，

由2m-1>TH,只需证/(2m-1)</(n)=0,

只需证Qln(2?n—1)+(2m—l)2—1<0,即一27n2]n(2/n—1)+(2m—I)2—1<0,

只需证ln(2m-1)>2--(m>1).

令g(m)=ln(2m-l)-2+^(m>